第2章 二次函数—最值问题 专题训练 （含详解）2024-2025学年北师大版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第2章 二次函数—最值问题 专题训练 （含详解）2024-2025学年北师大版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 242.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-14 21:55:56 | ||
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文档简介
2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数—最值问题》专题训练（附答案）
一、单选题
1．二次函数的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
2．已知二次函数，当时，函数y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．19
3．二次函数 (其中x是自变量且)， 当时， y随x的增大而增大，且时，y的最大值是，则m的值为（ ）
A． B． C．或6 D．6
4．如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数的最大值是8
C．当时，直线与该图象恰有三个公共点
D．关于x的方程的所有实数根的和为3
8．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列说法∶①；②；③；④ 若，是抛物线上的两点，则；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则 ．
10．已知二次函数，当时，的最大值是16，最小值是8，则 ．
11．在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
13．已知二次函数
（1）若则函数的最大值为 ．
（2）若当时，的最大值为5，则的值为 ．
14．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为 ．
15．如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，，那么y的最小值为 ．
16．如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为
三、解答题
17．在二次函数中．
(1)若它的图象过点，则的值为多少？
(2)当时，的最小值为，求出的值．
(3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且求的取值范围．
18．已知二次函数．
(1)当，时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求x的取值范围．
(2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m；
(3)当的长是多少m时，S取得最大值，最大值是多少？
20．牛肉干是内蒙古的特产，被誉为“成吉思汗的行军粮”．某超市销售一款牛肉干，每袋进价150元，售价170元，平均每月可售出200袋．为了提高利润，该超市决定涨价销售，经调查，每袋涨价1元时，平均每月可少卖出2袋．
(1)当该款牛肉干每袋涨价多少元时，当月利润最大
(2)若超市要求该款牛肉干每月盈利不低于5400元，求每袋牛肉干售价的取值范围．
21．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
【例题】
有一块三角形余料，它的边，高.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问加工成的正方形零件的边长是多少毫米
【点拨】：解四边形为正方形，
，
，
设正方形零件的边长为xmm，则，.
∵，
，即，
解得.故这个正方形零件的边长是．
【
问题探究】
(1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长是多少？
(2)如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形，如图②，求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
22．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的面积；
(3)线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B D B C B
1．解：，
所以有最小值，最小值是2．
故选：B．
2．解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
∵，函数图象开口向上，
又
∴当时，函数有最大值，此时，
故选：D
3．解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
又∵当时，y的最大值为，
∴时，，
即，
解得，，（舍去），
故选：D．
4．解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
故选：B．
5．解：设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，y有最小值，
∴线段最短时，的长为，
故选：D．
6．解：过点F作的垂线交的延长线于点H，
∵矩形中，，点G绕点E逆时针旋转得到点F，
∴，
∴，，
∴，
∵的中点G，
∴，
∴，
设，，
∴，，,
∴
故面积的最小值为，
故选B．
7．解：∵，是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴，
故A错误；
由图象可得，函数没有最大值，故B错误；
如图，当时，直线，
当时，，当时，，则，
即直线，与x轴交于点，与y轴交于点，如图，
此时直线与该图象恰有三个公共点，
故C正确；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D错误，
故选：C．
8．解：∵二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，
∴，，
，即，
，
∴，
，
∴①错误，②正确，
∴，
∴③正确，，
∴，
∵对称轴为直线，图象开口向下，
∴当，函数取最大值，即离顶点越远函数值越小，
∴，
，
，即，故⑤正确，
∵，是抛物线上的两点，
∴离顶点更近，
∴，故④错误，
∴正确的结论有②③⑤这个，
故选：B．
9．解：∵二次函数的图象的最低点在x轴上
∴且，
整理得，且，
解得，（舍去），
故答案为：2．
10．解：∵，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线，
当时，抛物线开口向下，当时，的最大值是16，最小值是8，
∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
∴，
解得
∴，
当时，抛物线开口向上，当时，的最大值是16，最小值是8，
∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
∴，
解得
∴，
综上可知，，
故答案为：12
11．解： 是关于字母的二次三项式，
，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
12．解：
，
，
当的时候，滑行的距离最长，
故飞机着陆后滑行的最长时间为秒，
故答案为：20．
13．解：（1）当时，该二次函数为，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
故答案为：；
（2）∵，
∴该二次函数的对称轴为直线．
当时，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
∵x轴上到的距离比到的距离大，
∴当时，y有最大值，
∴，
解得：；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴，
解得：．
综上可知a的值为或．
故答案为：1或．
14．解：二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴
，即 ，
二次函数解析式为 ，
点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，
，
，
m-n的最大值为 ．
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴
解得
∴，
∴
∵
∴抛物线开口向上，对称轴为
∴当时，y随m的增大而增大
∴时y的最小值为．
故答案为：．
16．解：设点P的坐标为，，
由题意可知：四边形的周长，
∴，
当时，C有最大值12．
故答案为：12．
17．（1）解：将点代入函数解析式得，
，
解得．
（2）解：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向上，
所以当时，
，
解得舍负．
当时，
，
解得舍去，
所以的值为．
（3）解：由，两点纵坐标相等可知，
，
即,
将点坐标代入函数解析式得，
，
又∵，
∴ ，
解得，
所以，
∵，
∴点离抛物线的对称轴比点离抛物线的对称轴近，
则，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
综上所述，的取值范围是或．
18．（1）解：①当，时，解析式为，
该函数的顶点坐标为；
②抛物线，开口向上，对称轴为直线，
当时，即，
解不等式得：或，
（2）∵二次函数开口向上，当时，y的最小值为3，
∴时，，
∵当时，y的最小值为；
∴时，，代入得：
，
，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，，
∴，
故抛物线解析式为：．
19．（1）解： 宽，则长，
，
又，且，
，
关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，即，
整理得：，解得：或，
，
，
当为时，面积为；
（3）解：由（1）知：，
，对称轴，开口向下，
当时，S最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
20．解：（1）设该款牛肉干每袋涨价x元，当月利润为y元．
根据题意可得，
，
当时，y最大，
答：该款牛肉干每袋涨价40元时，当月利润最大．
（2）由（1）知，，
解得，，
，
当时，利润不低于5400元，
此时，，
答：每袋牛肉干售价不低于180元不高于240元．
21．（1）解：设，则，
由题意知，
，
即，
解得，
，
故这个矩形零件的两条边长是，；
（2）解：设，矩形的面积为，
由题意知，
，
即，
解得，
，
的最大值为，此时，．
22．解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，．
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：；
（2）∵，，
∴，，
∵对称轴为 ，
∴ ，，
∴，
∴，
∴；
（3）令，则，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
则，
此时的最大值为2．
一、单选题
1．二次函数的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
2．已知二次函数，当时，函数y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．19
3．二次函数 (其中x是自变量且)， 当时， y随x的增大而增大，且时，y的最大值是，则m的值为（ ）
A． B． C．或6 D．6
4．如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数的最大值是8
C．当时，直线与该图象恰有三个公共点
D．关于x的方程的所有实数根的和为3
8．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列说法∶①；②；③；④ 若，是抛物线上的两点，则；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则 ．
10．已知二次函数，当时，的最大值是16，最小值是8，则 ．
11．在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
13．已知二次函数
（1）若则函数的最大值为 ．
（2）若当时，的最大值为5，则的值为 ．
14．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为 ．
15．如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，，那么y的最小值为 ．
16．如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为
三、解答题
17．在二次函数中．
(1)若它的图象过点，则的值为多少？
(2)当时，的最小值为，求出的值．
(3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且求的取值范围．
18．已知二次函数．
(1)当，时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求x的取值范围．
(2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m；
(3)当的长是多少m时，S取得最大值，最大值是多少？
20．牛肉干是内蒙古的特产，被誉为“成吉思汗的行军粮”．某超市销售一款牛肉干，每袋进价150元，售价170元，平均每月可售出200袋．为了提高利润，该超市决定涨价销售，经调查，每袋涨价1元时，平均每月可少卖出2袋．
(1)当该款牛肉干每袋涨价多少元时，当月利润最大
(2)若超市要求该款牛肉干每月盈利不低于5400元，求每袋牛肉干售价的取值范围．
21．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
【例题】
有一块三角形余料，它的边，高.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问加工成的正方形零件的边长是多少毫米
【点拨】：解四边形为正方形，
，
，
设正方形零件的边长为xmm，则，.
∵，
，即，
解得.故这个正方形零件的边长是．
【
问题探究】
(1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长是多少？
(2)如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形，如图②，求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
22．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的面积；
(3)线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B D B C B
1．解：，
所以有最小值，最小值是2．
故选：B．
2．解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
∵，函数图象开口向上，
又
∴当时，函数有最大值，此时，
故选：D
3．解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
又∵当时，y的最大值为，
∴时，，
即，
解得，，（舍去），
故选：D．
4．解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
故选：B．
5．解：设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，y有最小值，
∴线段最短时，的长为，
故选：D．
6．解：过点F作的垂线交的延长线于点H，
∵矩形中，，点G绕点E逆时针旋转得到点F，
∴，
∴，，
∴，
∵的中点G，
∴，
∴，
设，，
∴，，,
∴
故面积的最小值为，
故选B．
7．解：∵，是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴，
故A错误；
由图象可得，函数没有最大值，故B错误；
如图，当时，直线，
当时，，当时，，则，
即直线，与x轴交于点，与y轴交于点，如图，
此时直线与该图象恰有三个公共点，
故C正确；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D错误，
故选：C．
8．解：∵二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，
∴，，
，即，
，
∴，
，
∴①错误，②正确，
∴，
∴③正确，，
∴，
∵对称轴为直线，图象开口向下，
∴当，函数取最大值，即离顶点越远函数值越小，
∴，
，
，即，故⑤正确，
∵，是抛物线上的两点，
∴离顶点更近，
∴，故④错误，
∴正确的结论有②③⑤这个，
故选：B．
9．解：∵二次函数的图象的最低点在x轴上
∴且，
整理得，且，
解得，（舍去），
故答案为：2．
10．解：∵，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线，
当时，抛物线开口向下，当时，的最大值是16，最小值是8，
∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
∴，
解得
∴，
当时，抛物线开口向上，当时，的最大值是16，最小值是8，
∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
∴，
解得
∴，
综上可知，，
故答案为：12
11．解： 是关于字母的二次三项式，
，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
12．解：
，
，
当的时候，滑行的距离最长，
故飞机着陆后滑行的最长时间为秒，
故答案为：20．
13．解：（1）当时，该二次函数为，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
故答案为：；
（2）∵，
∴该二次函数的对称轴为直线．
当时，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
∵x轴上到的距离比到的距离大，
∴当时，y有最大值，
∴，
解得：；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴，
解得：．
综上可知a的值为或．
故答案为：1或．
14．解：二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴
，即 ，
二次函数解析式为 ，
点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，
，
，
m-n的最大值为 ．
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴
解得
∴，
∴
∵
∴抛物线开口向上，对称轴为
∴当时，y随m的增大而增大
∴时y的最小值为．
故答案为：．
16．解：设点P的坐标为，，
由题意可知：四边形的周长，
∴，
当时，C有最大值12．
故答案为：12．
17．（1）解：将点代入函数解析式得，
，
解得．
（2）解：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向上，
所以当时，
，
解得舍负．
当时，
，
解得舍去，
所以的值为．
（3）解：由，两点纵坐标相等可知，
，
即,
将点坐标代入函数解析式得，
，
又∵，
∴ ，
解得，
所以，
∵，
∴点离抛物线的对称轴比点离抛物线的对称轴近，
则，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
综上所述，的取值范围是或．
18．（1）解：①当，时，解析式为，
该函数的顶点坐标为；
②抛物线，开口向上，对称轴为直线，
当时，即，
解不等式得：或，
（2）∵二次函数开口向上，当时，y的最小值为3，
∴时，，
∵当时，y的最小值为；
∴时，，代入得：
，
，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，，
∴，
故抛物线解析式为：．
19．（1）解： 宽，则长，
，
又，且，
，
关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，即，
整理得：，解得：或，
，
，
当为时，面积为；
（3）解：由（1）知：，
，对称轴，开口向下，
当时，S最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
20．解：（1）设该款牛肉干每袋涨价x元，当月利润为y元．
根据题意可得，
，
当时，y最大，
答：该款牛肉干每袋涨价40元时，当月利润最大．
（2）由（1）知，，
解得，，
，
当时，利润不低于5400元，
此时，，
答：每袋牛肉干售价不低于180元不高于240元．
21．（1）解：设，则，
由题意知，
，
即，
解得，
，
故这个矩形零件的两条边长是，；
（2）解：设，矩形的面积为，
由题意知，
，
即，
解得，
，
的最大值为，此时，．
22．解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，．
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：；
（2）∵，，
∴，，
∵对称轴为 ，
∴ ，，
∴，
∴，
∴；
（3）令，则，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
则，
此时的最大值为2．