第四章 图形的相似 单元测试（含简单答案）2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似（单元测试）2024-2025学年九年级上册数学北师大版
一、单选题
1．将以点O为位似中心缩小后得到，若相似比为1：2，则和的面积之比为（　　）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
2．在和中，若，，，，则这两个三角形（ ）
A．是相似三角形，但不是全等三角形 B．是全等三角形，但不是相似三角形
C．是相似三角形，也是全等三角形 D．既不是相似三角形，也不是全等三角形
3．在小孔成像问题中，如图所示，若到的距离是24，到的距离是6，则像的长是物体长的（ ）
A． B． C．2倍 D．4倍
4．如图，三角形纸片中，，，分别沿与，平行的方向，从靠近点A的边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是（ ）
A．9 B．14 C．15 D．21
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）
A． B．2 C． D．4
6．如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，已知．若的面积为8，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
9．如图，在中，点为边上的一点，且，过点作， 交于点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，两点分别在，边上，且，则与面积的比值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是 ．
12．如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ．
13．如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是 ．
14．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ．
15．甲、乙两城间的图上距离约为5cm，在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两城间的实际距离约为 cm．
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，，则矩形ABCD的面积为 ．
17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，E为AB中点，若AB＝6，AD＝2，点F在射线BC上且满足∠ADE＝∠BAF，则CF的长为 ．
18．已知：在△ABC中，D为BC边上一点，AB＝2，CD＝3，BE平分∠ABC交AD于E，AC于F，在下列条件中选一个，求的值．①∠BAD＝∠C；②BD＝1．我选择 　 　．（填序号）
三、解答题
19．某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形.
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明.
20．已知，求下列算式的值．
(1)；
(2)．
21．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米．
(1)求明德楼的高；
(2)求塑像的影长．
22．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点P是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点Q，连接，设点Q的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在点P运动过程中，连接，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
23．如图，在中，，，，点P由C点出发以的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）填空：在__________秒时，的面积为的面积的；
（2）经过几秒，以P，C，Q为顶点的三角形与相似？请说明你的理由．
24．已知：正方形边长为2．点为边上的动点，以直线为对称轴翻折得（如图）．连接，取中点，连接．

(1)当翻折后，若点刚好落在对角线上，求此时的长度．
(2)当点P由A运动到D时，求点M的运动轨迹的长度．
(3)如果将“点P为线段上的动点”改为“点为射线上的动点”，其它条件不变，那么当等腰三角形时，求此时的长度．
参考答案：
1．D
2．C
3．A
4．B
5．A
6．A
7．A
8．A
9．C
10．B
11．
12．5
13．150
14．
15．25000
16．
17．
18．①或②/②或①
19．（1）1,2,3. （2）乙同学的结果不正确. （3）丙同学的结论正确.
20．(1)
(2)
21．(1)12米
(2)4米
22．(1)
(2)
23．（1）2秒或4秒；（2）秒或秒
24．(1)
(2)
(3)或或