2.7弧长及扇形的面积同步练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.7弧长及扇形的面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是一个组合烟花（图1）的横截面，其中16个圆的半径相同，点O1、O2、O3、O4分布是四个角上的圆的圆心，且四边形O1O2O3O4是正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高度为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（ ）
A．26rh B．24rh＋rh C．12rh－2rh D．24rh＋2rh
2．如图，已知的内接正六边形的边心距是，则阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，⊙O的半径为6，四边形内接于⊙O，连结OA、OC，若∠AOC=∠ABC，则劣弧AC的长为（　　）
A． B．2π C．4π D．6π
4．已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．20π B．15π C．10π D．5π
5．如图，点在以为直径的半圆弧上，．沿直线将半圆折叠，点与重合，与相交于点．已知的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的半径为6，分别切于点A，B．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆心角为60°的扇形面积为24π，那么扇形的半径为（ ）
A．12 B．6 C． D．
8．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（　　）
A． B．π C． D．
9．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=，则阴影部分图形的面积为（ ）
A． B．3π C．π D．
11．如果一个扇形的弧长和半径均为2，则此扇形的面积是（ ）
A． B． C．4 D．2
12．如图，圆锥的轴截面△ABC是一个以圆锥的底面直径为底边，圆锥的母线为腰的等腰三角形，若圆锥的底面直径BC=4cm，母线AB=6cm，则由点B出发，经过圆锥的侧面到达母线AC的最短路程是( )
A．cm B．6cm C．3 cm D．4cm
二、填空题
13．如图，在等边三角形中，D为的中点，交于点E，若，则的长为 ．

14．半径为2㎝，圆心角为90°的弧长为 ．
15．用一块弧长为 的扇形纸片，围成一个高为 4cm 圆锥的侧面，则此扇形纸片的圆心角为 ．
16．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是 ．
17．扇形AOB中，∠AOB＝60°，OA＝4，过A作AC⊥OB于点C，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题
18．（1）解方程：．
（2）如图，在矩形纸片中，，，以点为圆心，为半径，画出扇形，求图中阴影部分的面积．（结果保留）

19．如图，已知点A、B的坐标分别是(0，0) ，(4，0)，将绕A点按逆时针方向旋转90°后得到．
（1）画出（不要求写出作法）；
（2）写出点的坐标；
（3）求旋转过程中点B所经过的路径长．
20．如图，是的内接三角形，是的直径，．
(1)求的度数．
(2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积．
21．一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，已知矩形的长为，宽为，求要打掉的墙体面积.
22．龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长．
23．如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外．

(1)当．
①______度；
②求证：是的切线；
③当时，求劣弧的长．
(2)若，H是的中点，点D是一动点，当点D从点A按逆时针方向移动第一次到达点B时，请直接写出点H移动的长度．
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=2，AC=8，阴影部分的面积为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C B A A D C D
题号 11 12
答案 D C
1．D
【详解】解：由图形知，正方形O1O2O3O4的边长为6r，∴其周长为4×6r=24r，∵一个圆的周长为：2πr，∴截面的周长为：24r+2πr，∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故选D．
点睛：本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面周长的算法．
2．D
【分析】连接正六边形的相邻的两个顶点与圆心，构造扇形和等边三角形，则可得到弓形的面积，阴影部分的面积等于弓形的6倍．
【详解】解：连接、，
，的内接正六边形，
，
∴△DOE是等边三角形，
∴∠DOM=30°，
设，则
，
解得：，
，
根据图可得：，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是知道阴影部分的面积等于三个弓形的面积．
3．C
【分析】由圆周角定理得∠AOC=2∠ADC，圆内接四边形的性质可得∠ADC+∠ABC=180°，进而求出∠AOC的度数，然后根据弧长公式求解即可.
【详解】解：∵∠AOC与∠ADC所对的弧相同，
∴∠ADC=∠AOC，
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ADC+∠ABC=∠AOC+∠ABC=180°．
又∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOC+∠AOC=180°
∴∠AOC=120°．
∵⊙O的半径为6，
∴劣弧AC的长为：．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长计算公式，解题的关键是利用同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的和圆内接四边形的对角互补求出∠AOC的度数.
4．C
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是＝10π．
故选：C
【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式 （其中 分别为圆心角，半径）是解题的关键．
5．B
【分析】连接AD，CD，根据折叠的性质得到∠ABC=∠CBA′=30°，求得∠ABD=60°，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠BAD=30°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AD，CD，
∵沿直线CB将半圆折叠，点A落在点A′处，
∴∠ABC=∠CBA′=30°，
∴∠ABD=60°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴，
∴半圆的半径为：3，
∵CD=BD=A′D，∠A′DC=60°，
∴图中阴影部分的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，扇形的面积的计算，圆周角定理，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．A
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形的性质得到∠AOB=360°-∠P-∠PAO-∠PBO=130°，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接OA，OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=360°-∠P-∠PAO-∠PBO=130°，
∵⊙O的半径为6，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．A
【分析】已知扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求解．
【详解】设扇形的半径为r
则扇形的面积为＝ ．
解得r＝12
故选A．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式＝ ，解题关键是熟记扇形的面积公式.．
8．D
【详解】解：根据弧长公式知：扇形的弧长为．
故选：D．
【点睛】题目主要考查弧长公式的计算，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．
9．C
【详解】试题分析：直接根据弧长的公式列式求解：
设该扇形的半径是r，
∵n=120°，l=12π，∴
．故选C．
考点：弧长的计算．
10．D
【详解】解：连接OD．
∵CD⊥AB，CD=，∴CE=DE=（垂径定理）．
∴．∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积．
又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）．
∴OC=2．
∴，
即阴影部分的面积为．
故选D．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式．
11．D
【详解】试题解析：由题意， ，则.故本题应选D.
点睛：下面简述下的推导过程,其中 为扇形的弧长， 为半径.
, ，则 .
12．C
【详解】
沿母线AB把圆锥展开，如图，过B作BD⊥AC′于D，弧BC′= 2π 2=2π，设∠C′AB=n°，∴2π=，∴n=60，即∠DAB=60°，在Rt△ADB中，AD=AB=3，∴BD=AD=3，所以由点B出发，经过圆锥的侧面到达母线AC的最短路程为3cm．故选C．
13．/
【分析】连接，证明是直径，取的中点O，连接．证明，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，D为的中点，
∴，
∴是直径，
取的中点O，连接．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长，
故答案为：．

【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．π cm
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】．
故答案为：π cm．
【点睛】本题考查了弧长的求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
15．
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，再利用弧长公式即可解题.
【详解】解：∵扇形的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r，
则：，故圆锥底面半径为3；
沿着圆锥的高剖开，其截面为一个直角三角形，
故圆锥的母线长为：，
由圆锥的侧面展开图是一个扇形，且其弧长等于圆锥底面周长知：
故有：，其中是圆心角，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了扇形弧长的计算公式，需要理解的是：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；根据扇形的弧长公式进行计算即可.
16．12．
【分析】点A经过的路线长由三部分组成：以B为圆心，AB为半径旋转90°的弧长；以C为圆心，AC为半径旋转90°的弧长；以D为圆心，AD为半径旋转90°的弧长，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，
故答案为：12．
【点睛】本题的关键是弄清弧长的半径及圆心，圆心角的度数．
17．﹣2
【分析】解直角三角形得到AC，OC，再根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
【详解】解：∵AC⊥OB，
∴∠ACO＝90°，
∵∠AOB＝60°，OA＝4，
∴OC＝OA＝×4＝2，AC＝OA＝×4＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOC＝﹣×2×2＝﹣2，
故答案为﹣2.
【点睛】本题考查的是阴影部分面积的计算，转化为扇形面积与直角三角形面积的差是解题的关键.
18．（1），；（2）
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，矩形面积计算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式和解一元二次方程的方法．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用矩形面积减去扇形面积即可．
【详解】解：（1），
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（2）图中阴影部分的面积为：
．
19．（1）见解析；（2）(﹣2，5)；（3）2π
【分析】（1）根据旋转的性质得到、，顺次连线即可；
（2）根据（1）直接得到答案；
（3）利用弧长公式计算即可.
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；
（2）点C′（﹣2，5）；
（3）点B所经过的路径长＝
【点睛】此题考查旋转的性质，确定直角坐标系中点的坐标，弧长的计算公式，正确画出旋转图形是解题的关键.
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理和推论，扇形面积，三角形内角和定理，
（1）由圆周角定理得，根据得，根据得，根据三角形内角和定理即可得；
（2）连结，根据得，根据的半径为1得，根据阴影部分面积等于扇形面积减去三角形的面积即可得；
掌握圆周角定理，扇形面积，添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：连结，
∵是直径，
，
∵，
，
∵，
，
．
（2）解：如图所示，连结，
∵，
，
∵的半径为1，
，
．
21．
【分析】本题主要考查扇形面积及垂径定理，连接交于点O，即为圆心，过圆心O作于点E，于点F， 由题意易得，然后根据勾股定理可求半径，进而可得劣弧及优弧的度数，最后问题可求解，熟练掌握扇形面积及垂径定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点O，即为圆心，过圆心O作于点E，于点F，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴优弧的度数为，
∴打掉墙体的面积为：，
∴要打掉的墙体面积为．
22．米
【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出弧的长度，即可求出整条龙的长度．
【详解】解：∵弧长为（米），
∴整条龙的长是（米）．
23．(1)①，②证明见详解；③；
(2)；
【分析】（1）①根据圆周角定理直接求解即可得到答案；②根据直径得到，结合三角形内角和定理求解即可得到证明；③根据圆心角与圆周角关系得到圆心角度数代入公式求解即可得到答案；
（2）根据中点得到是的中位线，即可得图形的形状及半径，即可得到答案；
【详解】（1）①解：∵，，
∴，
故答案为：；
②证明：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
③解：∵，，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵H是的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴H移动的轨迹是以为直径的圆，
∵，
∴，
∴；

【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对圆周角是直角，同弧或等弧所对圆周角相等等于圆心角一半，弧长公式：，三角形的中位线定理．
24．（1）见解析；（2）直线ED与⊙O相切，见解析；（3）
【分析】（1）根据圆周角定理，由，得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE，即可证明CD平分∠ACE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=4，则CH=HE CE=2，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD S△OCD进行计算即可求得结果．
【详解】（1）证明：，
，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴，
，
，
，即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
，
，
，
∴OD∥BC，
，
，
直线ED与⊙O相切；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD=EH，
∵CE=2，AC=8，
∴OD=OC，
则，CH=HE CE=2，
在中，，则
∴，
∴阴影部分的面积=S扇形OCD S△OCD
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及的知识点主要有圆周角定理、切线的判定定理、扇形的计算，熟练掌握圆的相关性质和定理是解题的关键．
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