第一单元 《长方体和正方体》 单元复习讲义（讲义）
六年级数学上册专项精练（知识梳理+素养目标+易错集锦+典例精讲+专项精练）
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1、核心素养目标：
（1）数学运算能力：学生能够熟练掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，并能灵活运用到实际问题中。
（2）空间想象能力：学生能够准确地想象和描述长方体和正方体的三维结构，以及它们的展开图。
（3）逻辑推理能力：学生能够通过逻辑推理，理解长方体和正方体的性质，并能解决相关的几何问题。
（4）实践应用能力：学生能够将长方体和正方体的知识应用到实际生活中，解决实际问题。
2、学习目标：
（1）掌握长方体和正方体的特征，能计算它们的表面积和体积。
（2）通过观察、操作、推理等方法，理解长方体和正方体的性质和计算公式。
（3）培养学生对几何图形的兴趣，激发学生探索空间图形的热情，增强学生解决实际问题的信心。
1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。
2、 长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。
1、沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。
2、正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。
1、意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。
2、计算方法：
（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽 ×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。
（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。
3、稍复杂的长方体和正方体表面积的计算：在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。
1、体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
2、容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
3、相邻体积单位间的进率：体积单位常用到，相邻进率是1000；立方分米立方米，它们进率是1000；立方分米立方厘米，它们进率是1000。
1、长方体的体积=长×宽×高，字母公式为?V=abh。
2、 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为?V=a3。
3、长方体、正方体体积的统一公式
①底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
②体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。
一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。
（1）3面涂色的小正方体有8个。
如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。
易错点拨：（1）对长方体的特征理解不全面，误认为长方体只有相对面的面积相等。
（2）一般情况，长方体只有相对面的面积相等。但当长方体中有两个相对的面是正方形时，另外四个面的面积都相等，也就是说另外四个面中相邻的面的面积也相等。
易错点拨：
（1）求物体原材料的面积的时候，分不清求几个面的面积。
（2）要求物体的表面积，首先要想清楚该物体要计算几个面的面积。有些题目中有明确的说明：“无盖”底部和四壁”等，应除去上面的面积;有些题目要联系实际情况作出判断，比如，计算通风管的表面积时，上、下面的面积不需要计算。在解答时，可以根据实际情况画一画示意图，有助于正确分析题意。
易错点拨：（1）求容积与求体积的方法相同，但数据要求不一样，容易产生错误。
（2）体积是物体所占空间的大小，计算时的长、宽、高数据应当从外部测量;容积是容器所能容纳物体的体积，计算时的长、宽、高应从物体内部测量。计算时要注意分清。
【典例精讲1】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）在一个长方体中，相交于同一顶点的三条棱的长度之和为6.8厘米，则这个长方体的棱长总和为( )厘米。
【答案】27.2
【分析】根据长方体的特征可知，相较于同一顶点的三条棱的长度之和就是长＋宽＋高的和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详解】6.8×4＝27.2（厘米）
在一个长方体中，相交于同一顶点的三条棱的长度之和为6.8厘米，则这个长方体的棱长总和为27.2厘米。
【点睛】熟练掌握长方体的特征以及棱长总和公式是解答本题的关键。
【典例精讲2】（22-23六年级上·江苏南通·期末）将一个棱长6厘米的正方体的六个面都涂上红色，然后把这个正方体切割成若干个棱长为1厘米的小正方体。这些小正方体中，两面涂色的有( )个，六面都没有涂色的有( )个。
【答案】 48 64
【分析】如图，两面涂色的在大正方体的棱上，六面都没涂色的在内部，棱长1厘米的小正方体，体积是1立方厘米，即棱长（6－2）厘米的正方体的体积是几，就有几个六面没有涂色的小正方体。
【详解】4×12＝48（个）
（6－2）×（6－2）×（6－2）
＝4×4×4
＝64（个）
两面涂色的有48个，六面都没有涂色的有64个。
【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体体积公式。
【典例精讲3】（22-23六年级上·江苏宿迁·期末）一个长方体纸盒，底面是周长为8分米的正方形，侧面展开图也是一个正方形，这个 长方体纸盒的体积是( )立方分米。
【答案】32
【分析】分析题意，因为长方体的底面周长为8分米的正方形，则这个长方体的底面边长是8÷4＝2分米；又因为它的侧面展开也是一个正方形，则这个长方体的高是8分米，所以长方体的体积为2×2×8＝32立方分米，据此解答。
【详解】8÷4＝2（分米）
2×2×8
＝4×8
＝32（立方分米 ）
这个长方体纸盒的体积是（32）立方分米。
【点睛】本题考查了长方体的体积计算，解答本题的重点是让学生理解这个长方体的高是8分米，底面边长是2分米的正方形，然后再根据长方体的体积公式求解。
【典例精讲4】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是( )字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 功 96 64
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，自和功相对；信和静相对；冷和成相对；再根据正方体的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体的表面积和正方体体积。
【详解】4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是功字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。
【点睛】本题主要考查正方体展开图，正方体表面积公式和正方体体积公式的应用。
【典例精讲5】（23-24六年级上·江苏盐城·期末）王老师从下面的材料中选择12根铁条焊接成了一个长方体框架，他一共用了( ) 分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要( )平方分米彩纸（粘贴处忽略不计）。
铁条长度/厘米 25 20 12 8
铁条根数/根 5 7 3 4
【答案】 21.2 17.2
【分析】长方体有12条棱，，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。据此确定能焊接成长方体框架的铁条。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可，注意统一单位。
【详解】12厘米长的铁条只有3根，不能用，选择25厘米、20厘米和8厘米长的铁条各4根，可以焊接成了一个长方体框架，即长方体的长宽高分别是25厘米、20厘米和8厘米。
（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
＝21.2（分米）
（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋160）×2
＝860×2
＝1720（平方厘米）
＝17.2（平方分米）
他一共用了21.2分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要17.2平方分米彩纸。
【典例精讲6】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）将一根54厘米长的铁丝截下它的焊接成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )厘米。在这个框架的表面贴上彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸。
【答案】 3 54
【分析】根据题意可知，正方体的棱长总和是54厘米的，再根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出棱长即可；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。
【详解】正方体的棱长：54×÷12
＝
＝3（厘米）
彩纸大小：3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
【点睛】此题考查了求正方体的棱长以及正方体表面积。要求学生熟练掌握并灵活运用。
【典例精讲7】（23-24六年级上·江苏盐城·期末）一根长方体木料，长1.5米，横截面是一个边长是3分米的正方形，把它锯成3段，表面积比原来增加( )平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。
【答案】 36 135
【分析】把长方体木料锯成3段，表面积比原来增加了4个横截面的面积，据此求出一个横截面的面积，再乘4即可求出增加的面积。把1.5米化为15分米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。
【详解】
（个）
（平方分米）
1.5米＝15分米
（立方分米）
原来这根长方体木料的体积是135立方分米。
【典例精讲8】（22-23六年级上·江苏淮安·期末）要做一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），需要玻璃( )平方分米；如果装满水，能盛水( )升。
【答案】 80 64
【分析】需要多少玻璃就是要求正方体的表面积，因为无盖，所以只算5个面，因为正方体的每个面都相等，所以用一个面的面积×5可算出需要多少玻璃；能盛水多少升，就是求这个正方体容器的容积，也就是这个正方体的体积。1立方分米＝1升，最后把单位换成升。
【详解】需要玻璃多少平方分米：
（平方分米）
能盛多少升水：
（升）
所以需要玻璃80平方分米，能盛水64升。
【点睛】熟练掌握正方体的表面积和体积的计算方法，结合实际情境，分清楚是要计算表面积还是体积。需要注意“无盖”，算容积应该用容积单位。
【典例精讲9】（22-23六年级上·江苏泰州·期末）一个长方体盒子，从里面量长12厘米、宽8厘米、高6厘米，它的容积是( )立方厘米。盒子里装棱长3厘米的小正方体木块，一共能装( )块。
【答案】 576 16
【分析】根据长方体的容积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解；由于盒子里装棱长3厘米的小正方体木块，则看盒子的长能装多少块（即一行有几块），即12÷3＝4（块）；再看宽能装多少块（即有几行），即8÷3＝2（块）……2（厘米），再看高能装多少块（即几层），用6÷3＝2（块），之后用4乘2乘2即可求出一共能装多少块。
【详解】12×8×6
＝96×6
＝576（立方厘米）
12÷3＝4（块）
8÷3＝2（块）……2（厘米）
6÷3＝2（块）
4×2×2
＝8×2
＝16（块）
所以一个长方体盒子，从里面量长12厘米、宽8厘米、高6厘米，它的容积是576立方厘米。盒子里装棱长3厘米的小正方体木块，一共能装16块。
【点睛】本题主要考查长方体的容积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
【典例精讲10】（22-23六年级上·江苏泰州·期末）4.05立方米＝( )立方分米 80毫升＝( )升
【答案】 4050 0.08
【分析】高级单位换低级单位乘进率，根据1立方米＝1000立方分米，用4.05×1000即可；低级单位换高级单位除以进率，根据1升＝1000毫升，用80÷1000即可。
【详解】4.05立方米＝4.05×1000＝4050立方分米
80毫升＝80÷1000＝0.08升
【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。
【典例精讲11】（23-24六年级上·江苏镇江·期末）如果把3升水全部倒入下图中的两个长方体水槽中，使它们的水面高度相等，这个高度是( )厘米。
【答案】12.5
【分析】左边长方体的水的体积＋右边水的体积＝3升，左边长方体的高是h，则水的的体积＝长×宽×水的高度，同理右边的水的体积＝长×宽×水的高，且两个水的高度为h，列出方程求出h。注意单位换算，1升＝100毫升，高级单位转化为低级单位用乘法。
【详解】解：设高度为h米。
3升＝3000毫升
6×10×h＋12×15×h＝3000
60h＋180h＝3000
240h＝3000
h＝3000÷240
h＝12.5
则这个高度是12.5厘米。
【典例精讲12】（22-23六年级上·江苏淮安·期末）0.036立方米( )立方分米 ( )L 分( )秒
【答案】 36 6.78 24
【分析】立方米与立方分米的进率是1000，立方米换成立方分米应该乘进率；立方厘米与升的进率是1000，立方厘米换成升应该除以进率；分和秒的进率是60，分换成秒应该乘进率。
【详解】0.036×1000＝36
0.036立方米＝36立方分米
6780÷1000＝6.78
6780＝6.78L
×60＝24
分＝24秒
【点睛】单位换算需要知道单位之间的进率，大单位换成小单位应该乘进率，小单位换成大单位应该除以进率。
【典例精讲13】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）如图，把两个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来减少了( )平方厘米，拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。
【答案】 8 40
【分析】根据题意，把两个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，则表面积会减少2个正方形的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘2，即是减少的表面积。
拼成的长方体的长是（2×2）厘米，宽和高都是2厘米，根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算，即可求出长方体的表面积。
【详解】表面积减少：2×2×2＝8（平方厘米）
长方体的长：2×2＝4（厘米）
长方体的表面积：
（4×2＋4×2＋2×2）×2
＝（8＋8＋4）×2
＝20×2
＝40（平方厘米）
拼成的长方体的表面积比原来减少了8平方厘米，拼成的长方体的表面积是40平方厘米。
【典例精讲14】（22-23六年级上·江苏·期末）一个长方体由棱长是1厘米的小正方体拼成，有些部分被挡住了（如下图），这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 52 24
【分析】沿着长有4个小正方体，即长为4厘米，沿着宽有3个小正方体，即宽为3厘米，共摆了2层，即高是2厘米，长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据代入计算表面积；长方体体积公式：长×宽×高，将数据代入计算出体积。
【详解】（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝（20＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
2×4×3
＝8×3
＝24（立方厘米）
这个长方体的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米。
【典例精讲15】（23-24六年级上·江苏扬州·期末）先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米）
层数 1 2 3 4 5 …
正方体个数 1 3 6 10 15 …
表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 …
照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。
【答案】 21 66 150
【分析】搭成物体的个数：
摆放1层物体需要正方体的个数是1个，可以写成：1×（1＋1）÷2；
摆放2层物体需要正方体的个数是3个，可以写成：2×（2＋1）÷2；
摆放3层物体需要正方体的个数是6个，可以写成：3×（3＋1）÷2；
……
由此可知，摆放n层物体需要正方体的个数是：n×（n＋1）÷2，求出摆6层需要正方体的个数；
根据图中给出的表面积，搭成物体的表面积：
摆放1层物体表面积是6平方厘米，可以写成：5×1＋1×1；
摆放2层物体表面积是14平方厘米，可以写成：5×2＋2×2；
摆放3层层物体表面积是24平方厘米，可以写成：5×3＋3×3；
……
由此可知，摆放n层物体表面积是5×n＋n×n；由此可以求出摆6层物体的表面积，摆10层物体的表面积，据此解答。
【详解】根据分析可知，摆放6层，需要正方体的个数：
6×（6＋1）÷2
＝6×7÷2
＝42÷2
＝21（个）
表面积：5×6＋6×6
＝30＋36
＝66（平方厘米）
摆放10层的表面积：
5×10＋10×10
＝50＋100
＝150（平方厘米）
摆放6层，搭成物体的个数是21个，表面积是66平方厘米，摆放10层的表面积是150平方厘米。
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是根据给的表格找出对应的规律是解题的关键。
【典例精讲16】（22-23六年级上·江苏徐州·期末）如图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为3分米、体积为5立方分米的假山石。如果水管以每分钟5立方分米的流量向鱼缸里注水，至少需要( )分钟才能将假山石完全淹没。
【答案】5
【分析】水的体积＝水和假山的体积和－假山的体积，由题可知，将假山石完全淹没时水的高度是3分米，水和假山的体积和是一个长度为5分米，高度为3分米，宽度为2分米的长方体，长方体的体积＝长×宽×高，先求出水和假山的体积和，再减去假山的体积，利用水的体积除以每分钟流入的水的体积，即可求出需要几分钟。
【详解】5×2×3－5
＝10×3－5
＝30－5
＝25（立方分米）
25÷5＝5（分钟）
至少需要5分钟才能将假山石完全淹没。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
填空题
1．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）用一根铁丝可以焊接成一个长6厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体框架，这个长方体里面最多可以装( )个体积为1立方厘米的小正方体。
2．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米；剩余的体积是( )立方分米。
3．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一根铁丝可焊成棱长是5厘米的正方体框架，如果用同样长的一根焊成长8厘米，宽3厘米的长方体，它的高应是( )厘米。
4．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）把一根长1.8米，宽和高都是2分米的长方体木料沿与横截面平行的方向切成5段，表面积比原来增加了( )平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。
5．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一个游泳池长50米，宽20米，深1.8米，将四壁和底面贴上正方形瓷砖，那么贴瓷砖的面积是( )平方米。
6．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
7．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）数学实验课上同学们正在测量铁球体积，步骤如下：
甲球的体积是( )立方厘米，乙球的体积( )立方厘米。
8．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）一个长方体纸箱的长是15分米，宽是10分米，高是6分米。这个长方体纸箱占地面积最小是( )平方分米，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
9．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于1974年发明的，是最受欢迎的智力游戏之一。通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面三行三列），形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成，后来又发展出了更多类型的魔方。有一个正方体魔方，表面涂有颜色，如果其中只有一面涂色的小方块有24个，则这个正方体魔方是( )阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有( )个。
10．（22-23六年级上·江苏淮安·期末）用5个棱长是2分米的正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是( )立方分米，表面积是( )平方分米。
11．（22-23六年级上·江苏宿迁·期末）用三个长4cm，宽3cm，高2cm的小长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是( )cm3，表面积最大是( )cm2。
12．（22-23六年级上·江苏苏州·期末）李阿姨要用硬纸板做一个长25厘米、宽18厘米、高5厘米的礼品盒，至少需要( )平方厘米的硬纸板，如果像图这样用彩带捆扎，打结处需要12厘米，这根彩带长( )厘米。
13．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）一个花坛的底面是边长1.5米的正方形，高0.3米，四周用砖砌成，宽度是0.25米（如图）。在花坛的中间填满泥土，需要泥土( )立方米。
14．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用一根长为96厘米的铁丝做成一个最大的正方体，并在表面糊上彩纸，糊彩纸的面积是( )平方厘米，做成的正方体的体积是( )立方厘米。
15．（22-23六年级上·江苏徐州·期末）观察（如图），把土豆放在长方体容器里，水面会上升( )厘米。
16．（22-23六年级上·江苏苏州·期末）如图，把棱长1分米的小正方体竖着摞成长方体，找出长方体表面积和小正方体的个数之间的关系。
小正方体个数 1 2 3 4 5 … n
长方体表面积/dm2 5 9 13 …
17．（23-24六年级上·江苏徐州·期末）一个长方体，高减少2厘米，就成为一个表面积是216平方厘米的正方体，原来长方体的体积是( )立方厘米。
18．（23-24六年级上·江苏镇江·期末）一个六面都涂上红色的正方体木块，切成若干个体积都是1立方厘米的小正方体，其中没有涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有( )个。
19．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）将一个表面涂色的大正方体棱长若干等份，切割成64个相同的小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个；一面涂色的小正方体有( )个。
20．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）用棱长1厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，至少添加( )个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。
21．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）一个底面是正方形的无盖长方体纸盒，高12厘米，侧面展开正好是一个正方形，这个纸盒的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
22．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）徐老师制作了一个长方体礼品盒，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。这个长方体礼品盒的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。
23．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了( )平方厘米，体积增加了( )立方厘米。
24．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把1米长的木料锯成3段，表面积比原来增加了60平方厘米，原来这根木料的体积是( )立方厘米。
25．（23-24六年级上·江苏南京·期中）如下图，每个小正方体的棱长是1分米，按照这样的规律继续摆下去，第③个立体图形的表面积是( )平方分米，第⑥个立体图形共有( )个小正方体。
26．（23-24六年级上·江苏常州·期中）下图中所有大球的体积相同，所有小球的体积也相同，长方体容器的底面是边长6厘米的正方形。每个大球的体积是( )立方厘米，每个小球的体积是( )立方厘米。
27．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）用铝合金做一个长、宽、高分别是70厘米、15厘米和120厘米的长方体广告灯箱（如图），至少需铝合金条( )分米。在灯箱外面的各个面用灯箱布围成，至少( )平方分米的灯箱布。
28．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）填表。
如图一根长方体木块，表面积是80平方分米，它的横截面是边长1分米的正方形，工人师傅每次都锯下一个棱长1分米的小正方体木块。
锯下木块的个数 1 2 3 …
减少的面积（平方分米） … 76
剩下木块的表面积（平方分米） 76 …
29．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图，一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积是1立方厘米的正方体。这个玻璃容器的容积是( )立方厘米。
30．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。至少再添( )个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。
31．（24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体纸盒长5厘米，宽4厘米，高2厘米，它的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
32．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）一节3米长铁皮的烟囱，底面是一个边长2分米的正方形。制作10节这样的烟囱至少需要( )平方米的铁皮。
33．（23-24六年级上·江苏南通·期中）把一根1.5米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加24平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。
34．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）填表。
形体 长 宽 高 底面积 表面积 体积
长方体 1.5m 0.5m 0.4m
8cm 6cm 4cm
正方体 棱长2.5dm
棱长6cm
35．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）用一根铁丝围成一个长8厘米，宽5厘米，高2厘米的长方体，它的最大面的面积是( )平方厘米，如果用这根铁丝围一个正方体框架，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
36．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）在括号里填上适当的单位名称。
一间教室的体积大约是150( ) 一本数学书的体积大约是240( )
37．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个正方体的棱长之和是84厘米，它的棱长是( )厘米，占地面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。
38．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是( )平方厘米。
39．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一堆黄沙的体积是4.5立方米，将它均匀地铺在长4米，宽2.5米的沙坑内。沙坑内的沙子厚( )米，是( )厘米。
40．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）把一根长3米的长方体木料，沿横截面平均锯成三段，表面积增加了2.4平方米，这根木料的体积是( )立方米。
41．（23-24六年级上·江苏常州·期中）用一根36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，再在外面糊一层纸，纸的面积至少是( )平方厘米，这个正方体的体积是( )立方厘米。
42．（23-24六年级上·江苏南通·期中）用一根长60cm的铁丝焊接一个正方体框架，在框架的每个面糊上彩纸，彩纸的面积至少是( )cm2，做成的正方体的体积是( )cm3。
43．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）如图，一个长方体蛋糕盒，底面是边长30厘米的正方形，高25厘米。做这样一个蛋糕盒至少需要( )平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要( )分米的彩带。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一单元 《长方体和正方体》 单元复习讲义（讲义）
六年级数学上册专项精练（知识梳理+素养目标+易错集锦+典例精讲+专项精练）
（导图高清，可放大.）
1、核心素养目标：
（1）数学运算能力：学生能够熟练掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，并能灵活运用到实际问题中。
（2）空间想象能力：学生能够准确地想象和描述长方体和正方体的三维结构，以及它们的展开图。
（3）逻辑推理能力：学生能够通过逻辑推理，理解长方体和正方体的性质，并能解决相关的几何问题。
（4）实践应用能力：学生能够将长方体和正方体的知识应用到实际生活中，解决实际问题。
2、学习目标：
（1）掌握长方体和正方体的特征，能计算它们的表面积和体积。
（2）通过观察、操作、推理等方法，理解长方体和正方体的性质和计算公式。
（3）培养学生对几何图形的兴趣，激发学生探索空间图形的热情，增强学生解决实际问题的信心。
1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。
2、 长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。
1、沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。
2、正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。
1、意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。
2、计算方法：
（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽 ×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。
（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。
3、稍复杂的长方体和正方体表面积的计算：在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。
1、体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
2、容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
3、相邻体积单位间的进率：体积单位常用到，相邻进率是1000；立方分米立方米，它们进率是1000；立方分米立方厘米，它们进率是1000。
1、长方体的体积=长×宽×高，字母公式为?V=abh。
2、 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为?V=a3。
3、长方体、正方体体积的统一公式
①底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
②体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。
一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。
（1）3面涂色的小正方体有8个。
如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。
易错点拨：（1）对长方体的特征理解不全面，误认为长方体只有相对面的面积相等。
（2）一般情况，长方体只有相对面的面积相等。但当长方体中有两个相对的面是正方形时，另外四个面的面积都相等，也就是说另外四个面中相邻的面的面积也相等。
易错点拨：
（1）求物体原材料的面积的时候，分不清求几个面的面积。
（2）要求物体的表面积，首先要想清楚该物体要计算几个面的面积。有些题目中有明确的说明：“无盖”底部和四壁”等，应除去上面的面积;有些题目要联系实际情况作出判断，比如，计算通风管的表面积时，上、下面的面积不需要计算。在解答时，可以根据实际情况画一画示意图，有助于正确分析题意。
易错点拨：（1）求容积与求体积的方法相同，但数据要求不一样，容易产生错误。
（2）体积是物体所占空间的大小，计算时的长、宽、高数据应当从外部测量;容积是容器所能容纳物体的体积，计算时的长、宽、高应从物体内部测量。计算时要注意分清。
【典例精讲1】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）在一个长方体中，相交于同一顶点的三条棱的长度之和为6.8厘米，则这个长方体的棱长总和为( )厘米。
【答案】27.2
【分析】根据长方体的特征可知，相较于同一顶点的三条棱的长度之和就是长＋宽＋高的和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详解】6.8×4＝27.2（厘米）
在一个长方体中，相交于同一顶点的三条棱的长度之和为6.8厘米，则这个长方体的棱长总和为27.2厘米。
【点睛】熟练掌握长方体的特征以及棱长总和公式是解答本题的关键。
【典例精讲2】（22-23六年级上·江苏南通·期末）将一个棱长6厘米的正方体的六个面都涂上红色，然后把这个正方体切割成若干个棱长为1厘米的小正方体。这些小正方体中，两面涂色的有( )个，六面都没有涂色的有( )个。
【答案】 48 64
【分析】如图，两面涂色的在大正方体的棱上，六面都没涂色的在内部，棱长1厘米的小正方体，体积是1立方厘米，即棱长（6－2）厘米的正方体的体积是几，就有几个六面没有涂色的小正方体。
【详解】4×12＝48（个）
（6－2）×（6－2）×（6－2）
＝4×4×4
＝64（个）
两面涂色的有48个，六面都没有涂色的有64个。
【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体体积公式。
【典例精讲3】（22-23六年级上·江苏宿迁·期末）一个长方体纸盒，底面是周长为8分米的正方形，侧面展开图也是一个正方形，这个 长方体纸盒的体积是( )立方分米。
【答案】32
【分析】分析题意，因为长方体的底面周长为8分米的正方形，则这个长方体的底面边长是8÷4＝2分米；又因为它的侧面展开也是一个正方形，则这个长方体的高是8分米，所以长方体的体积为2×2×8＝32立方分米，据此解答。
【详解】8÷4＝2（分米）
2×2×8
＝4×8
＝32（立方分米 ）
这个长方体纸盒的体积是（32）立方分米。
【点睛】本题考查了长方体的体积计算，解答本题的重点是让学生理解这个长方体的高是8分米，底面边长是2分米的正方形，然后再根据长方体的体积公式求解。
【典例精讲4】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是( )字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 功 96 64
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，自和功相对；信和静相对；冷和成相对；再根据正方体的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体的表面积和正方体体积。
【详解】4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是功字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。
【点睛】本题主要考查正方体展开图，正方体表面积公式和正方体体积公式的应用。
【典例精讲5】（23-24六年级上·江苏盐城·期末）王老师从下面的材料中选择12根铁条焊接成了一个长方体框架，他一共用了( ) 分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要( )平方分米彩纸（粘贴处忽略不计）。
铁条长度/厘米 25 20 12 8
铁条根数/根 5 7 3 4
【答案】 21.2 17.2
【分析】长方体有12条棱，，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。据此确定能焊接成长方体框架的铁条。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可，注意统一单位。
【详解】12厘米长的铁条只有3根，不能用，选择25厘米、20厘米和8厘米长的铁条各4根，可以焊接成了一个长方体框架，即长方体的长宽高分别是25厘米、20厘米和8厘米。
（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
＝21.2（分米）
（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋160）×2
＝860×2
＝1720（平方厘米）
＝17.2（平方分米）
他一共用了21.2分米铁条，在这个框架外表面糊上彩纸，一共需要17.2平方分米彩纸。
【典例精讲6】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）将一根54厘米长的铁丝截下它的焊接成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )厘米。在这个框架的表面贴上彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸。
【答案】 3 54
【分析】根据题意可知，正方体的棱长总和是54厘米的，再根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出棱长即可；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。
【详解】正方体的棱长：54×÷12
＝
＝3（厘米）
彩纸大小：3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
【点睛】此题考查了求正方体的棱长以及正方体表面积。要求学生熟练掌握并灵活运用。
【典例精讲7】（23-24六年级上·江苏盐城·期末）一根长方体木料，长1.5米，横截面是一个边长是3分米的正方形，把它锯成3段，表面积比原来增加( )平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。
【答案】 36 135
【分析】把长方体木料锯成3段，表面积比原来增加了4个横截面的面积，据此求出一个横截面的面积，再乘4即可求出增加的面积。把1.5米化为15分米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。
【详解】
（个）
（平方分米）
1.5米＝15分米
（立方分米）
原来这根长方体木料的体积是135立方分米。
【典例精讲8】（22-23六年级上·江苏淮安·期末）要做一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），需要玻璃( )平方分米；如果装满水，能盛水( )升。
【答案】 80 64
【分析】需要多少玻璃就是要求正方体的表面积，因为无盖，所以只算5个面，因为正方体的每个面都相等，所以用一个面的面积×5可算出需要多少玻璃；能盛水多少升，就是求这个正方体容器的容积，也就是这个正方体的体积。1立方分米＝1升，最后把单位换成升。
【详解】需要玻璃多少平方分米：
（平方分米）
能盛多少升水：
（升）
所以需要玻璃80平方分米，能盛水64升。
【点睛】熟练掌握正方体的表面积和体积的计算方法，结合实际情境，分清楚是要计算表面积还是体积。需要注意“无盖”，算容积应该用容积单位。
【典例精讲9】（22-23六年级上·江苏泰州·期末）一个长方体盒子，从里面量长12厘米、宽8厘米、高6厘米，它的容积是( )立方厘米。盒子里装棱长3厘米的小正方体木块，一共能装( )块。
【答案】 576 16
【分析】根据长方体的容积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解；由于盒子里装棱长3厘米的小正方体木块，则看盒子的长能装多少块（即一行有几块），即12÷3＝4（块）；再看宽能装多少块（即有几行），即8÷3＝2（块）……2（厘米），再看高能装多少块（即几层），用6÷3＝2（块），之后用4乘2乘2即可求出一共能装多少块。
【详解】12×8×6
＝96×6
＝576（立方厘米）
12÷3＝4（块）
8÷3＝2（块）……2（厘米）
6÷3＝2（块）
4×2×2
＝8×2
＝16（块）
所以一个长方体盒子，从里面量长12厘米、宽8厘米、高6厘米，它的容积是576立方厘米。盒子里装棱长3厘米的小正方体木块，一共能装16块。
【点睛】本题主要考查长方体的容积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
【典例精讲10】（22-23六年级上·江苏泰州·期末）4.05立方米＝( )立方分米 80毫升＝( )升
【答案】 4050 0.08
【分析】高级单位换低级单位乘进率，根据1立方米＝1000立方分米，用4.05×1000即可；低级单位换高级单位除以进率，根据1升＝1000毫升，用80÷1000即可。
【详解】4.05立方米＝4.05×1000＝4050立方分米
80毫升＝80÷1000＝0.08升
【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。
【典例精讲11】（23-24六年级上·江苏镇江·期末）如果把3升水全部倒入下图中的两个长方体水槽中，使它们的水面高度相等，这个高度是( )厘米。
【答案】12.5
【分析】左边长方体的水的体积＋右边水的体积＝3升，左边长方体的高是h，则水的的体积＝长×宽×水的高度，同理右边的水的体积＝长×宽×水的高，且两个水的高度为h，列出方程求出h。注意单位换算，1升＝100毫升，高级单位转化为低级单位用乘法。
【详解】解：设高度为h米。
3升＝3000毫升
6×10×h＋12×15×h＝3000
60h＋180h＝3000
240h＝3000
h＝3000÷240
h＝12.5
则这个高度是12.5厘米。
【典例精讲12】（22-23六年级上·江苏淮安·期末）0.036立方米( )立方分米 ( )L 分( )秒
【答案】 36 6.78 24
【分析】立方米与立方分米的进率是1000，立方米换成立方分米应该乘进率；立方厘米与升的进率是1000，立方厘米换成升应该除以进率；分和秒的进率是60，分换成秒应该乘进率。
【详解】0.036×1000＝36
0.036立方米＝36立方分米
6780÷1000＝6.78
6780＝6.78L
×60＝24
分＝24秒
【点睛】单位换算需要知道单位之间的进率，大单位换成小单位应该乘进率，小单位换成大单位应该除以进率。
【典例精讲13】（22-23六年级上·江苏盐城·期末）如图，把两个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来减少了( )平方厘米，拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。
【答案】 8 40
【分析】根据题意，把两个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，则表面积会减少2个正方形的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘2，即是减少的表面积。
拼成的长方体的长是（2×2）厘米，宽和高都是2厘米，根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算，即可求出长方体的表面积。
【详解】表面积减少：2×2×2＝8（平方厘米）
长方体的长：2×2＝4（厘米）
长方体的表面积：
（4×2＋4×2＋2×2）×2
＝（8＋8＋4）×2
＝20×2
＝40（平方厘米）
拼成的长方体的表面积比原来减少了8平方厘米，拼成的长方体的表面积是40平方厘米。
【典例精讲14】（22-23六年级上·江苏·期末）一个长方体由棱长是1厘米的小正方体拼成，有些部分被挡住了（如下图），这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 52 24
【分析】沿着长有4个小正方体，即长为4厘米，沿着宽有3个小正方体，即宽为3厘米，共摆了2层，即高是2厘米，长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据代入计算表面积；长方体体积公式：长×宽×高，将数据代入计算出体积。
【详解】（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝（20＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
2×4×3
＝8×3
＝24（立方厘米）
这个长方体的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米。
【典例精讲15】（23-24六年级上·江苏扬州·期末）先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米）
层数 1 2 3 4 5 …
正方体个数 1 3 6 10 15 …
表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 …
照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。
【答案】 21 66 150
【分析】搭成物体的个数：
摆放1层物体需要正方体的个数是1个，可以写成：1×（1＋1）÷2；
摆放2层物体需要正方体的个数是3个，可以写成：2×（2＋1）÷2；
摆放3层物体需要正方体的个数是6个，可以写成：3×（3＋1）÷2；
……
由此可知，摆放n层物体需要正方体的个数是：n×（n＋1）÷2，求出摆6层需要正方体的个数；
根据图中给出的表面积，搭成物体的表面积：
摆放1层物体表面积是6平方厘米，可以写成：5×1＋1×1；
摆放2层物体表面积是14平方厘米，可以写成：5×2＋2×2；
摆放3层层物体表面积是24平方厘米，可以写成：5×3＋3×3；
……
由此可知，摆放n层物体表面积是5×n＋n×n；由此可以求出摆6层物体的表面积，摆10层物体的表面积，据此解答。
【详解】根据分析可知，摆放6层，需要正方体的个数：
6×（6＋1）÷2
＝6×7÷2
＝42÷2
＝21（个）
表面积：5×6＋6×6
＝30＋36
＝66（平方厘米）
摆放10层的表面积：
5×10＋10×10
＝50＋100
＝150（平方厘米）
摆放6层，搭成物体的个数是21个，表面积是66平方厘米，摆放10层的表面积是150平方厘米。
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是根据给的表格找出对应的规律是解题的关键。
【典例精讲16】（22-23六年级上·江苏徐州·期末）如图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为3分米、体积为5立方分米的假山石。如果水管以每分钟5立方分米的流量向鱼缸里注水，至少需要( )分钟才能将假山石完全淹没。
【答案】5
【分析】水的体积＝水和假山的体积和－假山的体积，由题可知，将假山石完全淹没时水的高度是3分米，水和假山的体积和是一个长度为5分米，高度为3分米，宽度为2分米的长方体，长方体的体积＝长×宽×高，先求出水和假山的体积和，再减去假山的体积，利用水的体积除以每分钟流入的水的体积，即可求出需要几分钟。
【详解】5×2×3－5
＝10×3－5
＝30－5
＝25（立方分米）
25÷5＝5（分钟）
至少需要5分钟才能将假山石完全淹没。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
填空题
四则运算
一、填空题
1．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）用一根铁丝可以焊接成一个长6厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体框架，这个长方体里面最多可以装( )个体积为1立方厘米的小正方体。
【答案】72
【分析】长方体体积＝长×宽×高，用长方体框架的体积除以每个小正方体的体积就是能装小正方体的个数。
【详解】6×3×4÷1
＝72÷1
＝72（个）
即，这个长方体里面最多可以装72个体积为1立方厘米的小正方体。
2．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米；剩余的体积是( )立方分米。
【答案】 150 115
【分析】根据题意可知，长方体削成一个最大正方体，正方体的棱长等于长方体的高；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出这个正方体的表面积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，分别求出长方体木块的体积和削成正方体木块的体积，再用长方体木块的体积－削成正方体木块的体积，即可解答。
【详解】5×5×6
＝25×6
＝150（平方分米）
8×6×5－5×5×5
＝48×5－25×5
＝240－125
＝115（立方分米）
一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是150平方分米；剩余的体积是115立方分米。
3．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一根铁丝可焊成棱长是5厘米的正方体框架，如果用同样长的一根焊成长8厘米，宽3厘米的长方体，它的高应是( )厘米。
【答案】4
【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。
【详解】5×12÷4－8－3
＝15－8－3
＝4（厘米）
它的高应是4厘米。
4．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）把一根长1.8米，宽和高都是2分米的长方体木料沿与横截面平行的方向切成5段，表面积比原来增加了( )平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。
【答案】 32 72
【分析】这个木料的宽和高都是2分米，则这根木料的横截面面积为：2×2＝4（平方分米）；
将木料切成5段需要切4刀，切1刀增加2个面，则切4刀增加8个面。因为是沿着与横截面平行的方向切，所以表面积增加8个横截面。长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可，注意换算单位。
【详解】横截面的面积：2×2＝4（平方分米）
（5－1）×2＝8（个）
表面积增加的面积：4×8＝32（平方分米）
1.8米＝18分米，这根木料的体积：18×2×2＝72（立方分米）
5．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一个游泳池长50米，宽20米，深1.8米，将四壁和底面贴上正方形瓷砖，那么贴瓷砖的面积是( )平方米。
【答案】1252
【分析】从题意可知：这个游泳池在下面和前后左右面共5个面贴瓷砖，贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据列式计算即可。
【详解】50×20＋50×1.8×2＋20×1.8×2
＝1000＋180＋72
＝1252（平方米）
那么贴瓷砖的面积是1252平方米。
6．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 30 8
【分析】边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，从前面看有6个小正方形，从上面看有5个小正方形，从右面看有4个小正方形，前后面看到的小正方形个数一样，左右面看到的小正方形个数一样，上下面看到的小正方形个数一样，因此表面积＝（从前面看到的小正方形个数＋从上面看到的小正方形个数＋从右面看到的小正方形个数）×2；
棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，底层5个小正方体，中间1层2个小正方体，最上层1个小正方体，组合体的体积＝小正方体的总个数，据此分析。
【详解】（6＋5＋4）×2
＝15×2
＝30（平方厘米）
5＋2＋1＝8（立方厘米）
它的表面积是30平方厘米，体积是8立方厘米。
7．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）数学实验课上同学们正在测量铁球体积，步骤如下：
甲球的体积是( )立方厘米，乙球的体积( )立方厘米。
【答案】 1200 1800
【分析】甲铁球完全浸没在水里后，甲铁球的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为20厘米，宽为15厘米，高为4厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可求出甲铁球的体积。乙铁球从水里拿出来后，乙铁球的体积＝水面下降的体积，水面下降的体积可看作长为20厘米，宽为15厘米，高为6厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可求出乙铁球的体积。
【详解】20×15×4＝1200（立方厘米）
20×15×6＝1800（立方厘米）
即甲球的体积是1200立方厘米，乙球的体积1800立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。
8．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）一个长方体纸箱的长是15分米，宽是10分米，高是6分米。这个长方体纸箱占地面积最小是( )平方分米，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
【答案】 60 600 900
【分析】求这个长方体纸箱占地面积最小，纸盒的长是10分米，宽是6分米的面积占地面积最小，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出最小面积；
根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据求出这个长方体纸箱的表面积；
再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体纸箱的体积。
【详解】10×6＝60（平方分米）
（15×10＋15×6＋10×6）×2
＝（150＋90＋60）×2
＝（240＋60）×2
＝300×2
＝600（平方分米）
15×10×6
＝150×6
＝900（立方分米）
一个长方体纸箱的长是15分米，宽是10分米，高是6分米。这个长方体纸箱占地面积最小是60平方分米，表面积600平方分米，体积900立方分米。
【点睛】本题主要考查长方体的特征、表面积、体积的计算方法，关键明确这个长方体纸箱的最小占地面积，就是纸箱最小底面的面积。
9．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于1974年发明的，是最受欢迎的智力游戏之一。通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面三行三列），形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成，后来又发展出了更多类型的魔方。有一个正方体魔方，表面涂有颜色，如果其中只有一面涂色的小方块有24个，则这个正方体魔方是( )阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有( )个。
【答案】 四 24
【分析】如图：
观察上图，魔方有6个面且为正方体，所以用24÷6＝4，可以求出这是一个四阶魔方；因为这是一个四阶魔方，所以每个面只有一面涂色的小方块有2×2个，求两面涂色的小方块有多少个（紫色部分），即一条棱上有2个小方块，所以12×2＝24个小方块两面涂色。
【详解】24÷6＝4
这个魔方两面涂色的小方块有：2×12＝24（个）
所以这个正方体魔方是四阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有24个。
【点睛】此题考查了学生的理解分析能力。
10．（22-23六年级上·江苏淮安·期末）用5个棱长是2分米的正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是( )立方分米，表面积是( )平方分米。
【答案】 40 88
【分析】用5个棱长是2分米的正方体拼成一个大长方体，只有一种情况，就是5个小正方体摆成一排。这个长方形体的长是5×2＝10分米，宽是2分米，高是2分米。再根据长方形的体积＝长×宽×高，长方形表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算即可。
【详解】如下图：
长方体的的长：2×5＝10（分米）
长方体的体积：
＝
＝40（立方分米）
长方体的表面积：
（10×2＋10×2＋2×2）×2
＝（20＋20＋4）×2
＝44×2
＝88（平方分米）
故长方体的体积是40立方分米，长方体的表面积是88平方分米。
【点睛】对于多个正方体拼成一个大的立体图形，先要构建出这个立体图形的样子，再找出需要的信息进行计算。
11．（22-23六年级上·江苏宿迁·期末）用三个长4cm，宽3cm，高2cm的小长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是( )cm3，表面积最大是( )cm2。
【答案】 72 132
【分析】小长方体拼成大长方体的方式共有3种，如图所示，用1个小长方体的表面积乘3再减掉重合的4个面的面积，就是各图的表面积，再比较大小，找出最大表面积是多少；这3种拼法的大长方体的体积都是3个小长方体体积之和，据此解答。
【详解】大长方体体积：
4×3×2×3
＝24×3
＝72（cm3）
小长方体表面积：
（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝26×2
＝52（cm2）
大长方体（1）的表面积：
52×3－4×2×4
＝156－32
＝124（cm2）
大长方体（2）的表面积：
52×3－3×2×4
＝156－24
＝132（cm2）
大长方体（3）的表面积：
52×3－4×3×4
＝156－48
＝108（cm2）
108＜124＜132，所以（2）的表面积最大。
这个大长方体的体积是72cm3，表面积最大是132cm2。
【点睛】考查长方体的拼接及体积、表面积的计算。
12．（22-23六年级上·江苏苏州·期末）李阿姨要用硬纸板做一个长25厘米、宽18厘米、高5厘米的礼品盒，至少需要( )平方厘米的硬纸板，如果像图这样用彩带捆扎，打结处需要12厘米，这根彩带长( )厘米。
【答案】 1330 118
【分析】（1）求至少需要多少平方厘米的硬纸板，也就是求长方体礼品盒的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长25厘米、宽18厘米、高5厘米代入长方体表面积公式计算即可求出需要的硬纸板的面积。
（2）观察上图可知：彩带的长包含2个长、2个宽、4个高和打结的长度，即用25×2＋18×2＋5×4＋12可求出这根彩带的长。
【详解】（25×18＋25×5＋18×5）×2
＝（450＋125＋90）×2
＝665×2
＝1330（平方厘米）
25×2＋18×2＋5×4＋12
＝50＋36＋20＋12
＝118（厘米）
所以，至少需要1330平方厘米的硬纸板，这根彩带长118厘米。
13．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）一个花坛的底面是边长1.5米的正方形，高0.3米，四周用砖砌成，宽度是0.25米（如图）。在花坛的中间填满泥土，需要泥土( )立方米。
【答案】0.3
【分析】由题意可知：求泥土的体积也就是求长是（1.5－0.25×2）米、宽是（1.5－0.25×2）米、高是0.3米的长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，用（1.5－0.25×2）×（1.5－0.25×2）×0.3可求出需要的泥土的体积。
【详解】（1.5－0.25×2）×（1.5－0.25×2）×0.3
＝（1.5－0.5）×（1.5－0.5）×0.3
＝1×1×0.3
＝0.3（立方米）
所以，需要泥土0.3立方米。
14．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用一根长为96厘米的铁丝做成一个最大的正方体，并在表面糊上彩纸，糊彩纸的面积是( )平方厘米，做成的正方体的体积是( )立方厘米。
【答案】 384 512
【分析】根据题意，铁丝长度就等于正方体的棱长和。先算出正方体的棱长，用96除以12即可。再根据正方体的表面积公式：边长×边长×6，代入数据，即可求出糊彩纸的面积。再根据正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据计算即可。
【详解】96÷12＝8（厘米）
8×8×6
＝64×6
＝384（平方厘米）
8×8×8
＝64×8
＝512（立方厘米）
所以糊彩纸的面积是384平方厘米，做成的正方体的体积是512立方厘米。
15．（22-23六年级上·江苏徐州·期末）观察（如图），把土豆放在长方体容器里，水面会上升( )厘米。
【答案】2.5
【分析】观察图可知，土豆的体积相当于（800－600）毫升的水，根据1毫升＝1立方厘米，可知土豆的体积是（800－600）立方厘米，把土豆放在长方体容器里，土豆的体积相当于上升部分水的体积，上升部分水的体积＝长×宽×上升的高度，据此用土豆的体积÷10÷8即可求出上升的高度。
【详解】800－600＝200（毫升）
200毫升＝200立方厘米
200÷10÷8＝2.5（厘米）
把土豆放在长方体容器里，水面会上升2.5厘米。
16．（22-23六年级上·江苏苏州·期末）如图，把棱长1分米的小正方体竖着摞成长方体，找出长方体表面积和小正方体的个数之间的关系。
小正方体个数 1 2 3 4 5 … n
长方体表面积/dm2 5 9 13 …
【答案】见详解
【分析】棱长是1分米，一个面的面积是1×1＝1（平方分米），有几个面积露在外面，它的面积就是几；
1个小正方体露在外面的面数是5个，面积是5平方分米，可以写成：4×1＋1；
2个小正方体露在外面的面数是9个，面积是9平方分米，可以写成：4×2＋1；
3个小正方体露在外面的面数是13个，面积是13平方分米，可以写成：4×3＋1；
……
n个小正方体露在外面的面数是4×n＋1，面积是（4n＋1）平方分米；
当n＝4，n＝5时，求出露在外面的面数，据此解答。
【详解】根据分析可知，n个小正方体露在外面的面的面积是（4n＋1）平方分米；
n＝4时：
4×4＋1
＝16＋1
＝17（平方分米）
n＝5时：
4×5＋1
＝20＋1
＝21（平方分米）
小正方体个数 1 2 3 4 5 … n
长方体表面积/dm2 5 9 13 17 21 … 4n＋1
17．（23-24六年级上·江苏徐州·期末）一个长方体，高减少2厘米，就成为一个表面积是216平方厘米的正方体，原来长方体的体积是( )立方厘米。
【答案】288
【分析】一个长方体，高减少2厘米，就成为一个正方体，说明长方体上下两个面是正方形，正方体表面积÷6＝正方体底面积，也是长方体底面积，根据正方形面积＝边长×边长，确定正方体棱长，正方体棱长＋减少的高＝长方体的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可求出原来长方体的体积。
【详解】216÷6＝36（平方厘米）
36＝6×6
6＋2＝8（厘米）
36×8＝288（立方厘米）
原来长方体的体积是288立方厘米。
18．（23-24六年级上·江苏镇江·期末）一个六面都涂上红色的正方体木块，切成若干个体积都是1立方厘米的小正方体，其中没有涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有( )个。
【答案】24
【分析】根据正方体的切割可知，（每条棱长小正方体个数－2）3＝没有涂色的小正方体个数，没有涂色的小正方体有8个，8＝2×2×2，所以每条棱长小正方体个数是（2＋2）个，也就是4个，在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，每条棱长两面涂色的有（4－2）个，正方体有12条棱，（4－2）再乘12即可求出两面涂色的小正方体个数。
【详解】8＝2×2×2
2＋2＝4（个）
4－2＝2（个）
2×12＝24（个）
两面涂色的小正方体有24个。
19．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）将一个表面涂色的大正方体棱长若干等份，切割成64个相同的小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个；一面涂色的小正方体有( )个。
【答案】 24 24
【分析】假设切割成的小正方体的棱长是1厘米，64＝4×4×4，所以原来大正方体的棱长是4厘米，正方体有8个顶点，12条棱，6个面，且已知把这个棱长4厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点上，即有8个三面涂色的小正方体；除了顶点只剩下2个小正方体，即由12×2＝24（个）两面涂色的小正方体；一面涂色的小正方体位于大正方体的面的中心，每个面有4个这样的小正方体，即有6×4＝24（个）小正方体，据此解答。
【详解】12×2＝24（个）
6×4＝24（个）
所以其中两面涂色的小正方体有24个，一面涂色的小正方体有24个。
20．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）用棱长1厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，至少添加( )个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。
【答案】 40 14
【分析】从前面看有7个小正方形面，从左面看有6个小正方形面，从上面看有7个小正方形面，把从左面、前面、后面看到的小正方形面的个数乘2，就是这个图形一共有多少个小正方形面，再乘1个小正方形的面积就是这个物体的表面积；观察这个物体可知，这个物体的最长边是3厘米，如果添加同样的正方体，把这个物体补成一个大正方体，则大正方体的棱长至少是3厘米，则棱长为3个小正方体的棱长，一共有（3×3×3）个小正方体，原来一共有13个小正方体，再用现在的小正方体个数减去13即可解答。
【详解】1×1＝1（平方厘米）
（7＋6＋7）×2×1
＝20×2×1
＝40（平方厘米）
3×3×3－13
＝27－13
＝14（个）
所以这个物体的表面积是40平方厘米，至少添加14个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。
21．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）一个底面是正方形的无盖长方体纸盒，高12厘米，侧面展开正好是一个正方形，这个纸盒的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 153 108
【分析】侧面展开正好是一个正方形，说明底面正方形的周长和长方体的高相等，可以先求出底面正方形的边长。因为纸盒无盖，所以表面积等于侧面积加上一个底面积。根据公式：长方体的体积＝底面积×高，计算出长方体的体积即可。据此解答。
【详解】正方形的边长：12÷4＝3（厘米）
侧面积：12×12＝144（平方厘米）
底面积：3×3＝9（平方厘米）
纸盒的表面积：144＋9＝153（平方厘米）
纸盒的体积：9×12＝108（立方厘米）
即这个纸盒的表面积是153平方厘米，体积是108立方厘米。
22．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）徐老师制作了一个长方体礼品盒，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。这个长方体礼品盒的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。
【答案】 480 376
【分析】长方体的体积＝长×宽×高；长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据解答即可。
【详解】10×8×6
＝80×6
＝480（立方厘米）
10×8×2＋10×6×2＋8×6×2
＝160＋120＋96
＝280＋96
＝376（平方厘米）
所以这个长方体礼品盒的体积是480立方厘米，表面积是376平方厘米。
23．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了( )平方厘米，体积增加了( )立方厘米。
【答案】 96 192
【分析】根据题意可知，高增加3厘米，表面积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的侧面积；根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出增加部分的面积；体积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】（8×3＋8×3）×2
＝（24＋24）×2
＝48×2
＝96（平方厘米）
8×8×3
＝64×3
＝192（立方厘米）
表面积增加了96平方厘米，体积增加了192立方厘米。
24．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把1米长的木料锯成3段，表面积比原来增加了60平方厘米，原来这根木料的体积是( )立方厘米。
【答案】1500
【分析】根据题意，把木料锯成3段，即锯了（3－1）次，增加了（3－1）×2个面。用除法算出每个面的面积。1米＝100厘米，将木料的长度换算成厘米，根据长方体的体积公式：底面积×高，代入数据计算即可。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
60÷4＝15（平方厘米）
1米＝100厘米
15×100＝1500（立方厘米）
所以这根木料的体积是1500立方厘米。
25．（23-24六年级上·江苏南京·期中）如下图，每个小正方体的棱长是1分米，按照这样的规律继续摆下去，第③个立体图形的表面积是( )平方分米，第⑥个立体图形共有( )个小正方体。
【答案】 54 66
【分析】边长1分米的正方形，面积是1平方分米，立体图形的表面有几个边长1分米的小正方形，表面积就是几平方分米。看图可知，第③个立体图形从前后左右4个方向观察都是9个小正方形，从上面和下面观察都是9个小正方形，据此确定第③个立体图形表面小正方形的个数即可。
第①个立体图形有1个小正方体；第②个立体图形有2层，增加了（1＋4）个小正方体；第③个立体图形有3层，在第②个立体图形的基础上又增加了（5＋4）个小正方体；以此类推，第⑥个立体图形有6层，下边每层都比上边1层多4个小正方体，据此将各层小正方体个数相加即可。
【详解】9×4＋9×2
＝36＋18
＝54（平方分米）
1＋（1＋4）＋（1＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4＋4）
＝1＋5＋9＋13＋17＋21
＝66（个）
第③个立体图形的表面积是54平方分米，第⑥个立体图形共有66个小正方体。
26．（23-24六年级上·江苏常州·期中）下图中所有大球的体积相同，所有小球的体积也相同，长方体容器的底面是边长6厘米的正方形。每个大球的体积是( )立方厘米，每个小球的体积是( )立方厘米。
【答案】 75 30
【分析】通过观察可知，增加了6个小球，水的高度增加了（10－5）厘米，物体的体积＝长×宽×增加的高度，据此代入数据即可求出6个小球的体积，再除以6即可求出每个小球的体积；已知原来水的高度是5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出水的体积，也就是2个大球的体积加上1个小球的体积；然后用水的体积减去1个小球的体积，即可求出1个大球的体积，最后再除以2即可求出1个大球的体积。
【详解】6×6×（10－5）
＝6×6×5
＝180（立方厘米）
小球：180÷6＝30（立方厘米）
水：6×6×5＝180（立方厘米）
大球：（180－30）÷2
＝150÷2
＝75（立方厘米）
每个大球的体积是75立方厘米，每个小球的体积是30立方厘米。
27．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）用铝合金做一个长、宽、高分别是70厘米、15厘米和120厘米的长方体广告灯箱（如图），至少需铝合金条( )分米。在灯箱外面的各个面用灯箱布围成，至少( )平方分米的灯箱布。
【答案】 82 225
【分析】用铝合金做一个长方体灯箱，需要用到铝合金条长度就是长方体的棱长之和，长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，可得到答案；灯箱外面用灯箱布围成，则计算长方体的表面积：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算得出答案。
【详解】至少需要铝条：
（70＋15＋120）×4
＝205×4
＝820（厘米）＝82分米
至少需要灯箱布：
（70×15＋70×120＋15×120）×2
＝（1050＋8400＋1800）×2
＝11250×2
＝22500（平方厘米）＝225平方分米
28．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）填表。
如图一根长方体木块，表面积是80平方分米，它的横截面是边长1分米的正方形，工人师傅每次都锯下一个棱长1分米的小正方体木块。
锯下木块的个数 1 2 3 …
减少的面积（平方分米） … 76
剩下木块的表面积（平方分米） 76 …
【答案】19；4；8；12；72；68；4
【分析】根据题意，每次都锯下一个棱长1分米的小正方体木块，那么小正方体一个面的面积是1平方分米；
每锯一次，长方体木块减少了小正方体4个面的面积；锯两次，减少了小正方体4×2＝8个面的面积；锯三次，减少了小正方体4×3＝12个面的面积……，再用长方体木块原有的表面积减去减少的面积，即是剩下木块的表面积，据此填表。
【详解】小正方体一个面的面积：1×1＝1（平方分米）
锯下1块时，减少的面积：1×4＝4（平方分米）
剩下木块的表面积：80－4＝76（平方分米）
锯下2块时，减少的面积：1×8＝8（平方分米）
剩下木块的表面积：80－8＝72（平方分米）
锯下3块时，减少的面积：1×12＝12（平方分米）
剩下木块的表面积：80－12＝68（平方分米）
……
减少的面积是76平方分米时，76÷4＝19（个），即锯下木块的个数为19个；
剩下木块的表面积：80－76＝4（平方分米）
如下表：
锯下木块的个数 1 2 3 … 19
减少的面积（平方分米） 4 8 12 … 76
剩下木块的表面积（平方分米） 76 72 68 … 4
29．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图，一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积是1立方厘米的正方体。这个玻璃容器的容积是( )立方厘米。
【答案】60
【分析】看图可知，长方体容器的长4厘米，宽3厘米，高5厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出这个玻璃容器的容积。
【详解】4×3×5＝60（立方厘米）
这个玻璃容器的容积是60立方厘米。
30．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。至少再添( )个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。
【答案】 8 28 19
【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，这个立体图形有几个小正方体体积就是几立方厘米。观察可知，一共有3层，最上层1个小正方体，中间1层3个小正方体，最下层4个小正方体，将3层个数相加即可确定体积；
边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，这个立体图形的表面有多少个小正方形，表面积就是多少平方厘米。从前面看有5个小正方形，从上面看有4个小正方形，从右面看有5个小正方形，前后面看到的个数一样，上下面看到的个数一样，左右面看到的个数一样，（前面看到的个数＋上面看到的个数＋右面看到的个数）×2＝表面积；
拼成的稍大正方体棱长上至少有3个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出稍大正方体需要的小正方体个数，减去已有小正方体个数，即可求出需要添上的小正方体的个数。
【详解】1＋3＋4＝8（立方厘米）
（5＋4＋5）×2
＝14×2
＝28（平方厘米）
3×3×3－8
＝27－8
＝19（个）
它的体积是8立方厘米，表面积是28平方厘米。至少再添19个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。
31．（24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体纸盒长5厘米，宽4厘米，高2厘米，它的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 44 76 40
【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答。
【详解】（5＋4＋2）×4
＝11×4
＝44（厘米）
（5×4＋5×2＋4×2）×2
＝（20＋10＋8）×2
＝38×2
＝76（平方厘米）
5×4×2＝40（立方厘米）
长方体的棱长总和是44厘米，表面积是76平方厘米，体积是40立方厘米。
32．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）一节3米长铁皮的烟囱，底面是一个边长2分米的正方形。制作10节这样的烟囱至少需要( )平方米的铁皮。
【答案】24
【分析】一节3米长铁皮的烟囱，底面是一个边长2分米的正方形，由此可知，烟囱的侧面积是4个长为3米、宽为2分米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个长方形的面积，再乘4求出制作1节这样的烟囱需要的铁皮面积，再乘10即可解答。
【详解】2分米＝0.2米
3×0.2×4×10
＝0.6×4×10
＝2.4×10
＝24（平方米）
所以制作10节这样的烟囱至少需要24平方米。
33．（23-24六年级上·江苏南通·期中）把一根1.5米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加24平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。
【答案】90
【分析】根据题意，把一个长方体材料锯成三段，那么表面积比原来增加4个截面的面积；用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；再根据长方体的体积＝长×宽×高＝横截面积×长，求出这根钢材原来的体积。
【详解】1.5米＝15分米
24÷4＝6（平方分米）
6×15＝90（立方分米）
原来这根木料的体积是90立方分米。
34．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）填表。
形体 长 宽 高 底面积 表面积 体积
长方体 1.5m 0.5m 0.4m
8cm 6cm 4cm
正方体 棱长2.5dm
棱长6cm
【答案】见详解
【分析】根据长方形面积公式：面积＝长×宽，正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出长方体和正方体的底面积；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出长方体表面积、正方体表面积；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出长方体、正方体的体积。
【详解】1.5×0.5＝0.75（m2）
8×6＝48（cm2）
2.5×2.5＝6.25（dm2）
6×6＝36（cm2）
（1.5×0.5＋1.5×0.4＋0.5×0.4）×2
＝（0.75＋0.6＋0.2）×2
＝（1.35＋0.2）×2
＝1.55×2
＝3.1（m2）
（8×6＋8×4＋6×4）×2
＝（48＋32＋24）×2
＝（80＋24）×2
＝104×2
＝208（cm2）
2.5×2.5×6
＝6.25×6
＝37.5（dm2）
6×6×6
＝36×6
＝216（cm2）
1.5×0.5×0.4
＝0.75×0.4
＝0.3（m3）
8×6×4
＝48×4
＝192（cm3）
2.5×2.5×2.5
＝6.25×2.5
＝15.625（dm3）
6×6×6
＝36×6
＝216（cm3）
形体 长 宽 高 底面积 表面积 体积
长方体 1.5m 0.5m 0.4m 0.75m2 3.1m2 0.3m3
8cm 6cm 4cm 48cm2 208cm2 192cm3
正方体 棱长2.5dm 6.25dm2 37.5dm2 15.625dm3
棱长6cm 36cm2 216cm2 216cm3
35．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）用一根铁丝围成一个长8厘米，宽5厘米，高2厘米的长方体，它的最大面的面积是( )平方厘米，如果用这根铁丝围一个正方体框架，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 40 150 125
【分析】一个长8厘米，宽5厘米，高2厘米的长方体，最大面是上下面，最大面的面积＝长×宽；铁丝长度相当于棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝长度，再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。
【详解】8×5＝40（平方厘米）
（8＋5＋2）×4÷12
＝15×4÷12
＝60÷12
＝5（厘米）
5×5×6＝150（平方厘米）
5×5×5＝125（立方厘米）
用一根铁丝围成一个长8厘米，宽5厘米，高2厘米的长方体，它的最大面的面积是40平方厘米，如果用这根铁丝围一个正方体框架，这个正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。
36．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）在括号里填上适当的单位名称。
一间教室的体积大约是150( ) 一本数学书的体积大约是240( )
【答案】 立方米/m3 立方厘米/cm3
【分析】根据生活经验、对体积单位和数据大小的认识可知，
棱长为1米的正方体的体积是1立方米，所以计量一间教室的体积用立方米升作单位比较合适；
棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小，所以计量一本数学书的体积用立方厘米作单位比较合适。
【详解】一间教室的体积大约是150立方米 一本数学书的体积大约是240立方厘米
37．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个正方体的棱长之和是84厘米，它的棱长是( )厘米，占地面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。
【答案】 7 49 294
【分析】正方体有12条长度相等的棱，六个都是完全一样的正方形的面，表面积是六个面面积之和，占地面积是指，贴地面放置时那一个面的面积，据此解答。
【详解】（厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
故棱长7厘米，占地面积49平方厘米，表面积294平方厘米。
38．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是( )平方厘米。
【答案】44
【分析】把正方体切成2个长方体，表面积比原来增加了2个正方形面的面积，已知原来正方体的表面积是48平方厘米，用表面积除以6即可求出1个面的面积，进而求出2个面的面积；然后用原来正方体的表面积加上增加的面积，即可求出现在2个长方体的表面积，最后减去第一个长方体表面积，即可求出第二个长方体表面积。
【详解】48÷6＝8（平方厘米）
8×2＝16（平方厘米）
48＋16＝64（平方厘米）
64－20＝44（平方厘米）
第二个长方体的表面积是44平方厘米。
39．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一堆黄沙的体积是4.5立方米，将它均匀地铺在长4米，宽2.5米的沙坑内。沙坑内的沙子厚( )米，是( )厘米。
【答案】 0.45 45
【分析】求沙坑内沙子的厚度，实际就是求长方体沙坑中沙子的高。可以根据长方体体积公式体积＝长×宽×高来进行求解，已知体积、长和宽，求高用体积除以长与宽即可。
【详解】先求沙子的厚度：沙子的厚度＝黄沙的体积÷沙坑的长÷沙坑的宽。
4.5÷4÷2.5
＝1.125÷2.5
＝0.45（米）
再将米换算为厘米：因为1米＝100厘米，所以0.45米＝0.45×100＝45厘米
沙坑内的沙子厚0.45米，是45厘米。
40．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）把一根长3米的长方体木料，沿横截面平均锯成三段，表面积增加了2.4平方米，这根木料的体积是( )立方米。
【答案】1.8
【分析】将一根长方体木料沿着横截面平均据成3段，此时表面积增加的是4个横截面面积，可计算得到横截面面积；根据木料体积＝横截面面积×长度，可计算得到木料体积。
【详解】横截面面积为：2.4÷4＝0.6（平方米）
木料体积为：0.6×3＝1.8（立方米）
沿横截面平均锯成三段，则增加4个横截面面积，已知表面积增加2.4平方米，这根木料体积为1.8立方米。
41．（23-24六年级上·江苏常州·期中）用一根36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，再在外面糊一层纸，纸的面积至少是( )平方厘米，这个正方体的体积是( )立方厘米。
【答案】 54 27
【分析】由题意可知，铁丝的长度就是正方体的棱长总和，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体的棱长，再根据，计算正方体的表面积即纸的面积，最后根据，代入数据计算即可得解。
【详解】（厘米）
（平方厘米）
（立方厘米）
纸的面积至少是54平方厘米，这个正方体的体积是27立方厘米。
42．（23-24六年级上·江苏南通·期中）用一根长60cm的铁丝焊接一个正方体框架，在框架的每个面糊上彩纸，彩纸的面积至少是( )cm2，做成的正方体的体积是( )cm3。
【答案】 150 125
【分析】根据题意，用一根长60cm的铁丝焊接一个正方体框架，那么这根铁丝的长度等于正方体的棱长总和，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出这个正方体的棱长；
已知在框架的每个面糊上彩纸，求彩纸的面积，就是求正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解；
根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出它的体积。
【详解】正方体的棱长：60÷12＝5（cm）
正方体的表面积：5×5×6＝150（cm2）
正方体的体积：5×5×5＝125（cm3）
彩纸的面积至少是150cm2，做成的正方体的体积是125cm3。
43．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）如图，一个长方体蛋糕盒，底面是边长30厘米的正方形，高25厘米。做这样一个蛋糕盒至少需要( )平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要( )分米的彩带。
【答案】 48 24
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据分别代入公式解答；100平方厘米＝1平方分米，据此换算单位。
长方体蛋糕盒的2个长、2个宽、4个高、打结处的长度合起来就是彩带的长度。据此解答即可。10厘米＝1平方分米，据此换算单位。
【详解】（30×30＋30×25＋30×25）×2
＝（900＋750＋750）×2
＝2400×2
＝4800（平方厘米）
4800平方厘米＝48平方分米
2×30＋2×30＋4×25＋20
＝60＋60＋100＋20
＝220＋20
＝240（厘米）
240厘米＝24分米
所以，做这样一个蛋糕盒至少需要48平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要24分米的彩带。
【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
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