圆心滚动的路径长度
1、如图（1），设大圆的半径为R，小圆的半径为r。如果小圆沿着大圆外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？
2、如图（2），设正三角形的周长为L，小圆的半径为r。如果小圆沿着正三角形的外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？如果小圆沿着正n边形的外边缘作无滑动滚动呢？
3、如图（3），设多边形的周长为L，小圆的半径为r。如果小圆沿着多边形的外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？
分析：
1、此时小圆圆心经过的路径是一个圆，这个圆的圆心为大圆圆心，半径为两圆半径之和。所以小圆的圆心经过的路径长度为2
2、此时小圆的圆心运动如右图。正多边形情况与正三角形情况类似。此时小圆的圆心经过的路径长度为L＋2
3、与2类似，此时小圆的圆心经过的路径长度为L＋2
备选练习
1．（2007四川内江）如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为120°,OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2007浙江金华）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB．已知半径，，则管道的长度（即弧AB的长）为 cm．（结果保留）
3．（2007山东济宁）如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为 。
4．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4米，母线长3米，为防雨需要在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）
（A）6平方米 （B）6平方米 （C）12平方米 （D）12平方米
第三章 圆
《弧长及扇形的面积》
教学设计说明
佛山市南海石门实验中学 黄俭红
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生从孩提时代的感觉圆形，到小学的认识圆形，学习过圆周长和面积公式，而这个课题学生在前阶段学完了?“圆的认识”、?“与圆有关的位置关系”、“圆内接正多边形”的基础上进行的，让学生具备推导出弧长和扇形面积的计算公式的奠定了基础.
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历参与研究探索的情感体验, 自主探索的能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
二、教学任务分析
本节教材是在学生学习了圆的有关概念性质、圆心角圆周角和过三点的圆等内容之后，对弧长和扇形面积的计算的学习，研究的是初中阶段弧长公式和扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用.弧长公式和扇形面积公式是以圆的周长和面积公式为依据的.本节内容是圆的有关计算中的一个重要问题，是学习圆锥的侧面展开图的基础，也是高中进一步学习弧长公式和扇形面积公式的基本内容.因此本节课的教学目标如下：
1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.
2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想.
3.通过现实生活图片的欣赏，让学生感受到美的生活离不开数学，激发学生学习数学的兴趣；通过对弧长和扇形面积公式的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验；通过同桌的讨论、交流和解决问题的过程，让学生更多的展示自己，建立自信，树立正确的价值观.
三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：情境引入、探索新知、例题学习、归纳总结、巩固练习、课堂小结、布置作业.
第一环节 情境引入
活动内容：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角 ，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
活动目的：让学生观看生活中的弧和扇形，感受数学就在我们的身边，进而出示实际生活中的问题，引发学生的思考分析,激励学生自主的提出要研究的问题——弧长和扇形面积的问题,这样,学生带着问题开始新知识的探索.这样与实际相联系的问题，调动了学生观察思考的积极性，加深他们对几何图形的理解和渴望探索新知识的求知欲.这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）
实际教学效果：学生观察图片，阅读生活中的实际问题，自觉的提出弧长和扇形面积的计算，激发学生学习新知识的热情.将学生的注意力牢牢吸引至课堂，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分.
第二环节 探索新知
活动内容：
活动1 ?探索弧长公式
提出以下3问题：
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?
2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
活动目的：在这一环节，我从一个生活中的实际问题出发，设计了3个小问题，让同桌的同学讨论分析，得出计算弧长的公式，明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论.
实际教学效果：教师通过提出问题，引导学生分析弧长和圆周长之间的关系，推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式.引导学生层层深入，逐步分析，尽量提问学生回答，相互补充，得出结论.学生体会从特殊-一般-特殊的认知过程，会推导出弧长公式.
活动2 探索扇形面积公式
（1）观察与思考：怎样的图形是扇形？
（2）扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
（3）讨论如何求扇形的面积？
圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少？
圆心角为n°的扇形面积是圆面积的多少?
活动目的：关于扇形面积的计算，我首先借助幻灯片放映在圆中构建扇形的过程，让学生观察与思考，借助直观的图形来加深学生对扇形的认识，鼓励学生尝试着总结出扇形的概念，通过扇形的识别，提高学生的识图能力，培养学生自主获取知识的能力和语言表达能力.观察分析圆心角不同的扇形，总结出影响扇形面积的两个因素，进而探究扇形面积的计算公式.学生学以致用，在弧长公式的推导过程中，是由老师引导着分析；而扇形面积公式完全由学生自己推导，锻炼他们的探索新知识的能力，体验成功的快乐.
实际教学效果：学生观察图片，理解扇形定义，并能准确判断出什么样的图形是扇形.由观察图片和图形得出概念，记忆较深刻，对熟练判断是否为扇形铺平道路.让学生明白只有明确定义才能更好的学习更深一层次的知识的道理.而教师在引导学生在探索出弧长公式的基础上，学生自己尝试寻找探索方法,将扇形面积和圆的面积结合起来，分析得出扇形面积公式.让学生体会从特殊-一般-特殊的认知过程，会计算扇形面积.
第三环节 例题学习
活动内容1：例1
制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果用含π的式子表示).
活动内容2：想一想
活动内容3：例2
活动目的：通过练习，教师提问学生从图中获得哪些信息，学生是否能熟练掌握弧长公式和扇形面积公式中半径、圆心角之间的换算关系.而对实际问题教师引导学生分步分析，分步计算.体会数学来源于生活并服务于生活.
实际教学效果：学生刚开始对公式不太熟悉，在完成练习过程中还是偶尔会看看公式，运算结果还是令人满意的.
注意：在应用弧长公式l ，扇形的面积公式进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
第四环节 归纳总结
活动内容：
问题：比较扇形面积与弧长公式, 你能用弧长表示扇形面积吗？
活动目的：让学生在合作交流的基础上尝试推导出扇形面积和弧长之间的关系.学生尝试用更好的方法记忆公式.进一步加强学生合作交流和归纳总结能力，渗透类比思想.
实际教学效果：扇形的面积的另一个计算公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看作是一个曲边三角形，把弧长看成是底，半径看成是高就可以了.这样对比，有助于学生记忆公式.实际上，把扇形的弧分的越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小等腰三角形，扇形的面积就是这些等腰三角形面积和的极限.同时教师可根据学生的情况来选择是否渗透极限的思想.
第五环节 巩固提升
活动内容：随堂练习 1、2
活动目的：掌握并灵活运用公式.
实际教学效果：这两个题要求学生具有较强的综合运用能力，第1题要求学生掌握弓形的计算方法是用扇形的面积减去一个等腰三角形的面积，而这就涉及到三角函数的知识、勾股定理、垂径定理等相关的知识，另外学生表达起来也是有点困难的，教师最好起到示范作用；而第2题学生审题有困难，理解不清晰，如题中所说的“直线段共长200米”，是指2条直的和是200米，还是1条直的是200米？和“一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？”，教师要帮助学生审清楚题意.同时，数字较大，过早精确会误差较大，影响结果的准确性.
第六环节 课堂小结
活动内容：师生以谈话交流的形式，围绕如何推到弧长和扇形面积公式这两个问题，共同总结本节课的学习收获.另外也可以从知识、方法、情感三方面加以小结，特别是适当的鼓励和评价，体现教师与学生的情感交流.
实际教学效果：小结这一环节让学生来完成,通过学生谈论自己的收获,让学生在加深对弧长公式和扇形面积公式的理解和记忆基础上，学会表达和交流，牢固的掌握所学的新知识，并学会创新应用，既前后呼应，解决问题，还提供了实践的机会.
第七环节 布置作业
习题3.11 1、2、3、4题
四、教学设计反思
1.教学理念
本节课在“以学生发展为核心”的理念下，最大限度地实现学生的主体地位.从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在师生之间、生生之间的互动中，使数学教学成为一种“过程教学”，让学生在“数学活动”中获得数学的“思想、方法、能力、素质”，同时获得对数学的情感；教师是学习活动的设计者、组织者、参与者，力求为学生的发展创设一个和谐与开放的思考、讨论、探究的氛围，激发学生的学习兴趣，使学生在平等、尊重、信任、理解和宽容中受到鼓励和鼓舞，从而实现传授知识和培养能力的融合.
2.教学设计的优势
弧长和扇形的面积，在新课标、新教材中是要求学习的内容，在本节教学中我结合学生的实际要求，从学生熟悉的情境（话题）切入点来引入弧长的计算问题，用圆的周长和面积来探求弧长和扇形的面积，把特殊图形（阴影部分）转化为扇形、三角形等图形的面积，所有这些都体现了一种学习的方法和策略，在潜移默化中影响学生.另外对于扇形的第二个计算公式，把“弧”看成“边”，把“扇形”看成“曲边三角形”不仅有利公式的理解和记忆，更有利于数学思想方法的形成，一举多得.同时，教学过程中注意因材施教，根据学生的基础，创设多姿多彩的问题情境，为每一个学生创造发挥自己才能的空间，让学生体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力，合作探究能力，自主学习能力与创新精神.本节课，通过学生自主探究来获取知识，合作交流来解决实际问题，由弧长公式的推导完成扇形面积公式的推导，渗透类比思想；在扇形面积公式的教学时，又渗透了极限的思想，这对于学生以后的学习很有益处.
此外，在教学中，加强数学教学与信息技术教育的整合，利用计算机、实物投影等多媒体教学手段，向学生展示丰富多彩的数学世界，有利于激发学习数学的兴趣，加之与探究性教学的结合，也有利于调动学生学习数学的积极性.
3.存在问题
本课是一节新授课，在教学中不能把知识的结果强加于学生，虽然应用直观形象的手段，让学生经历了知识的生成过程，但因学生水平的差异，在应用弧长和扇形面积公式时有部分人混淆方法.在结论的应用上，设计了例题和练习.练习仅仅是两个扇形面积公式的简单应用，例题对扇形面积公式的应用加深了一点难度，但经过教师的指导，学生的分组讨论，都得到了圆满的解决.另外还需注意引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想；解题时，不能写出完整的解题过程，不会用几何语言进行描述.在以后的教学中要有意的进行培养和加强练习.
课件15张PPT。北师大版九年级下册第三章《圆》3.9 弧长及扇形的面积想一想（1）1o的圆心角所对的弧长是多少？ABOR（2）no的圆心角所对的弧长是多少？
1o的圆心角所对的弧长是 no的圆心角所对的弧长是复习：已知⊙O的半径为R，则O的周长和面积是多少？注意：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”.例如：圆的半径Ｒ＝10，计算20°的圆心角所对的弧长ι时，不要错写成ι＝ .
（2）题目中没有标明精确度，则弧长用π表示，如10π.
（3）在弧长公式中，已知ι、n、R中的任意两个量，都可以求出第三个量.如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?
2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算
公式为 .A探索新知
开心练一练：
（1）1o的弧长是 。半径为10厘米
的圆中，60o的圆心角所对的弧长是（2）如图同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ ）OABCD（A）1∶1 （B）1∶2
（C）2∶1 （D）1∶4B例题学习例1 制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果精确到0.1mm).想一想在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？9πm2在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢?如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
扇形的周长是
2R+L什 么 是 扇 形 ？如何求 扇 形的面积 ？我们一起来讨论一下.圆心角是10的扇形面积是多少？圆心角为n0的扇形面积是多少?圆心角是n0的扇形面积是圆面积的n/360 如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，r 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：结论：问题1：比较扇形面积与弧长公式, 你能用弧长表
示扇形面积吗？扇形面积与弧长公式联系温馨提示（1）当已知弧长L和半径R， 求扇形面积时，应选用
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，
应选用 （n应理解为1°的倍数，不带单位）
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而增大.1.圆心角是3600的扇形面积是多少？2.圆心角是1800的扇形面积是多少？3.圆心角是900的扇形面积是多少？4.圆心角是2700的扇形面积是多少？ 设问：结论：想一想：例2 扇形AOB的半径为12cm, ∠AOB=120°,求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)。开心做一做一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
则弧长= ，扇形面积= .2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为 .已知扇形的元宵节为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ）
A. 3π B.4π C.5π D.6ππ2π300oB归纳总结弧长与圆的周长有关，扇形的面积与圆的面积有关。
因此，计算弧长是 ;
而计算扇形的面积时是 .
巩固提升 随堂练习 1、21.练习Ｐ101
2.作业Ｐ102，习题1、2
