4.3实数同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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4.3实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．是负无理数，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是(　　)
A．﹣4 B． C． D．50%
4．下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列介于─2与1之间的数是（ ）
A．─3 B． C．4 D．+2．5
6．下列实数中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．
7．已知a，b都是实数，若，则的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2024
8．规定a*b = – 2ab，则 – 3*5的值为（ ）
A．15 B．– 15 C．30 D．– 30
9．估计在（ ）
A．5～6之间 B．6～7之间 C．7～8之间 D．8～9之间
10．数轴上表示2，的对应点分别是A、B，点B关于A的对称点是C，则点C表示的数为（ ）
A．－2 B．2－ C．4－ D．－4
11．在，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在数0，﹣，，0.，1.010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0），3.1415，2.3%中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．对于正整数，我们规定：若为奇数，则：若为偶数，则，例如，，若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，，为正整数）， ．
14．计算：﹣12019+(﹣)﹣2﹣＝ .
15．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
16．的绝对值是 ，4是 的算术平方根．
17． .
三、解答题
18．计算
(1)
(2)．
19．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接：﹣π，，0，﹣（﹣2），1.25．
20．某市在招商引资期间，把土地出租给外地某投资商，该投资商为更好地利用土地，将土地的一部分从原来的正方形改建成的长方形，且其长、宽的比为．
(1)求原来正方形场地的周长；
(2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
21．有一块面积为400平方厘米的正方形纸片．
(1)该正方形纸片的边长为______；
(2)小明想沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？
22．已知，为实数，现规定一种新运算※，满足．
(1)求的值；
(2)任意选择两个实数，，分别计算和，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？
(3)对于实数、、，这种运算※是否满足结合律，请通过计算判断．
23．规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
① ， ；
②若，则 ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，
所以．试解决下列问题：
①计算；
②若，，，请探索，，之间的数量关系．
24．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C C B D B C D C
题号 11 12
答案 C A
1．D
【详解】试题解析：是负无理数，
故选D.
2．A
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】原式=3-1=2，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．C
【分析】根据分数的定义进行判断即可．
【详解】A．﹣4是分数，与要求不符；
B．是分数，与要求不符；
C．是无理数，不是分数，与要求相符；
D．50%是分数，与要求不符．
故选：C．
【点睛】本题考查了分数的定义，掌握知识点是解题关键．
4．C
【分析】无理数是无限不循环小数，观察发现是无理数.
【详解】A. 是有理数，
B. 是有理数，
C. 是无理数，
D. 是有理数
故选：C
【点睛】本题考查无理数的相关概念，解题的关键在于理解无理数是无限不循环小数.
5．B
【分析】依次对各选项与和1的比较可以确定答案．
【详解】解：A．∵-3＜-2，不在与之间，∴A选项错误；
B．，∴B选项正确；
C．∵4＞1，不在-2与1之间，∴C选项错误；
D．∵+2.5＞1，不在-2与1之间，∴D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算有理数以及无理数的大小，对无理数的大小进行估算是解答此题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查实数的大小比较及无理数的估算，正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：；
，；
；
∴，
∴，
∴最小的是，
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了绝对值与偶次方非负性的应用，利用非负性求出a、b的值是解题的关键．
根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，然后再代入计算可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
所以．
故选：B．
8．C
【分析】根据新定义运算的公式计算即可；
【详解】∵a*b = – 2ab，
∴– 3*5；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了实数的新定义运算，准确分析计算是解题的关键．
9．D
【分析】先估计的整数部分，然后即可判断的近似值．
【详解】∵82=64，92=81，
所以8＜＜9，
故选：D．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键在于掌握运算法则.
10．C
【分析】先根据数轴上两点间的距离求出AB，然后根据轴对称的性质求出AC，再求出OC即得答案．
【详解】解：∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B，
∴，
∵点B关于A的对称点是C，
∴，
∴．
即点C表示的数为4－．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴、轴对称的性质以及实数的运算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．
11．C
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【详解】解：无理数有：
，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3），共3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．A
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数；0.是循环小数，属于有理数；3.1415是有限小数，属于有理数；2.3%是分数，属于有理数；
∴无理数只有，010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）共2个．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
13．4725
【分析】按照规定：若为奇数，则；若为偶数，则，直接运算得出、、、、，进一步找出规律解决问题．
【详解】解：，，，，，，，
这一列数按照除外，按照4、2、1三个数一循环，
，
．
故答案为：4725．
【点睛】此题考查实数运算的规律，解题的关键是通过运算得出规律：这一列数按照除外，按照4、2、1三个数一循环．
14．0
【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案.
【详解】解：原式＝﹣1+4﹣3
＝0.
故答案为0.
【点睛】本题考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键.
15．255
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到，，进而得到对只需进行3次操作后变成1，对只需进行4次操作后变成1，据此可得答案．
【详解】解：，，，
，，，，
，， ，
∴对只需进行3次操作后变成1．
，，，，
∴对只需进行4次操作后变成1．
∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是．
故答案为：．
16． 16
【分析】分别根据绝对值以及算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：的绝对值是．
∵，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：，16．
【点睛】此题考查了绝对值的定义、算术平方根的定义，其中利用了一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
17．
【分析】先逐项化简，再进一步计算即可.
【详解】原式=-1-3+1= .
故答案为.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解答本题的关键.
18．(1)1
(2)
【分析】（1）根据有理数加减运算法则计算即可；
（2）先计算乘方、算术平方根，再计算乘除，最后计算减法．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题考查实数的混合运算，求一个数的算术平方根，属于基础题，掌握运算顺序并正确计算是解题的关键．
19．数轴见解析，﹣π＜＜0＜1.25＜﹣（﹣2）
【分析】根据绝对值、相反数、实数在数轴上对应的点、实数的大小关系解决此题．
【详解】，﹣（﹣2）＝2．
﹣π，，0，﹣（﹣2），1.25在数轴上表示如下：
∴﹣π＜＜0＜1.25＜﹣（﹣2）．
【点睛】本题考查了实数在数轴上的表示，实数大小的比较，绝对值与相反数的定义，掌握这些知识是解题的关键．
20．(1)28
(2)够用，理由见详解
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用、实数比较大小等知识，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
（1）先求出原正方形场地的边长，进而求出其周长即可；
（2）设新长方形场地的长和宽分别为，，根据长方形面积公式得到方程，解方程得到新长方形场地的长和宽，则新长方形场地的周长为，再证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵原来正方形场地的面积为，
∴原来正方形场地的边长为，
∴原来正方形场地的周长为；
（2）解：这些铁栅栏够用，理由如下：
设新长方形场地的长和宽分别为，，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴新长方形场地的长和宽分别为，，
∴新长方形场地的周长为，
∵，
∴，
∴这些铁栅栏够用．
21．(1)
(2)裁不出来，理由见解析
【分析】本题考查了平方根的定义，算数平方方根的定义的实际应用；
（1）由正方形的面积，利用算术平方根，即可求解；
（2）设长为，宽为，可求出长方形的长，再与正方形的边长比较，即可求解；
理解定义：“()的平方根为，算术平方根为． ” 是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
()，
故答案：；
（2）解：不能裁出来，理由如下
设长为，宽为，由题意得
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
长方形的长为，
，
裁不出来．
22．(1)
(2)此运算满足交换律
(3)这种运算※不满足结合律
【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义的运算法则．
（1）根据新定义的运算法则即可求出答案；
（2）选择两个实数分别运算，比较其结果，即可判断；
（3）分步计算求出和的值，再做出判断即可．
【详解】（1）解：；
（2）此运算满足交换律
，，
，
，
，
此运算满足交换律；
（3）这种运算※不满足结合律，
、、，
，
，
这种运算※不满足结合律．
23．(1)①2，4 ②
(2)①0 ②
【分析】（1）①根据题目中规定运算求解即可；②根据新规定的运算，可得，进而可得答案；
（2）①根据题中规定进行计算即可；②由已知条件可得，，，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2，4；
②由题意得，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）（2）①
；
②∵，，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、乘方运算等知识，读懂题意，理解新定义的运算是解题关键．
24．（1）答案见解析；（2）284或218．
【分析】（1）M为100a+10b+c，计算M与其“友谊数”的差；
（2）用N的“团结数”与N之差为24列方程，结合a，b是正整数求解.
【详解】解：（1）由题意可得，
设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，
（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）
=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c
=100（a﹣b）+10（b﹣a）
=90（a﹣b），
∵=6(a-b)，
∴M与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）由题意可得，
N=2×100+10a+b=200+10a+b，
N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，
∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，
解得，或.
即N是284或218．
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