3.1 函数的概念及其表示（2课时）教学设计

《函数的概念》第一课时
教学内容
函数的概念第一课时
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第三章3.1.1函
数的概念。本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法。
2. 地位与作用
函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。
函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。
（三）学情分析
1.认知基础：
学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。
2.认知障碍：
由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。
（四）教学目标
1. 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。
2.培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。
3.渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。
教学重难点：
1.教学重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。
2.教学难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念;理解函数的对应关系
教学思路与方法
教法:以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的
启发式教学为主，变式教学为辅，及引导、探究、讲解、演练相结合。
学法:自主探究、合作交流
课前准备
多媒体
（八）教学过程
教学环节：新课引入
教学内容 师生活动 设计意图
提出问题 我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？ 我们为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题： 正方形的周长l于边长x的对应关系是l=4x,这个函数与正比例函数y=4x相同吗？ 2.你能用已有的函数知识判断y=x与是否相同吗？ 教师提出问题，学生思考 通过问题引导学生发现用已有概念不太容易回答的问题，引发学生的认知冲突，有着承上启下的作用。既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言来刻画函数的本质做好伏笔。
教学环节：新知探究
教学内容 问题1：请同学们根据如下情境回答问题： 某高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时. （1）这段时间内，列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系如何表示 这是一个函数吗 为什么？ （2）如果有人说：“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350 km/h后，运行Ih就 前进了 350 km. ”你认为这个说法正确吗？ （3）你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确？ 师生活动 教师给出问题后让学生先独立思考并写岀回答要点，再小组交流，并提醒学生先 不要看教科书. 让学生分组收集并归纳问题的回答要点，并将要点反馈给教师，教师在全班交流的基础上进行适当点评. 设计意图 问题(1)是为了让学生回顾初中所学函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问 题； 问题(2)是要激发认知冲突，发现其中的不严谨； 问题(3)是为了让学生关注到t的变 化范围，并尝试用精确的语言表述。
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资，那么： （1）你认为该怎样确定一个工人的每周的工资？ （2）-个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？ （3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给岀这个问题中w与d的对 应关系的精确表示吗？ 追问：问题1和2中函数的对应关系相同,你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 问题3:图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air QUaIity Index,简称AQD）变化图. 0 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00 24:00 （1）如何根据该图确左这一天内任一时刻t的空气质量指数(AQD）的值I （2）你认为这里的I是t的函数吗 如果是，你能仿照前而的方法描述I与t的对应关系吗 追问：(1)你能根据图1我到中午12时的AQl的值吗 这个值是否唯一-存在？ 问题4：国际上常用恩格尔系数r(r=×100%）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。 表3.1-1我国某省城镇居民恩格尔系数变化 年份y2006200720082009201020112012201320142015恩梧尔系数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57
你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗 为什么？ 如果是,你能仿照前而的方法给出精确的刻画吗？ 如果我们引入B4={r|0≤r≤l},将对应关系表述为“对于任意-个年份y,都有B4 中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗？ 问题5：上述问题1 问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征 吗 问题情境自变量的集合对应关系函数值所在的集合函数值的集合问题1Al={t 0≤t≤0. 5}S=350tBl= {S| 0≤S≤150}B1问题2A2={l,2, 3,4,5, 6}W=35OdB2={350.，700, 1050,1400, 1750, 2100}B2问题3A3={t 0≤t≤24}图1B3={I|0教师引导学生共同归纳得出： （1）都包含两个非空数集,用A, B来表示; （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数集A中的任意一个数X, 按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示 对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系。 函数定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）． 问题6:如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？ 函数-次函数二次函数反比例函数a>0a <0对应关系定义域值域
学生阅读题目后，自主回答. 在追问的基础上,教师阐释:因为对于数集 A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t,都有 唯确定的AQl的值I与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出I是t的函数, 而且还可以断述I的取值范围也是确定的。 先让学生思考,恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 学生给出的函数值取值范围可能是表中r的10个值，教师在肯定的基础上进行引导: 根据恩格尔系数的定义，r的取值范围是B4={r|0≤r≤l}。 给学生充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程. 如果学生归纳、概括有困难,可以给出表格帮助学生思考. 教师用一次函数与二次函数进行示范,学生用反比例函数进行练习。 问题(1)是引导学生使用不同表示方法，例如表格的形式、解析式w=350d等.问题(3)是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，又训练抽象槪 括能力.通过追问，使学生进一步关注定义域、值域问题. 学生根据图象描述对应关系有困难,特别是在值域不能完全确定时,通过引入 一个较大范用的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的.为此，在问题(1)之后，先让学生认可图象表示 一个函数,然后再通过教师讲解、给岀对应关系的描述方法，从而化解难点。 与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从面使学生接受.另外，对于函数值所在的集合B4的合理性，教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释。 让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征,体会数学抽象过程,概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学“抽象素养”这一难点。 用函数的定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三个要素.
教学环节：课堂小结
教学内容 教师引导学生回顾本课的学习内容,并引导学生回答下列问题： （1）什么是函数 其三要素是什么？ （2）对于对应关系,你有哪些认识？ （3）与初中学习过的函数概念相比,你对函数又有什么新的认识？ （4）本节课我们是怎样得到函数概念的 结合本课的学习，你对如何学习数学又有什么体会？ 师生活动 教师提出问题后，先由学生思考后再进行全班交流，教师进行总结。 设计意图 引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数槪念的理解。
教学环节：课堂练习
1. 你能构建一个问题情境，使其中函数的对应关系为y =x(10-x)吗？ 学生思考练习 进一步加深对函数概念的理解。
教学环节：布置作业 P63 1-3
教学环节：板书设计
函数的概念 例题 定义： 小结：
《函数的概念》第二课时
（一）教学内容
区间的概念，函数三要素，的含义在具体函数中，正确求出的值，函数的定义域值域。
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第三章第1节《函数的概念》第2课时，是在学习了函数的定义之后对函数研究的进一步深化和提高。
2. 地位与作用
函数的概念及其反映的思想方法不仅是进一步学习数学的基础，也是学习其他学科的重要基础，更是解决问题的重要工具。
（三）学情分析
在初中阶段，学生学习的是具体函数，并且关注的是变量之间的依赖关系，虽然涉及变量之间的对应，但在那里的对应仅是自然语言，而不是数学中的对应关系，也不关注变量的变化范围。在高中阶段，不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要从具体问题出发，抽象概括出函数的一般概念，学会用集合与对应的语言刻画函数。
（四）教学目标
1. 学会用区间表示数集，并能用区间表示函数的定义域和值域；能够说出f(x)的含义，并能在具体的函数中，正确求出f(x)的值；
2.通过探索，学会求一些简单函数的定义域和值域，在此过程中提升数学运算和直观想象素养；
3.通过判断两个函数是否为同一函数，在此过程中提升逻辑推理素养。
（五）教学重难点：
1.教学重点：区间的概念，函数的定义域值域；
2.教学难点：求函数的值域，判断函数是否同一函数。
（六）教学思路与方法
教法:启发式教学方法,并借助多媒体辅助教学.
学法:自主探究、合作交流.
（七）课前准备
多媒体课件PPT
（八）教学过程
教学过程
教学内容 师生活动 设计意图
问题1 研读课本p64p65例2前内容，叙述区间的概念。请同学们在阅读后填写下表： 定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间
教师提出问题，学生回答问题 教师指导学生自学，解决学生提出的问题，并指出说明： （1）区间是集合； （2）区间的左端点必小于右端点； （3）无穷大是一个符号，不是一个数； （4）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号。 此情境的设置是为学生提供了自主探究的平台，从阅读学习中发现问题、分析问题、解决问题，既符合了学生的心理特点，又注重了学生的思维过程。
教材65 例2 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求的值； （3）当时，求的值。 问题2独立完成教科书p65例2，对照教科书修改自己的解答。给定一个函数f(x)，则f(2),f(3),f(a)的含义分别是什么？ 问题3 怎样求函数的定义域？ 例3下列函数中哪个与函数y=x相等？ （1） （2） （3） （4） 师问：判断函数相等的依据是什么？ 问题4 如何判断两个函数是否相同？ 让学生思考，并提问个别学生。当对应法则确定后，对于定义域内的一个数，只要将它代入解析式，就可求出它所对应的函数值，进一步体会函数记号的含义。 在函数定义中，我们用符号y=f(x)表示函数，其中f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘x. 学生思考，教师总结 学生思考，教师总结 判定两个函数是否相同，不仅要看对应关系是否一样，还要看定义域是否相同。通过判断函数的相等使学生认识到函数的整体性，进一步加深学生对函数概念的理解。 引导学生对问题进行抽象概括并归纳总结： 当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，我们就称这两个函数相等。 例题是为了使学生更好地理解函数定义而设置的，既考虑了数学思维的严谨性，也体现了数学知识的应用性。 进一步明确函数记号的含义 归纳总结求定义域的方法 相等函数的理解 以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。
教学环节：课堂练习
教材 P67 练习 1 2 3
教学环节：小结思考 布置作业
(1)区间的定义 (2)求函数的定义域 练习册p69函数的概念第二课时
教学环节：板书设计
函数的概念（2） 区间定义： 例3 例2 小结：
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