2.8圆锥的侧面积同步练习 苏科版数学九年级上册（含解析）

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2.8圆锥的侧面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧面积是( )
A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
2．若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
4．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　）
A．120° B．150° C．180° D．240°
5．一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为( )
A． B． C． D．
6．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（　　）
A．320° B．40° C．160° D．80°
7．已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．180°
8．圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )
A．180° B．200° C．225° D．216°
9．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 cm2 B．5π cm2 C．10π cm2 D．16π cm2
10．圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
11．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为( )．
A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm
12．圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．有一个圆锥形的零件，底面半径长为，母线长为，用一张扇形铁皮恰好能将这个零件的侧面包裹住（接缝忽略不计），这张扇形铁皮的面积是 ．
14．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥母线与底面半径的比是 ．
15．若一个圆锥的侧面积是50π，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是 ．
16．一个圆锥的侧面展开图是半径为、面积为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ．
17．一个圆锥的底面圆的半径为 2，母线长为 4，则它的侧面积为 ．
三、解答题
18．如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
19．如图线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．
⑴请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
⑵若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(-2， -1)，则点C的坐标为 ；
⑶线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为 ；
⑷若有一张与⑶中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆的半径长为 .
20．一个圆锥形沙堆，底面周长是米，高米，用这堆沙在米宽的路上铺厘米厚的路面，能铺多长？
21．综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
22．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
23．如图，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD
(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；
(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成的圆锥的底面圆的半径r.

24．如图，内接于，，点E在直径BD的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，
①求阴影部分的面积；
②连接AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C A C D D C C
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】首先根据底面半径OB=3cm，高OC=4cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解∶根据题意得：，
∴这个圆锥的侧面积是．
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
2．B
【分析】利用弧长公式易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【详解】解：扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面圆的周长＝4π，
∴圆锥的底面圆半径＝＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查圆锥，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
3．A
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据折叠的性质得OC等于半径的一半，即OA =2OC，再根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAC=30°，则∠AOC=60°，所以∠AOB=120°，则利用弧长公式可计算出弧AB的长，再求出底面圆的半径为1，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高．
【详解】如图，过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
由折叠的性质可知，OD=OC=OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠OAD=30°，
同理可得∠OBD=30°，
在△AOB中，由三角形内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°．
∴弧AB的长为．
设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，
∴r=1．
∴圆锥的高为．
故选A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．C
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【详解】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=π，侧面面积=lR=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2π=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选：C．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
5．A
【详解】试题分析：根据圆心角得出圆锥的母线，然后计算面积.240°=×360°，解得：l=12，则S==96π.
考点：圆锥的侧面积.
6．C
【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，∵母线长90cm，∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr= ×80π×90=3600π，∴=3600π，解得：n=160．故选C．
点睛：本题考查了圆锥的有关计算，解答此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．
7．D
【分析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角．
【详解】圆锥的底面周长为：2π×3=6π，
那么=6π，
解得n=180°．
故选D．
【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
8．D
【分析】先根据圆的周长公式求得底面圆周长，再根据弧长公式即可求得结果．
【详解】设它的侧面展开图的圆心角是n°，
由题意得底面圆周长=
，
解得n=216
故选D．
【点睛】本题是弧长公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般．
9．C
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【详解】圆锥的侧面积=．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式，准确理解圆锥侧面展开图是关键．
10．C
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】此圆锥的侧面积= 4 2π 2=8π．
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．D
【分析】圆锥的展开图为扇形，根据弧长公式l=，以及扇形的弧长就是底面圆的周长，可求出扇形的半径，继而利用勾股定理可求出圆锥的高．
【详解】设扇形的半径为R．由题意得：π×6=，解得：R=5cm ，即AB=5cm，过点A作AD⊥BC与点D．
在Rt△ABD中，AD===4（cm），即圆锥的高为4cm．
故选D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是求出圆锥展开图图的扇形的半径，然后利用勾股定理求圆锥的高，难度一般．
12．D
【分析】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥底面圆半径为，高为，
圆锥的母线长为：，
圆锥的侧面展开图的面积为：，
故选：D．
13．
【分析】本题主要考查了圆锥侧面积计算，根据圆锥的侧面积计算公式（r为底面圆周长，l为母线长）进行求解即可．
【详解】解：设这张扇形铁皮的面积是S，
由题意得，，
故答案为：．
14．4∶1
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的4倍可得到圆锥母线长和底面半径的关系．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角为，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：4：1．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出，抓住圆锥的侧面积是底面积的4倍构造等式是解题的关键．
15．5
【分析】根据圆锥和扇形的关系，先利用扇形面积公式求出扇形半径，再用弧长公式求出弧长，扇形的弧长就是底面圆周长，再求出底面圆半径．
【详解】解：圆锥的侧面是一个扇形，
根据扇形面积公式，解得，
根据弧长公式，扇形的弧长就是圆锥的底面圆周长，
，解得．
故答案是：5．
【点睛】本题考查扇形面积公式和弧长公式，解题关键是掌握圆锥与扇形的联系，利用公式求解．
16．3
【分析】本题主要考查圆锥的计算．根据扇形的面积求得侧面展开图扇形的弧长，即圆锥底面的周长，再根据圆的周长公式即可求得底面圆的半径．
【详解】设侧面展开扇形的弧长为l，
由可得，
∴，
∴侧面展开扇形的弧长为，即圆锥底面的周长为，
设底面圆的半径为r，则，
∴，
∴圆锥底面圆的半径为．
故答案为：3．
17．8π
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：底面半径为2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π，
故答案为8π．
【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是了解圆锥的侧面积的计算方法，难度不大．
18．（1）圆锥；（2）16π；（3）3
【分析】（1）由该几何体的三视图可知，这个几何体是：圆锥；
（2）由图中数据可知，这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，这样根据S表=S侧+S底即可计算出该圆锥的表面积；
（3）如下图，将圆锥的侧面沿母线AB展开得到扇形ABB′，则由题意可知点C′为的中点，点D′为半径AC′的中点，连接BC′，BD′，则BD′的长为所求的最短路程，这样结合已知条件求出BD′的长即可.
【详解】解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；
（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴S表＝S侧＋S底＝π r l＋π r2＝12π＋4π＝16π(cm2)；
（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程．
设∠BAB′的度数为n，则由可得：
，解得：，
∵点C′为的中点，
∴∠BAC′=60°，
又∵AB=AC′，
∴△ABC′是等边三角形，
又∵D′是AC′的中点，
∴∠AD′B=90°，
∴sin∠BAD′=，
∴BD′=AB·sin60°=6×=（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm.
【点睛】（1）熟记圆锥的表面积计算公式：S表=S侧+S底=（其中为圆周率、是圆锥底面圆的半径、是圆锥母线长）是解答第2小题的关键；（2）画出如图所示的圆锥侧面展开图，知道图中BD′的长是所求的最短路程，并能证明△ABC′是等边三角形是解答第3小题的关键.
19．⑴略；⑵（5，0）；⑶；⑷；
【详解】（1）线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．线段AC及点B经过的路径是一段弧，根据弧长公式计算路径；
（2）根据点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（-2，-1），可建立直角坐标系，从直角坐标系中读出点C的坐标为（5，0）；
（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为一个扇形，根据扇形公式计算；
（4）将它围成一个几何体即圆锥的侧面，则该几何体底面圆的周长就等于弧长，利用此等量关键可计算出半径．
20．米
【分析】本题考查了求圆锥的体积；把一个圆锥形的沙堆铺到路面上，体积不变．用求出沙堆的体积(用周长求出底面的半径，再求底面积)；把沙子铺在路面上由圆锥变成长方体，这个长方体的横截面的面积为，把铺的长度看成高，据此可求铺的长度．
【详解】解：(立方米)，厘米米，(米)
答：能铺米．
21．
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示．
∴．
∵，
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴彩带长度的最小值为．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
∴；
（2）解：，，，
而，
，
．
23．(1)猜想：AC与⊙O相切；(2)四边形BOCD为菱形；(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线；
（2）连结OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判断△OCD为等边三角形，则CD=OB=OC，先可判断四边形OBDC为平行四边形，加上OB=OC，于是可判断四边形BOCD为菱形；
（3）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到
OC=，再根据弧长公式计算出弧BC的弧长=然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．
【详解】（1）AC与⊙O相切
，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°．
，∠CBO＝∠BCO＝30°，
∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）四边形BOCD是菱形
连接OD．
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60°
，
∴△COD是等边三角形，
，
∴四边形BOCD是平行四边形，
∴四边形BOCD是菱形．


（3）在Rt△AOC中，∠A＝30°，AC＝6，
ACtan∠A＝6tan30°＝，
∴弧BC的弧长
∴底面圆半径
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法和圆锥的计算．
24．(1)见解析
(2)①；②，
【分析】（1）首先连接，由，利用圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由，即可求得与的度数，利用三角形外角的性质，求得的度数，又由，利用等边对等角，求得，则可求得，则可证得是的切线；
（2）①连接，先求得，再由（1）知，可求得，则，又由（1）知：，，，，即可由求解；
②先求出长，再根据以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的周长等于长求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：①连接，如图，
∵为的直径，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
又由（1）知：，，
∵，
∴；
②由（1）知，
∵，
∴长，
设以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径为r，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，扇形面积和弧长的计算等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
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