人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径 教学设计（表格式）

教学设计
课题 24.1.2垂直于弦的直径
课型 新授课 √ 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 本节研究圆的轴对称性得到一个重要定理——垂径定理，主要探究的是垂直于弦的直径与弦所对的两条弧之间的关系，是以后在证明圆中线段相等、角相等、弧相等，以及直径与弦垂直有关问题的重要依据，也是在圆中进行有关计算的重要依据，所以本节课的内容在本章的学习中有着举足轻重的作用。在探究的过程中，培养了学生观察——归纳——猜想——证明的探究方法，提高了学生推理论证的能力.
学情分析 上节课学生学习了圆的定义及圆的相关概念，按照平面图形的研究思路，本节课我们需要继续研究圆的性质——轴对称性.学生在八年级已经学过轴对称的有关知识，有能力证明圆的周队形性，教师进行大问题的引领，学生可以通过轴对称性来探索垂径定理;学生也学过全等三角形以及等腰三角形的有关知识，所以容易将垂径定理的推理过程表达清楚.并且在平时的学习过程中，学生已经掌握探究图形性质的手段和方法，具备几何定理的分析，探索和证明的能力.
教学目标 1.通过折纸探究圆的对称性，并能说出圆是轴对称图形的证明过程. 2.通过圆的轴对称性进一步推导垂径定理并明确垂径定理的五个条件进一步说出其推论. 3.利用垂径定理及其推论能够解决有关证明、计算等问题.
重难点 会用文字语言、图形语言、符号语言描述垂径定理及推论 会证明垂径定理及其推论 能利用垂径定理及其推论解决简单的计算问题
教学评活动过程 教师活动学生活动环节一：知识积累教师活动 知识积累： 1.圆的定义 2.圆的相关概念 3.轴对称图形的定义 4.轴对称图形的性质学生活动 学生参照问题进行知识回顾，不会的听别的回答，唤醒旧知。设计意图 本教学环节以问题的形式呈现，唤醒学生的旧知，并参照旧知的研究思路沿来探究新知，构建知识之间的练习联系，实现知识的前沿后续，构建学生大单元的意识. 环节二：探究圆的轴对称性教师活动 活动一：折一折 猜一猜 请学生拿出准备好的圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次。 你有什么样的发现呢？ 你弄用文字来叙述你的发现吗？ 尝试画出图形，用几何语言叙述你的发现？ 活动二：你能证明你的发现吗？ 请根据画出的图形和写出已知求证，尝试证明你的发现。（小组合作完成） 已知：CD是⊙O的直径，A是⊙O上任意一点， 求证：A关于直径CD的对称点B也在圆上。学生活动 问题1学生回答：左右半圆能够重合；圆是轴对称图形.教师可以追问：你能说出它的对称轴吗？ 问题2在教师追问的基础上说出猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 问题3帮助学生理清证明一个命题的基本步骤：明确题设和结论;画出图形，写出已知求证；推理证明。同时渗透给学生证明一个图形是轴对称图形的方法：做垂直证相等，或者做相等证垂直。 活动二中采用小组合作探究的形式完成，生可以采用做垂直证相等，或者做相等证垂直。教师归纳总结：运用了三角形的三线合一，同时再次强调证明轴对称图形的方法，教师可以书写一种证明过程——做垂直证相等，为后面的垂径定理打下基础。设计意图 本环节旨在探究圆是轴对称图形，设计两个活动，活动一主要通过问题的形式，层层递进，让学生猜想出圆是轴对称图形，任意任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。活动二是让学生尝试证明圆是轴对称图形。再次强调圆中常用的辅助线：连半径得等腰。见到等腰三角形常用到它的性质——三线合一。研究图形和几何部分的关键在于研究思路，做声做题的关键在于辅助线的做法，这是都是在平时的学习中逐步进行渗透。环节三：探究垂径定理及其推论教师活动 活动三： 问题1：在上面的证明中CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，当直径CD⊥弦AB时，有哪些相等的线段和相等的弧呢？ 问题2：你能用文字语言描述上面的结论吗？ 教师进行引导得出垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 问题3：你能证明这个结论吗？ 问题4：垂径定理中的条件和结论分别是？ 教师强调直径只需要过圆心即可。 问题5：有条件（1）和条件（3）能推出（2）（4）（5）吗？ 教师特别强调平分弦（不是直径）。 问题6：用你能用文字语言表述（1）（3）推出（2）（4）（5）？ 得出推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。牛刀小试： 活动四： 思考：1.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。 2. 如图 ，在OO中 ，弦AB的长为 8cm,OE ⊥AB于 E, 且OE=3cm, 则⊙O的半径 = 学生活动 生回答：AP=BP，， 生在教师的引导下得出垂径定理。 生多种回答：三线合一；利用圆对称性。 生回答出五个条件：
（1）直径 （过圆心） （2）垂直于弦 平分弦（4）平分优弧 （5）平分劣弧 活动四：让学生边思考边说，巩固定理。 圆中常用的辅助线——连半径。设计意图此环节让学生通过教师设计层层递进的问题，学生的讨论、互动探究得出垂径定理及其推论。首先强化垂径定理的得来是圆的轴对称性，其次明确垂径定理中的五个条件知二得三。让学生建立知识之间的联系，形成结构化的意识。活动四通过图形的变形和反例强化学生对垂径定理的理解。环节四：应用定理及其推论教师活动 例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主拱桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）。 分析： 1.将实际问题抽象成数学问题； 2.确定圆心的位置，画出几何图形明确已知线段长和要求的线段长。 教师在学生展示后，明确CD长即拱高，AB 即弦长，OD即弦心距，OA即半径。在这四个量的关系中，先使用垂径定理，再利用勾股定理解决问题，知道其中两个要素可以求其余两个要素。学生活动 学生根据教师的引导先独立思考，再小组合作尝试解决问题。 学生进行展示，教师进行点评、总结。 设计意图此环节让学生使用垂径定理尝试解决问题，教师注重解题方法和思路的引导，培养学生主动思考和主动就解决问题的意识，巩固定理，加深理解。环节五：课堂小结教师活动 本节课你有什么收获？ 知识层面 方法层面 思想层面 教师呈现本节课的知识结构图。学生活动 学生独立思考进行回答，其余同学进行补充。设计意图构建本节课的知识结构图，利用学生建立知识之间的联系。环节六：达标检测教师活动 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．（图形参照课本83页练习2）学生活动 学生独立完成，对照答案。设计意图 检测学生本节课知识的掌握情况，进行查漏补缺。
板书设计 24.1.2 垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性 轴对称性的证明过程 垂径定理 3.推论
教学反思与改进 本节课让学生拿出自己手中的圆形纸片对折圆，观察对称性，学生很容易得到圆的对称性，为后面的学习做好铺垫。探究活动让学生在自己的纸片上画出与直径垂直的弦，并把圆形纸片沿直径对折，问学生会发现什么结论，通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新能力，也激发了学生探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是这节课中成功的地方。先通过一个简单的例题，加深对垂径定理的理解和运用，抽象概括出解决问题的一般方法。这样可以使学生体会成功的喜悦，之后再处理赵州桥的问题变成水到渠成的事情。 不足之处在于应该给更多的时间让学生独立思考，不要先急于引导学生分析，小组合作要提出有效的合作问题。
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