3.1 函数的表示法（2课时） 教学设计

《函数的表示法》第一课时
（一）教学内容
函数的三种表示法：解析法，图像法，列表法。各自的特点及联系。认识分段函数。
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第三章第1节《函数的概念及其表示》第3课时。在学习了函数概念之后学习表示法对函数研究的进一步深化和提高。
2. 地位与作用
函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数的概念，深化对具体函数模型的认识的需要。同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示法也是向同学渗透数形结合思想，培养学生直观想象素养的重要过程。
（三）教学目标
1.理解函数的三种表示方法；把握分段函数。
2.掌握三中表示办法实质一样，各自的特点，及联系，培养学生从不同角度看问题，及数形结合思想。
（四）教学重难点：
1.教学重点：函数的三种表示法及其他们的相互转化，分段函数及其表示法。
2.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的研究。
（五）教学思路与方法
教法:问题引导、启发式教学方法,并借助多媒体辅助教学.
学法:自主探究、合作交流.
（六）课前准备
多媒体安装GGB画图软件
（七）教学过程
教学环节：新课引入
教学内容 师生活动 设计意图
复习回顾 以前学过哪几种表示函数的方法 教师提出问题，学生回答问题 解析法、列表法和图象法
教学环节：新知探究
教学内容 师生活动 设计意图
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. （3）列表法：就是列出表格来表示两个变量 比较三种表示法，它们各自的特点是什么？ 如,s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a≠0),y=x+2等等都是用解析式表示函数关系的.3.1.1的问题1、2. 如3.1.1的问题3. 如3.1.1的问题4. ①函数关系清楚、精确； ②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质. 能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础. 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用.
教学环节：例题解析
教学内容 师生活动 设计意图
例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 例2.画出函数y=|x| 的图象. 例3.给定函数 解：这个函数的定义域是：数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x, x∈｛1,2,3,4,5｝ 用列表法可将y=f(x)表示为 用图象法可将y=f(x)表示为 （1）在同一直角坐标系中画出函数 的图象； 函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离散的点等。那么判断一个图形是不是函数图像的依据是什么？ 明确函数图像实质。 明确分段函数概念 加深分段函数理解
教学环节：课堂练习
教材 P69 练习 1 2 3 课件中几个分段函数
教学环节：小结思考 布置作业
（1）理解函数的三种表示方法； （2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数； （3）注意分段函数的表示方法及其图象的画法;
教学环节：板书设计
函数的表示法 三种表示法： 课堂练习 例5 小结
《函数的表示法》第二课时
（一）教学内容
1．在实际问题中，如果涉及函数，选择恰当的表示方法
2. 会求函数的对应关系
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第三章第2节《函数的表示》第2课时。是在学习了函数的表示之后对函数研究的进一步深化和提高。
2. 地位与作用
函数的表示法及其反映的思想方法不仅是进一步学习数学的基础，也是 学习其他学科的重要基础，更是解决问题的重要工具。
（三）学情分析
在初中阶段，学生学习的是具体函数，并且关注的是变量之间的依赖关系，虽然涉及变量之间的对应，但在那里的对应仅是自然语言，而不是数学中的对应关系，也不关注变量的变化范围。在高中阶段，不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要从具体问题出发，选择合适的方法表示函数。
（四）教学目标
1.通过研究一些实际问题，学会在实际情境中，根据不同的需要选择恰当的方法
会求一些函数的对应关系，进一步理解函数定义中对应关系f的含义，在此过程中提升数学抽象素养。
2.通过探索，选择合适的方法表示函数，在此过程中提升数学运算和直观想象素养；
3.将实际问题数学化，在此过程中提升逻辑推理素养。
（五）教学重难点：
1.教学重点：会求一些函数的对应关系
2.教学难点：学会在实际情境中，根据不同的需要选择恰当的方法
（六）教学思路与方法
教法:启发式教学方法,并借助多媒体辅助教学.
学法:自主探究、合作交流.
（七）课前准备
多媒体课件PPT
（八）教学过程
教学过程
教学内容 师生活动 设计意图
问题1 研读课本p69例7，观察下表： 第一次第二次第三次第三次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班级平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
问题2 研读课本p70例8，观察下表： 教师指导学生画出每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系： 此情境的设置是为学生提供了自主探究的平台，从阅读学习中发现问题、分析问题、解决问题，既符合了学生的心理特点，又注重了学生的思维过程。 此问题的设计让学生充分体会分段函数的应用广泛。
新知探究 类型一　待定系数法求函数解析式 【典例1】若二次函数f(x)= x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且方程f(x)=0的一个根为1.求函数f(x)的解析式. 类型二 代入法求函数解析式 （2）本例条件不变,求f(x+1)的解析式. 类型三　换元法(或配凑法)求函数解析式 2已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式. 类型四　方程组法求函数解析式 3已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x). 【方法总结】 1.待定系数法的适用条件及步骤 (1)适用条件:函数的类型已知. (2)一般步骤: ①设出解析式; ②依据条件列出方程(组); ③解方程(组)写出解析式. 2.换元法的适用条件及步骤 适用类型:已知f(g(x)),求f(x)的解析式. 一般步骤: (1)换元:令t=g(x),并写出t的范围. (2)求解:用t表示x. (3)代入:将用t表示的x代入原式,写出解析式. 教师引导学生写出解题过程： 解析】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为1得: 所以f(x)=x2-1, 故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x 【解析】(1)令t= +1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以f(x)=x2-1(x≥1). 解：因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,① 以-x代换x得： f(-x)+2f(x)=x2-2x,② 由①②得3f(x)=x2-6x, 所以. 注意事项 (1)换元法求函数的解析式时,要注意换元后自变量的取值范围. (2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题. 求函数解析式的方法经常使用，对函数的学习有很大的帮助。既考虑了数学思维的严谨性，也体现了数学知识的多样性。 进一步明确函数的含义 归纳总结求函数解析式的方法 不同题型的设计引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。
教学环节：课堂练习
教材 P71 练习 1
教学环节：小结思考 布置作业
通过研究一些实际问题，学会在实际情境中，根据不同的需要选择恰当的方法 会求一些函数的对应关系，进一步理解函数定义中对应关系f的含义，在此过程中提升数学抽象素养。 练习册p77函数的表示法第二课时
教学环节：板书设计
函数的表示法（2） 例7例8 类型一 类型三 类型二 类型四
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