1.2一元二次方程的解法同步练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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1.2一元二次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则ab的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣8 D．8
2．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是( )
A．有两个解x=±
B．当n≥0时，有两个解x=±－m
C．当n≥0时，有两个解x=±
D．当n≤0时，方程无实根
4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的值可以为( )
A．1 B．0 C． D．
5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．，
7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≥0且m≠1 C．m≠1 D．m＞1
8．方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－2
11．已知一元二次方程，下列判断正确的是
A．该方程无实数根 B．该方程有一个实数根
C．该方程有两个不相等的实数根 D．该方程有两个相等的实数根
12．一元二次方程x2—3x+1=0的两根为x1，x2，则的值是（　　）
A．﹣3 B．-1 C．1 D．3
二、填空题
13．一元二次方程配方后得，则的值为 ．
14．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．方程的根是 ．
16．一个直角三角形的两直角边分别是方程的两个根，则这个直角三角形斜边上的高线长为 ．
17．若对于任意x的值，结果只有一个非正数，则k的值是 ．
三、解答题
18．（1）计算：
（2）解方程
19．（1）解方程：
（2）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，请仅用无刻度的直尺，在图中画出满足条件的直线 保留画图痕迹．
20．甲、乙两位工人在规定时间内各加工120个零件，已知甲每小时比乙少加工2个零件，结果甲还有10个零件没有加工，乙却提前1小时完成任务．问甲每小时加工多少个零件？
21．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
22．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
23．已知关于的方程（为常数）．
(1)求证：不论为何值，该方程总有实数根．
(2)若该方程有一个根是4，求的值．
24．已知关于x的方程，其中k是正整数．
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求k的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A A D B C C C
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入ab计算即可.
【详解】解：∵，
∴+（b﹣6）2＝0，
∴3a+4＝0，b﹣6＝0，
∴a＝﹣，b＝6，
∴ab＝﹣×6＝﹣8，
故选C．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.
2．B
【分析】先确定各个选择支的a、b、c，再代入根的判别式中计算，根据计算结果确定正确的选择支．
【详解】当a=2，b=-5，c=2时，△=b2-4ac=25-16=9＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项A不合题意；
当a=1，b=3，c=4时，△=b2-4ac=9-16=-7＜0，方程没有实数根，故选项B符合题意；
当a=1，b=-2，c=1时，△=b2-4ac=4-4=＞0，方程有两个相等的实数根，故选项C不合题意；
当a=1，b=-2，c=-2时，△=b2-4ac=4+8=12>0，方程有两个不相等的实数根，故选项D不合题意；
故选B.
【点睛】本题考查了根的判别式，题目难度不大．△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，△＜0时，一元二次方程没有实数根．
3．B
【分析】根据一个数的平方是非负数，可得n≥0，用直接开平方法求得x=±-m，然后对照四个选项即可解答．
【详解】解：∵（x+m）2≥0，
∴n≥0．
∴当n≥0时，方程（x+m）2=n有两个根x=±-m，
故选B．
【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
4．A
【分析】根据方程有两个实数根，可知大于0，求出m的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：把方程化为一般式，得，
方程有两个实数根，
∴，
解得．
观察各选项，只有选项A符合要求，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个实数根时，大于0．
5．A
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
6．D
【分析】两边直接开平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．B
【详解】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有实数根，
∴△=（2m）2﹣4（m﹣1） m≥0且m﹣1≠0，
解得：m≥0且m≠1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．C
【详解】试题分析：根据题意可得：x=0或x-10=0，则x=0或x=10，故选C．
9．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式，逐一判断选项，即可．
【详解】∵，
∴ =>0，即方程有两个不等的实数根，
∵，
∴，即方程没有实数根，
∵，
∴，即方程有两个相等的实数根，
∵，
∴，即方程没有实数根，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，根的判别式，理解根的判别式与一元二次方程的根的关系，是解题的关键．
10．C
【分析】当△=b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2－4ac<0时，方程没有实数根．
【详解】解：Δ＝4 4（a 1）＝8 4a＞0，
得a＜2．
又a 1≠0，
所以a＜2且a≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的零点以及方程根的关系，是基础题．
11．D
【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的判别式判定根的情况，根据时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；由此即可求解．
【详解】解：一元二次方程，
∵，
∴该方程有两个相等的实数根，
故选：D．
12．D
【分析】直接由根与系数的关系可求解．
【详解】∵x2-3x+1=0的两根为x1，x2，
∴x1 x2=1，x1+x2=3，
∴=
故选D．
【点睛】本题比较简单，主要考查了一元二次方程根与系数的关系．
13．11
【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m、n的值，再进行计算即可．
【详解】解：移项得，
配方得，即，
∴，，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了根的判别式，根据两个相等的实数根，得出关于k的方程，求出k的值即可．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
【详解】解：，
，
，
则或
∴或，
故答案为：或．
16．
【分析】利用因式分解法解方程得到三角形两直角边为3、4，再利用勾股定理计算出三角形的斜边为5，然后利用面积法求这个直角三角形斜边上的高的长度．
【详解】解：，
所以，，
即三角形两直角边为3、4，
三角形的斜边，
所以这个直角三角形斜边上的高的长度．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
17．6或
【分析】对于任意x的值，结果只有一个非正数，可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求出k的值即可．
【详解】解：∵对于任意x的值，结果只有一个非正数，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：
故答案为：6或
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是熟练掌握运用根的判别式解决问题．
18．（1）12；（2），．
【分析】（1）先把二次根式化简，再合并同类二次根式，最后作乘法；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】解：（1）
；
（2），
因式分解得，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握运算法则和因式分解法．
19．（1），；（2）见解析
【分析】本题考查一元二次方程的解法和无刻度直尺作图，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用直接开平法解题即可；
（2）连接交y轴于点G，则点的坐标为，过点与点G的直线即为．
【详解】（1）
，
，
或，
，；
（2）如图，直线即为所作；
20．甲每小时加工10个零件
【分析】此题考查了分式方程实际应用和解一元二次方程．设甲每小时加工个零件．根据甲还有10个零件没有加工，乙却提前1小时完成任务列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设甲每小时加工个零件．
由题意可得
整理得
解得
经检验，都是原方程的解，但不符合题意，舍
答：甲每小时加工10个零件．
21．(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
22．(1)；13
(2)最小值为2018；
(3)围成的菜地的最大面积是．
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
（1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可；
（3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：，
当时，代数式有最小值，最小值为，
，
当时，代数式有最大值，最大值为13，
故答案为：；13；
（2）解：
，
当，时，有最小值，最小值为2018；
（3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值是，
围成的菜地的最大面积是．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明方程的根的判别式即可．
（2）把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
解得，
当时，
方程，，
∴，
∴方程有两个实数根；
∴无论m取何值，方程总有实数根．
（2）把代入，
得，
解得．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用因式分解法求出方程的两个实数根，即可求解．
【详解】（1）证明：，
∴，
∴方程总有实数根；
（2）解：，
∴，，
解得：，
∵方程的两个实数根都是整数，k是正整数，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程总有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个实数根．
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