2.5直线与圆的位置关系同步练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.5直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设的半径为，若点在直线上，且，则直线与的位置关系为（　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
2．已知⊙O的直径为8cm，P为直线l上一点，OP＝4cm，那么直线l与⊙O的公共点有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
3．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（　　）
A．14 B．20 C．24 D．30
5．如图，在⊙中弦弦于，延长、交于点，连接、、、平分，⊙的半径为，，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
6．平面上与直线，，，的位置关系如图.如果的半径为，且点到其中一直线的距离为，那么此直线为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．同弧所对的圆周角相等
8．如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为，的周长等于，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知在中，，是的中点，的延长线上的点满足．的内切圆与边，的切点分别为，，延长分别与，的延长线交于，，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
10．在直角坐标系中，点P的坐标是(2，)，圆P的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点
D．圆P与x轴、y轴都没有公共点
11．如图，是的切线，为切点，交于点，若的半径长为1，，则线段的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点是直线上的点，半径为1的的圆心从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，设点运动的时间为秒，则当 秒时，与y轴相切．
14．如果，AB是⊙O的切线，A为切点，OB=5，AB=5，AC是⊙O的弦，OH⊥AC，垂足为H，若OH=3，则弦AC的长为 ．
15．一个直角三角形的两条直角边长分别为、，则它的外接圆半径为 ；内切圆的半径为 ．
16．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为 ．
17．如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的切线与边所在直线垂直于点M，若，则等于 ．

三、解答题
18．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　．
19．已知是的直径，与相切于点，且，设交于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图中，作的平分线；
(2)在图中，找出边上的中点．
20．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动，，．
(1)如图2，当与相切时，求的长．
(2)在磨盘转动过程中，求的最大值及最小值
21．【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现．
【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，小明家购买了一个直径的圆形梳妆镜，其示意图如图1，点A，B是圆镜上两个挂绳固定点，点P是钉子悬挂点，挂绳长度为，，且，挂绳可调节的范围为：．

(1)小明通过调节挂绳长度，使得与相切于点A，求证：与相切；
(2)小明需要把镜子挂起来，经过对家人身高的调查，决定把镜子的中心（圆心O）定在距离桌面高度处（点P，O，D三点共线，交于点C）如图2，且通过测量得到，求点P到桌面的距离的取值范围（结果保留根号）．
23．如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连结PC交⊙O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，PB=18．
（1）求证：△PAB∽△PCA；
（2）求证：AP是⊙O的切线．
24．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的长．

参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D B B D A B B
题号 11 12
答案 A D
1．D
【分析】根据直线与圆位置关系可知，若直线与圆相离，圆心与直线上的点不可能等于半径；反之，当直线与圆相交或相切时，直线上总有点到圆心的距离等于半径，从而得到答案．
【详解】解：由题意可知，当的半径为，点在直线上，且，则直线与的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系的综合运用，熟记直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系是解决问题的关键．
2．D
【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4cm，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离；即可得出公共点的个数．
【详解】解：根据题意可知，圆的半径r＝4cm．
∵OP＝4cm，
当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有1个；
当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于4cm，所以是相交的位置关系，公共点有2个．
∴直线L与⊙O的公共点有1个或2个，
故选D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．特别注意OP不一定是圆心到直线的距离．
3．A
【分析】连接，由切线的性质得，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键
4．D
【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【详解】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
5．B
【分析】延长交与点交于点，连接、．先证再证明，依据平行线分线段成比例定理可知，在中由勾股定理可得到，，从而可求得，在中，由勾股定理得可求得的长，于是得到的长．
【详解】解：延长交与点交于点，连接、．
∵平分，
∴，
∵弦弦
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∵的半径为，，
∴，
设，．
在中，由勾股定理可知∶．
解得∶（负值已舍去）．
∴，．
∴．
在中，由勾股定理得∶．
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用、直角三角形的性质及判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
6．B
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当dr，则直线和圆相离，进行分析判断．
【详解】因为所求直线到圆心O点的距离为14cm<半径20 cm，所以此直线为圆O的割线,即为直线.故选B.
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解题的关键是掌握直线和圆的位置关系求法.
7．D
【分析】由等弧的定义、确定圆的条件、切线的定义、圆周角定理的推论分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；
B. 同一平面内，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；
C. 垂直于半径的直线且过半径的外端是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；
D. 同弧所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、切线的定义、圆周角定理的推论，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8．A
【分析】连接，延长交于点，由切线长定理及切线性质得，，，，，，，从而得，证明四边形是矩形，得，进而得，，，在中利用勾股定理得，最后利用正切的定义即可得解．
【详解】解：连接，延长交于点，
∵，切于，两点，切于点，交，于，，
∴，，，，，，，
∴的周长，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴即，
解得，，
∵，，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，矩形的判定及相知，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
9．B
【分析】取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根据直角三角形斜边上中线性质求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根据∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可．
【详解】解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心、直角三角形斜边上中线性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角性质、对顶角相等等，题目综合性比较强，有一定的难度．
10．B
【分析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可．
【详解】解：∵P（2，），圆P的半径为2，2=2，＜2，
∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．
11．A
【分析】如图所示，连接OA，利用切线的性质得到∠OAB=90°，然后利用勾股定理求出OB的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，
∵AB是圆O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴，
∴BC=OB-OC=1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．
12．D
【详解】试题解析：由勾股定理，得
OB==13，
CB=OB﹣OC=13﹣5=8，
故选D．
.
考点：切线的性质．
13．3或5
【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，推出是等腰直角三角形，，①如图，与轴和轴都相切时，②当只与轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论
【详解】解：设与坐标轴的切点为，
直线与轴、轴分别交于点、，点，
时，；时，；时，；
，，，
，，，
是等腰直角三角形，，
①如图，与轴和轴都相切时，
，
，
的速度为每秒个单位长度，
；
②当只与轴相切时，
，
，
的速度为每秒个单位长度，
．
综上所述，则当或秒时，与坐标轴相切，
故答案为：3或5．
14．8
【分析】根据切线性质得AB⊥OA，由勾股定理得OA＝＝＝5，由垂径定理得AC＝2AH＝2＝2＝8，从而得到答案.
【详解】∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OA，∴OA＝＝＝5，∵OH⊥AC，∴AC＝2AH＝2＝2＝8，故答案为8.
【点睛】本题主要考查了切线性质定理以及垂径定理，熟记切线性质定理以及垂径定理是解本题的关键点.
15． 5 2
【分析】先利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，作答即可．
【详解】根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是10．
根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是5；
根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是2．
故答案为：5，2．
【点睛】本题考查了勾股定理、求解直角三角形的外接圆及内接圆的半径的知识，掌握直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，是解答本题的关键．
16．
【详解】试题分析：首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC=2，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得EF=AC=2．
考点：1、切线的性质，2、勾股定理
17．/20度
【分析】由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理求出，得出，由过点C的切线与边所在直线垂直于点M，可得，，继而根据三角形的外角性质得出，即可求出的度数．
【详解】解：连接，

∵圆内接四边形的边过圆心O，
∴，
∴，，
∵过点C的切线与边所在直线垂直于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
18．（1）13；（2）0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4
【分析】（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
【详解】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．
【点睛】本题考查切线的性质及勾股定理在实际中的运用，根据已知条件作出辅助线，熟知垂径定理的内容是解题的关键．
19．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】
（1）连接、，根据切线的性质得到，则，然后证明，从而得到平分；
（2）作直径，连接、、、，与相交于点，延长交于点，则点为的中点．
【详解】（1）如图,为所作；
（2）
如图，点为所作．
【点睛】
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和切线的性质．
20．(1)10
(2)
【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理可进行求解；
（2）如图2，当点Q运动到点时，点P距离点A最远，求出此时的长度；当点Q运动到点时，点P距离点A最近，则可得此时的长度，然后问题可求解．
【详解】（1）连接，如图2，
∵与相切，
∴，
在中，
∴，
在中，；
（2）如图3，当运动到时，点运动在上距离点最远，
在中，，，
∴，
当运动到时，点运动在上距离点最近，
在中，，，
∴．
21．操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析
【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明即可得到结论；
猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；
实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求．
【详解】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
在上取一点T，连接并延长交的外接圆于S，连接，
∴，
∵，
∴，
∴球员P由M向N的运动过程中，的大小是先变大后变小，
故答案为：③；
猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，
∴，
∵，
∴，即，
∴上异于点Q的其他所有点对的张角都小于，
∴球员P运动到切点Q时最大；
实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求；
理由如下：∵，
∴，
∵，且，即是两条平行线间的距离，
∴也是这两条平行线间的距离，
∴，
∴ 直线与相切，
∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P时，最大．
【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接,由切线的性质可得，再证可得，然后根据切线的判定定理即可证明结论；
（2）如图，连接，先说明是的垂直平分线，则；运用勾股定理可求得、；再结合x的取值范围可得，然后分、两种情况解答即可．
【详解】（1）解：如图，连接,

是切线，
在和中
，
，即．
又为半径，
为切线．
（2）解：如图，连接，

，
是的垂直平分线．
．
在中,．
在中,．
又，
，即．
当时，．
当时，．
．
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握圆的切线的判定与性质是解题的关键．
23．见解析
【分析】（1）根据△PAB与△PCA的对应边成比例，夹角相等证得结论．
（2）欲证明AP是⊙O的切线，只需证得∠PAC=90°．
【详解】证明：（1）∵PC=50，PA=30，PB=18，
∴．
∴．
又∵∠APC=∠BPA，
∴△PAB∽△PCA．
（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABP=90°．
又∵△PAB∽△PCA，
∴∠PAC=∠ABP．
∴∠PAC=90°．
∴PA是⊙O的切线．
24．（1）证明见解析；（2）AC=．
【分析】（1）由切线的性质得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2．由圆周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C；
（2）连接BD．由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD===6，由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，从而求得AC的值．
【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，
∴AB⊥AC．
则∠1+∠2=90°，
又∵OC⊥AD，
∴∠1+∠C=90°，
∴∠C=∠2，
而∠BED=∠2，
∴∠BED=∠C；
（2）解：连接BD，

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD===6，
∴△OAC∽△BDA，
∴OA：BD=AC：DA，
即5：6=AC：8，
∴AC=．
【点睛】考查切线的性质, 余角和补角, 勾股定理, 圆周角定理, 相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角、圆心角与弧的关系的相关知识是解决此类问题的关键.
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