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24.3 正多边形和圆
导学案
一、学习目标：
1．了解正多边形和圆的有关概念.
2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3．利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多边形.
二、学习重、难点：
重点： 利用正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系进行计算.
难点： 利用所学的知识将正多边形的问题转换成直角三角形的问题进行计算.
三、学习过程：
（一）探究新知
【问题一】观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
【问题二】这些图形在日常生活中经常能看到的，你能找到类似图形吗？
【问题三】下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，它有几条对称轴；如是中心对称图形，指出它的对称中心．
【问题四】简述正多边形的对称性？
得出以下结论：
【问题五】例 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
【问题六】什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
师：根据所学知识填空：
最后得出以下结论：
（二）典例分析与针对训练
例1 有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.
【针对训练】
1.正八边形的中心角为______.
2.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
3.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为_____.
4.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为_____________.
（三）探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
【问题一】已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
【问题二】如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？
【问题三】简述这两种方法的操作步骤及优缺点？
四、课堂小结
1.简述正多边形和圆的有关概念？
2.简述正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系？
3. 简述画正多边形的方法？中小学教育资源及组卷应用平台
24.3 正多边形和圆
教学设计
一、教学目标：
1．了解正多边形和圆的有关概念.
2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3．利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多边形.
二、教学重、难点：
重点： 利用正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系进行计算.
难点： 利用所学的知识将正多边形的问题转换成直角三角形的问题进行计算.
三、教学过程：
（一）探究新知
【问题一】观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角相等.
【问题二】这些图形在日常生活中经常能看到的，你能找到类似图形吗？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
【问题三】下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，它有几条对称轴；如是中心对称图形，指出它的对称中心．
【问题四】简述正多边形的对称性？
得出以下结论：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴.
2）只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
【问题五】例 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
【问题六】什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
师：根据所学知识填空：
最后得出以下结论：
1）正n边形的一个内角的度数是；中心角是;
2）正多边形的中心角与外角的大小关系是相等.
（二）典例分析与针对训练
例1 有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.
【针对训练】
1.正八边形的中心角为______.
2.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
3.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为_____.
4.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为_____________.
（三）探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
【问题一】已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
【问题二】如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？
【问题三】简述这两种方法的操作步骤及优缺点？
用量角器等分圆方法： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形.采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.
【优缺点】方法简便且可以画任意正多边形、误差小.
用尺规等分圆方法：先用尺规作图的方法等分圆，然后依次连接圆上各分点得到正多边形.
【优缺点】这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，同时在作图时较复杂，同样存在作图的误差.
四、课堂小结
1.简述正多边形和圆的有关概念？
2.简述正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系？
3. 简述画正多边形的方法？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
六、课堂板书中小学教育资源及组卷应用平台
24.3 正多边形和圆
精准作业
课前诊断
1. 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
必做题
1．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( )
2．正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
3．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
思考题
1. 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
参考答案
〉(共16张PPT)
人教版九年级上册
24.3 正多边形和圆
1.了解正多边形和圆的有关概念.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点)
学习目标
【问题一】观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角相等
【问题二】这些图形在日常生活中经常能看到的，你能找到类似图形吗？
正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
探究新知
【问题三】下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，它有几条对称轴；如是中心对称图形，指出它的对称中心．
【问题四】简述正多边形的对称性？
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴.
2）只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
正多边形和圆的关系非常密切，把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
例 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
内角 外角 内角和 中心角
正三角形
正四边形
正五边形
….
正n边形
60°
120°
120°
90°
90°
90°
108°
72°
72°
180°
360°
540°
（ n-2 ）×180°
【小结】1）正n边形的一个内角的度数是____________;中心角是___________;
2）正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
相等
例1 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积.
E
A
B
C
D
F
O
G
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
边心距r
边长一半
半径R
O
C
M
中心角一半
A
B
C
D
E
F
M
O
如图所示，正五边形ABCDE内接于内接于⊙O，
则中心是_____，
半径是__________，
中心角________，
边心距是______．
·
A
B
C
D
E
O
F
点O
OA、OB
∠AOB
OF
你能表示出该正五边形ABCDE的周长和面积吗？
填一填
1.正八边形的中心角为______.
2.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
3.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为_____.
4.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为_____________.
45°
1800°
6
7
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
【问题一】已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
作法：通过量角器度量使∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°．
作法：通过量角器度量使∠BAO=∠CAO=30° ．
【问题二】如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？
方法一：用量角器等分圆
方法二 用尺规等分圆
用尺规等分圆方法：先用尺规作图的方法等分圆，然后依次连接圆上各分点得到正多边形.
【优缺点】这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，同时在作图时较复杂，同样存在作图的误差.
课堂小结
1.简述正多边形和圆的有关概念？
2.简述正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系？
3. 简述画正多边形的方法？
见精准作业单
作业布置
谢谢观看
