2024年北京房山高一（上）期中数学（PDF版，含答案）

房山区 2024—2025 学年度第一学期期中学业水平调研
高一数学
本试卷共 4 页，150分，考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题 共 50分）
一、选择题共 10小题，每小题 5分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A {0,1,2}，B { 2, 1,1,2}，则 A B
（A） 2, 1,0,1,2 （B） 2, 1,1,2
（C） 2, 1,0,1 （D） 2,0,1,2
（2）设命题 2p : x R ， x 3x 18 0 .则 p 为
（A） x 2 2R,x 3x 18 0 （B） x R,x 3x 18≤0
（C） x 2R,x 3x 18 0 （D） x R,x2 3x 18≤0
1
（3）函数 f (x) 3x 1 的定义域为
x 3
1
（A）[ , ) （B） (3, )
3
1
（C）[ ,3) (3, ) （D） ( ,3) (3, )
3
（4）下列函数中，既是偶函数又在 (0, )上单调递减的是
y x2（A） 2（B） y x 1
2 1
（C） y (x 1) （D） y x
x
（5）已知a,b R 且a b 0，则下列结论正确的是
1 1
（A） （B）ab b2
a b
1 1
（C） ab a2 （D）a b
b a
6
（6）已知函数 f (x) x2 ，在下列区间中，一定包含 f (x) 零点的区间是
x
（A） ( 2, 1) （B） (0,1) （C） (1,2) （D） (2, )
x 1
（7）已知 x R ，则“ 1≤ x≤2”是“ ≤0”的
x 2
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市
场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为 x 千克，小王付款后剩余现金为 y 元，则 x 与
y 之间的函数关系为
（A） y 3000 100x ， x (100,1200)
（B） y 3000 100x ， x [100,1200]
（C） y 3000 2.5x ， x (100,1200)
（D） y 3000 2.5x ， x [100,1200]
1 1 b a 1
（9）已知0 a 且M ， N ，则M ， N 的大小关系是
b 1 a 1 b 1 a 1 b
（A）M N （B）M N （C）M N （D）不能确定
2
（10）已知定义在R 上的奇函数 f (x) ，当 x 0时， f (x) x 2x .则不等式 f (x 1) f (x) 0的解集
是
1 1 1 1
（A） ( , ] （B） ( , ) （C） ( , ] （D） ( , )
2 2 2 2
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5分，共 30分。
（11）已知 f (2x) 4x 1，则 f (2)= _______.
（12）已知 1 x 2， 3 y 0，则 x y的取值范围是_______．
2 2
（13）已知a,b R ，使“若a 0且b 0，则a b ”为假命题的一组实数 a ，b 的值为a _______，
b _______.
n
（14）已知m,n R ，集合 A {1,m n,m}， B {0, ,n}，且 A B .则mn _______.
m
1
（15）函数 y 的值域为_______．
x2 3
ax 1, x a,
（16）已知函数 f (x) 当a 0时， f (x) 的最小值是_______；若 f (x) 存在最小值，则
(x 2)
2 , x≥ a.
实数 a 的取值范围是_______．
三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题满分15分）
已知全集U R，集合 A {x | 1 x 3}，B {x || x | 2}.
（Ⅰ）求 A B， ( U A)；
（Ⅱ）已知集合C {x | a x a 2}，若C B ，求实数 a 的取值范围.
（18）（本小题满分15分）
已知关于 x 的一元二次方程 x2 2ax a 2 0 .
1 1
（Ⅰ）当a 5时，设方程的两个实根分别为m ， n ，求代数式 的值；
m n
（Ⅱ）若该方程有两个正实根，求实数 a 的取值范围.
（19）（本小题满分15分）
某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状
的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包
括门窗所占面积）每平方米400元，左、右两面新建墙体每平方米150元，屋顶和地面以及其他共计7200
元，设屋子的左、右两面墙的长度均为 x(2≤ x≤4)米，总造价为 y 元．
（Ⅰ）写出 y 与 x 的函数关系式，并注明函数定义域；
（Ⅱ）当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价.
（20）（本小题满分15分）
f (x) x2已知函数 (a 1)x a .
（Ⅰ）当a 1时，判断函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）求关于 x 的不等式 f (x) 0的解集；
（Ⅲ）若 f (x) 2x≥0在区间 (1, )上恒成立，求实数 a 的取值范围.
（21）（本小题满分10分）
a
对于任意的n N* ，记集合E {1,2,3, ,n}，Pn {x | x ,a En ,b E }n n ，若集合 A 满足下
b
2
列条件：① A P ；② x , x An 1 2 ，且 x1 x2 ，不存在 k N
* ，使 x1 x2 k ，则称 A 具有性质 ．例
1 2
如，当n 2时，E {1,2}，P2 {1,2, , }
* 2
2 ， x1, x2 P2 ，且 x1 x2 ，不存在 k N ，使 x1 x2 k ，
2 2
所以 P2 具有性质 ．
（Ⅰ）写出集合P3 ，P4 中的元素个数，并判断P3 是否具有性质 ；
（Ⅱ）是否存在集合 A ， B 具有性质 ，且 A B ，使E15 A B ，若存在，请求出 A ， B ，若不
存在，请说明理由；
（Ⅲ）若存在集合 A ， B 具有性质 ，且 A B ，使P nn A B，求 的最大值．
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参考答案
高一数学
一、选择题（共 10小题，每小题 5分，共 50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 （A） （D） （C） （B） （D） （C） （B） （D） （A） （B）
二、填空题（共 6小题，每小题 5分，共 30分）
（11）3 （12） ( 1,5) （13）a 1，b 1 (答案不唯一)
1
（14） 1 （15） (0, ] （16）0 ，[0,1]
3
三、解答题（共 5 小题， 共 70 分）
（17）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意，集合B {x || x | 2} {x | x 2或 x 2}，
又因为 A {x | 1 x 3}，所以 A B {x | 2 x 3}.
因为全集U R，所以 ( U A) {x | x≤ 1或 x≥3}. ..........9分
（Ⅱ）因为C B ，C {x | a x a 2} ，
所以a 2≤ 2或a≥2，即a≤ 4或a≥2 .
所以实数 a 的取值范围为 ( , 4] [2, ) . ..........15 分
（18）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）因为当a 5时，方程 x2 10x 7 0的两个实根分别为m ， n ，
所以m n 10，mn 7 .
1 1 n m 10
所以 . ..........7 分
m n nm 7
（Ⅱ）设方程的两个正实根分别为 x1， x2 ，则
4a2 4(a 2)≥0,

x1 x2 2a 0,

x1 x2 a 2 0.
解得a≥2 .
所以实数 a 的取值范围为[2, ) . ..........15分
（19）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意可知，总造价为 y 元，左、右两面墙的长度均为 x (2≤ x≤4) 米，
12
则屋子前面新建墙体长为 米.
x
12
所以 y 3(150 2x 400 ) 7200(2≤ x≤4) .
x
16
所以 y 900(x ) 7200(2≤ x≤4) . ...........6 分
x
（Ⅱ）因为2≤ x≤4，
16 16
所以 y 900(x ) 7200≥900 2 x 7200 14400 .
x x
16
当且仅当 x ，即 x 4时，等号成立，
x
所以当左、右两面墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元.
..........15 分
(20) （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）当a 1时， f (x) x2 1是偶函数.
因为 f (x) x2 1的定义域为R ，关于原点对称，
且 f ( x) ( x)2 1 x2 1 f (x)，
所以 f (x) x2 1是偶函数. ..........5 分
2
（Ⅱ）由 f (x) 0，得 x (a 1)x a 0，
所以 (x 1)(x a) 0 .
当a 1时，原不等式的解集为 (1,a)；
当a 1时，原不等式的解集为 ；
当a 1时，原不等式的解集为 (a,1) . ..........10分
（Ⅲ）因为“ f (x) 2x≥0在区间 (1, ) 2上恒成立”等价于“ x x (x 1)a≥0在 (1, )上恒成
x2 x
立”，所以a≤ .
x 1
方法 1：
x2 x (t 1)2 t 1 2
令 t=x 1(t 0)，则 t 3.
x 1 t t
2 2
因为 t ≥2 2 ，当且仅当 t ，即 t 2 时，取等号.
t t
所以 x 2 1时取等号.
2
所以 t 3≥2 2 3.
t
所以a≤2 2 3 .
所以实数 a 的范围是 ( ,2 2 3] . ..........15 分
x2 x (x 1)2 3(x 1) 2 2
方法 2：a≤ x 1 3 .
x 1 x 1 x 1
2 2
因为 x 1 ≥2 2 ，当且仅当 x 1 ，即 x 2 1时，取等号.
x 1 x 1
2
所以 x 1 3≥2 2 3.
x 1
所以a≤2 2 3 .
所以实数 a 的范围是 ( ,2 2 3] . ..........15 分
(21)（本小题满分10分）
a
解：（Ⅰ）因为对于任意的 k N* ，集合E {1,2,3, ,n}，Pn {x | x ,a En ,b E }n n ，
b
1 2 3 1 2 3
当n 3时，E {1,2,3}，P3 {1,2,3, , , , , , }3 .
2 2 2 3 3 3
1 2 3 4 1 2 3 4 1 3
当 n 4时，E4 1,2,3,4 ，P4 {1,2,3,4, , , , , , , , , , } .
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2
所以集合P3 ， P4 中的元素个数分别为9，14 .
因为集合 A 满足下列条件：① A Pn；② x1, x2 A，且 x1 x2 ，不存在 k N
* ，
2
使 x1 x2 k ，则称 A 具有性质 .
因为1 P3，3 P3，1 3 2
2，2 N* ，不符合题意，
所以P3 不具有性质 ． ..........4分
（Ⅱ）证明：假设存在 A ，B 具有性质 ，且 A B ，使E15 A B ．其中E15 {1,2,3, ,15}．
因为1 E15 ，所以1 A B .
不妨设1 A．因为1 3 22，所以3 A，3 B．
同理6 A，10 B，15 A．因为1 15 42 ，这与 A 具有性质 矛盾．
所以假设不成立，即不存在 A ， B 具有性质 ，且 A B ，使E15 A B ．
..........7 分
（Ⅲ）因为当n≥15时，E A B P A B15 Pn ，由（Ⅱ）知，不存在 A ，B 具有性质 ，且 ，使 n .
a
若n =14，当b =1时，{x | x ,a E14} E14 ，
1
取 A1 {1,2,4,6,9,11,13}，B1 {3,5,7,8,10,12,14}，
则 A1，B1具有性质 ，且 A B ，使E14 A1 B 1 1 1．
a 1 3 5 7 9 11 13
当b = 4时，集合{x | x ,a E14}中除整数外，其余的数组成集合为{ , , , , , , }，
4 2 2 2 2 2 2 2
1 5 9 11 3 7 13
令 A2 { , , , }，B2 { , , }，
2 2 2 2 2 2 2
1 3 5 7 9 11 13
则 A2 ，B2 具有性质 ，且 A B ，使{ , , , , , , } A2 B 2 2 2 ．
2 2 2 2 2 2 2
a
当b = 9时，集合{x | x ,a E14}中除整数外，其余的数组成集合为
9
1 2 4 5 7 8 10 11 13 14
{ , , , , , , , , , }，
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 4 5 10 13 2 7 8 11 14
令 A3 { , , , , }，B3 { , , , , }．
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 2 4 5 7 8 10 11 13 14
则 A3， B3具有性质 ，且 A B { , , , , , , , , , } A B 3 3 ，使 3 3．
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a
集合C {x | x ,a E14 ,b E ,b 1,4,9}中的数均为无理数， 14
b
它与P14 中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令 A A1 A2 A3 C ， B B1 B2 B3 ，
则 A B ，且P14 A B ．
综上，所求 n 的最大值为14． ..........10分