2.3确定圆的条件同步练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.3确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是 （ ）
A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm
2．有下列四个命题，其中正确的有( )
①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，Rt△ABC中，AB=10 cm，BC=8 cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是( )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
4．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的( )
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
5．下列不是必然事件的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边距离相等
B．三角形两边之和大于第三边
C．面积相等的两三角形全等
D．三角形外心到三个顶点距离相等
6．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（ ）
A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4
7．下列说法中错误的是（ ）
A．直径是弦 B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．两个半圆是等弧
8．在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
9．下列说法正确的是（ ）
A．经过三个点一定可以作一个圆 B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长
C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆
10．用反证法证明时，假设结论“点在圆上”不成立，那么点与圆的位置关系可能是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点在圆内或圆外
11．如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（　　）
A．8 B．4 C．6 D．4
12．下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四个顶点在同一圆上
二、填空题
13．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是M、N、P、Q四个点中的一个点 ．
14．已知一个三角形的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的外接圆的半径等于 cm．
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为 ．
16．如图，点C是以为直径的半圆上任意一点，，D、E分别是弧，弧的中点，交于点F，则 度，的外接圆半径是 ．
17．中，已知，，则的外接圆半径是 ．
三、解答题
18．操作与计算：
（1）用尺规作出△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=AC=5，BC=6，求⊙O的半径．
19．已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径．
20．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表：
观察表格：根据表格解答下列问题：
0 1 2
1
-3 -3
（1）__________._____________.___________.
（2）在下图的直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象，直接写出当取什么实数时，不等式成立；
（3）该图象与轴两交点从左到右依次分别为、，与轴交点为，求过这三个点的外接圆的半径.
21．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．

22．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小．
(1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹）
(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．
23．如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．
24．已知圆是等边三角形的外接圆，P是圆上异于的一点
（1）如图，若，直线与直线的交点为，连接，求的长度
（2）若，猜想的数量关系并证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C C C D A D D
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】分两种情况，点P在圆内和点P在圆外，点P到圆的最远距离与最近距离之和或差就是直径，据此求解即可．
【详解】设这个点为点P，分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系与半径的大小关系是解题的关键．
2．C
【分析】解：①圆的对称轴是直径所在的直线； 故此选项错误；
②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．
故选：C．
【详解】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
3．B
【分析】先利用勾股定理计算出AB=10 cm，然后根据圆的半径的定义求解.
【详解】∵∠ACB=90°,
∴AC=cm ,
∵点C在⊙A上，
∴⊙A的半径为6cm.
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理和圆的有关概念，根据勾股定理求出AC的长是解答本题的关键.
4．C
【分析】三角形外接圆的圆心是中垂线的交点；三角形内切圆的圆心是角平分线的交点；据此判断即可．
【详解】∵圆O是△DEF的外接圆，
∴点O是三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查对三角形的内心、外心等考点的理解，属于基础题型．理解定义是解题的关键．
5．C
【详解】解：A.角平分线上的点到角两边距离相等是必然事件，故不符合题意；
B.三角形两边之和大于第三边是必然事件，故不符合题意；
C.面积相等的两三角形不一定全等，∴面积相等的两三角形全等不是必然事件，符合题意；
D.三角形外心到三个顶点距离相等是必然事件，故不符合题意；
故选C
6．C
【分析】连接OM，OC，由垂径定理的推论可知OM⊥CD，从而由∠CPO=∠OMC=90°，可知点P，O，M，C四点共圆，PM为此圆的弦，因此当弦为直径时取最大值．
【详解】解：连接OM，OC，
∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO=∠OMC=90°，
∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I
∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆中的最值问题，把PM的长转化为圆中弦的最值问题是解题的关键．
7．D
【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．
【详解】解：A. 直径是弦，故A正确；
B. 经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；
C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；
D. 两个半圆不一定是等弧，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8．A
【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键．
【详解】解：如图，，
∴三角形的外心为点，
故选A．
9．D
【分析】根据优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵经过不在同一条直线上的三点，一定可以作一个圆，
∴A错误，
∵在同一个圆中，优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长，不同圆中，无法比较，
∴B错误，
∵当圆上两点的连线是直径时，两条弧都是半圆，
∴C错误，
∵任意一个三角形有且只有一个外接圆，
∴D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查圆的相关概念，掌握优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，是解题的关键．
10．D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：反证法证明时，假设结论“点在圆上”不成立，那么点与圆的位置关系可能是点在圆内或圆外，
故选：D．
【点睛】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．也考查了点和圆的位置关系．
11．A
【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=∠BOH=60°，根据直角三角形的性质得到OH，AH的长，于是得到答案．
【详解】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OB=OA=8，
∴∠AOH=∠BOH=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OH=OA=4，
∴AH= ，
∴AB=2AH=8，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；
∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，C选项正确；
∵圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于，故D选项不正确，
故选：C．
13．Q
【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP=CP=≠PA，于是得到结论．
【详解】由图可知，△ABC是锐角三角形，∴△ABC的外心只能在其内部，由此排除M和N，由勾股定理得，BP=CP=≠ PA，∴排除P，故答案为Q.
【点睛】本题考查三角形外心的判定，解题的关键是掌握三角形外心的判定的方法.
14．5
【详解】∵62+82=102，∴这个三角形是直角三角形，斜边为10cm，∴这个三角形的外接圆的半径等于5cm.
15．
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，设点，由三角形外接圆的性质得，得出，求出的值，即可得出答案．
【详解】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，
设点，
由图可得：，，
由三角形外接圆的性质得，
，
，
解得：，
，
，
外接圆的半径为，
故答案为：．
16． 135°
【分析】连接，，由、分别是、的中点，得到，，求得，，根据三角形的外角的性质即可得到结论，设的外接圆的圆心为，取弦所对的弧上的点与点在的两侧，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，，
、分别是、的中点，
，，
，，
是的直径，
，
，
，
；
，
设的外接圆的圆心为，取弦所对的弧上的点与点在的两侧，
，
，
，
，
的外接圆半径是，
故答案为：45，．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．
【分析】根据题意作出图像，利用圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角函数即可求出的外接圆半径OA．
【详解】解：如图，设的外接圆为，连接、，过点作于点，
∵
∴根据圆周角定理可知，
∵OC=OA
∴是等腰三角形，
∴且，
∴；
∴的外接圆半径是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理等知识点，属于综合题型．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）画出线段AB和线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点就是外接圆的圆心；
（2）延长AO交BC于点D，根据垂径定理得到D是BC中点，设圆的半径是x，再利用勾股定理列式求出x的值．
【详解】解：（1）如图，以A为圆心大于AB一半的长度为半径画弧，再以B为圆心，同样的长度为半径画弧，连接弧的交点，作出线段AB的垂直平分线，再用同样的方法作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点就是外接圆的圆心O，再以OB为半径画圆可以得到的外接圆；
（2）如图，延长AO交BC于点D，
∵AB=AC，
∴D是BC中点，
∴BD=3，
∵AB=5，
∴根据勾股定理求出AD=4，
设圆的半径AO=BO=x，则，
∵，
∴，解得，
∴的半径是．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和垂径定理，解题的关键是掌握三角形外接圆的画法和利用垂径定理求半径的方法．
19．作图见解析，的外接圆的半径为4
【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即可，由等腰三角形的性质可求，证明是等边三角形，然后作答即可．
【详解】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的外接圆的半径为4．
【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（1），，；（2）或；（3）
【分析】(1)直接将(1，1)代入求出a即可，进而将x=2代入求出y，再分别将(0, -3) ，(2， -3)代入求出b，c的值;
(2)再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集.
(3)根据题意求得外接圆的圆心的坐标为(1，1)，进而求得圆的半径,即可求得圆的面积.
【详解】解：(1)∵过(1,1)
∴
当x=2时，
∵过，，，
∴
解得
故答案为，，；
（2）如图所示：
当或时，.
（3）由（2）可知,则作、 的垂直平分线的交点,
∴外接圆的半径，
故答案为.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、抛物线与轴交点、三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
21．（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O即可；
（2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC．
【详解】解：（1）如图所示：

（2）连接BD．
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，
又∵∠D=∠ACB=40°，
∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
22．(1)见解析
(2)圆弧形水道外侧的半径为483米
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图：
（1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O；
（2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米．
【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O；
（2）解：如图所示，连接，
∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点，
∴，米，
∴四点共线，
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴米．
答：圆弧形水道外侧的半径为483米．
23．证明见解析.
【详解】试题分析：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD，可知AD过圆心O，故可得出结论．
试题解析：（1）答：△ABC是等腰三角形．
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∵AD是角平分线，
∴DE=DF．
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．
证明：∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AD过圆心O．
作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，
∴⊙O是△ABC的外接圆．
考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．
24．（1）4；（2），证明见解析
【分析】（1）在Rt△PAC中，求出PC，再证明PD＝PC即可解决问题．
（2）在PC上截取一点E，使得PB＝PE，连接BE．证明△ABP≌△CBE（SAS）即可解决问题．
【详解】解：（1）是等边三角形，所以
所以
在中，
故的长度是4．
（2）由题意得点在，结论
证明，如图，在上取一点，使得，连接
是等边三角形
．
【点睛】本题考查三角形的外心与外接圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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