2.6正多边形与圆同步练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.6正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆的面积，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这部著作的作者是（ ）
A．祖冲之 B．刘徽 C．赵爽 D．张衡
2．如图，四边形是平行四边形，经过点与相交于点连接．若则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．24cm2 B．6cm2 C．12cm2 D．8cm2
5．如图，正五边形与相切于点A和点C，则度数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知⊙O的面积为4，则其内接正三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 内接于，，，是的直径，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，半径为1的是正方形，正六边形的外接圆，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2
10．下列关于正多边形说法正确的数量为（ ）
（1）正多边形一定是轴对称图形
（2）正多边形一定是中心对称图形
（3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等
（4）正多边形的外角和与其边数成正比
A．1 B．2 C．3 D．4
11．一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的边长为（　 　）
A．2 B．4 C．4 D．8
12．半径为3的正六边形的周长为（ ）
A．18 B． C． D．
二、填空题
13．已知正方形与正六边形都内接于圆，若正方形边长为，则 ．

14．圆内接正方形的每条边所对的圆心角的度数是 ．
15．如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°，则∠CDE的度数是 .
16．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 .
17．若一正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是 ．
三、解答题
18．自古以来，人类对于蜜蜂的勤劳以及蜂巢的巧妙精准无不赞扬有加.从生物学鼻祖亚里士多德，到数学家帕普斯，以及近代的生物学家达尔文都曾留下了赞美的诗句.工蜂分泌蜂蜡筑成蜂窝，作为蜂王产卵、工蜂育幼以及存放蜂蜜、花粉的贮藏室.从正面来看，蜂巢是由许多正六边形连结而成，正六边形是能够不重叠地铺满一个平面的三种正多边形之一，另外两种分别是正方形和正三角形.
（1）一根长12的铁丝分别围成正三角形，正方形，正六边形，请同学们直接写出围成图形的面积: , , ；
（2）在（1）的条件下，比较围成图形面积的大小；
（3）通过以上计算，当面积一定时，耗材最少的图形是 (填：正三角形、正方形、正六边形).

19．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC、BC分别交⊙O于E、D，求证：DC＝DE．
21．如图，分别是正五边形各边的中点．求证：五边形是正五边形．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B C A A B D B
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本题主要考查了数学学史，根据刘徽是《九章算术注》的作者进行解答即可．
【详解】解：《九章算术注》的作者是刘徽．
故选：B．
2．B
【分析】根据平行四边形的性质得到∠B=∠D=75°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=75°，由三角形的内角和即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=75°，
∴∠B=∠D=75°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=75°，
∴∠EAB=180°-75°-75°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
4．B
【详解】试题分析：根据正六边形的边长等于半径进行解答即可．
解：∵正六边形内接于半径为2cm的圆内，
∴正六边形的半径为2cm，
∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a=2cm；
∴正六边形的面积S=6××2×2sin60°=6cm2．
故选B．
考点：正多边形和圆．
5．C
【分析】本题考查多边形内角和问题及正多边形内角性质，切线性质，熟练掌握多边形内角和及正多边形内角性质及切线性质是解题的关键．由切线的性质知，再计算正五边形的内角度数，最后根据五边形的内角和为，即可求得答案．
【详解】正五边形与相切于点A和点C，
，
正五边形的内角和为，正五边形的5个内角相等，
每个内角为，
五边形的内角和为，
，
．
故选C．
6．A
【分析】先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
【详解】解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为4π
∴⊙O的半径为2，即：OB=2，
∵△ABC为正三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
7．A
【分析】根据等边对等角得到∠ACB=∠ABC=30°，根据圆周角定理得到∠BCD=90°，所以∠ACD=120°，根据圆内接四边形性质得到∠ABD=60°，从而得到∠CBD=30°，在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半，所以BD=2CD=2.
【详解】解：∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=30°
∵BD是⊙O的直径
∴∠BCD=90°
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°
∴∠ABD=60°
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°-30°=30°
∴BD=2CD=2
故选A.
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质及直角三角形的特征. 本题属于圆的综合性题目.
圆周角定理：直径所对的角是直角；
圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补；
直角三角形特征：在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.
8．B
【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，连接，根据题意得出，然后根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
依题意，，，
∴
∴的长为，
故选：B．
9．D
【详解】试题分析：如图：设正六边形的边长是a，则半径长也是a；过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC，则AC=AB=a，由勾股定理得OC= = a，所以正六边形的边心距与边长之比为： a：a=：2．故选D．
考点：正多边形和圆．
10．B
【分析】本题主要考查正多边形、中心对称图形、轴对称图形，根据正多边形的定义及性质、中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，即可求得答案．
【详解】（1）说法正确；
（2）正多边形不一定是中心对称图形，例如正五边形不是中心对称图形，说法错误；
（3）正边形的中心角与其一个外角的度数均为，说法正确；
（4）正多边形的外角和为，与其边数不成正比，说法错误；
说法正确的为（1）（3）．
故选：B．
11．B
【分析】圆内接正六边形的边长为4，即圆的半径是4，则圆的内接正方形的对角线长是8，进而就可求解．
【详解】解：∵圆内接正六边形的边长是4，
∴圆的半径为4．
那么直径为8．即圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于8．
∴圆的内接正方形的边长是4．
故选B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，关键是利用知识点：圆内接正六边形的边长和圆的半径相等；圆的内接正方形的对角线长为圆的直径解答．
12．A
【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．
【详解】解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝3，
正六边形的周长＝6a＝18．
故选：A．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
13．
【分析】连接，、，，设与交于点N，根据勾股定理求出，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，利用垂径定理得出，，根据勾股定理求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出结果即可．
【详解】解：连接，、，，设与交于点N，如图所示：

∵四边形为正方形，
∴，，
∴为的直径，，
∴，
正六边形中，
，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵六边形为正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，勾股定理，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角的三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判断．
14．/90度
【分析】利用正边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：正方形的中心角等于．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
15．60°
【分析】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠CDE+∠ADC=180°，然后根据同角的补角相等得出∠CDE=∠B=60°．
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠B.
∵∠B=60°，
∴∠CDE=60°.
故答案为60°.
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质.
16．1：2：3.
【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比．
【详解】解：如图：
在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，
∴R=2r，
AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值．
17．
【分析】由正四边形的中心角为，根据勾股定理可求得正方形的边长．
【详解】解：如图，

正方形的半径是3，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，熟记正多边形的边数和中心角的关系是解决问题的关键．
18．（1），9，；（2）正三角形面积<正方形面积<正六边形面积；（3）正六边形
【分析】（1）由图形的周长分别求出它们的边长，然后计算面积即可；（2）根据计算结果，利用二次根式的化简进行实数的大小比较即可，
【详解】解：（1）由题意可得出：
正三角形的边长为4，
S正三角形=×4×2=4，
正方形的边长为3，
S正方形=3×3=9，
正六边形的边长为2m，
S正六边形=6××2×=
故填：，9，；
（2）∵，9= ，=
∴<9<
∴正三角形面积<正方形面积<正六边形面积；
（3）通过计算，可知周长相等的正多边形，边数越多，面积越大
∴当面积一定时，耗材最少的图形是正六边形．
【点睛】此题主要考查了正多边形的性质有关计算，解答此题的关键是根据正三角形、正方形、正六边形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行比较即可．
19．见详解
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．见解析
【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠CED＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠CED，
∴DC＝DE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
21．见解析．
【分析】根据五边形ABCDE是正五边形，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，由H，I，J，K，L分别是各边的中点，可得AH＝HB＝BI＝IC＝CJ＝JD ＝DK＝KE＝EL＝AL．利用边角边可证△AHL≌△BIH≌△CIJ≌△DJK≌△ELK，继而根据全等三角形的性质进行证明即可．
【详解】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
又∵H，I，J，K，L分别是各边的中点，
∴AH＝HB＝BI＝IC＝CJ＝JD ＝DK＝KE＝EL＝AL．
∴△AHL≌△BIH≌△CIJ≌△DJK≌△ELK（SAS），
∴HL＝LK＝KJ＝JI＝IH，∠AHL=∠BIH=∠CJI=∠DKJ=∠ELK,∠ALH=∠BHI=∠CIJ=∠DJK=∠EKL，
∵180°-∠AHL-∠ALH=180°-∠BIH-∠BHI=180°-∠CJI-∠CIJ=180°-∠DKJ-∠DJK=180°-∠ELK-∠EKL，
∴∠LHI＝∠HIJ＝∠IJK＝∠JKL＝∠KLH，
∴五边形HIJKL是正五边形．
【点睛】本题考查正五边形的判定与性质，中点定义，三角形全等判定与性质，掌握正五边形的判定与性质，中点定义，三角形全等判定与性质．
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