6.1函数同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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6.1函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．某电影放映厅周六放映一部电影，当天的场次、售票量、售票收入的变化情况如表所示．在该变化过程中，常量是（ ）
场次 售票量（张） 售票收入（元）
1 50 2000
2 100 4000
3 150 6000
4 150 6000
5 150 6000
6 150 6000
A．场次 B．售票量 C．票价 D．售票收入
3．下列图象中，不是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．小明、小刚两兄弟的家离学校的距离是5km，一天，两兄弟同时从家里出发到学校，小刚以匀速跑步到学校；小明骑自行车出发，骑行一段路程后，因自行车故障，修车耽误了一些时间，然后以比出发时更快的速度赶往学校，结果比小刚早一点到了学校.下列能正确反映两人离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．郑州的宇通公交车数量位列全国之首．某线路一辆公交车每月的乘车人数x（人）与每月利润（每月利润＝每月票款收入 每月支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的票价固定不变）．以下说法错误的是（　　）
x（人） … 1000 2000 3000 4000 5000 …
y（元） … 3000 1000 1000 3000 5000 …
A．在变化过程中，自变量是每月乘车人数
B．在变化过程中，每月的利润是因变量
C．若当月乘客达到2500人时，该公交车不会亏损
D．若当月乘客达到6000人时，该公交车盈利6000元
6．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．小明家、公园、图书馆依次在一条直线上，周末，小明和妈妈准备去公园放风筝，但是因为小明要先去图书馆还书，所以他们同时从家出发，并约定2小时后在公园碰头．小明先骑自行车匀速前往图书馆，到达图书馆还书后按原路原速返回公园并按照约定时间准时到达公园，妈妈则匀速步行前往公园，结果迟到半小时．如图是他们离家的距离y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，下列说法中错误的是（　　）
A．小明骑车的速度是20km/h
B．小明还书用了18min
C．妈妈步行的速度为2.4km/h
D．公园距离小明家8km
8．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（　　）
A．乙的速度为5米/秒
B．乙出发8秒钟将甲追上
C．当乙到终点时，甲距离终点还有96米
D．a对应的值为123
9．甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程y（米）与所用时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．前2分钟，乙的平均速度比甲快
B．5分钟时两人都跑了500米
C．甲跑完800米的平均速度为100米/分
D．甲乙两人8分钟各跑了800米
10．兰州某校春季运动会女子800米比赛中，同时起跑的小桃和小兰所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的关系图象分别为线段和折线，下列说法正确的是（ ）

A．在起跑后50秒时，小兰在小桃的前面 B．小桃的速度随时间的增大而增大
C．小兰的平均速度比小桃的平均速度大 D．在起跑后180秒时，两人相遇
11．依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（ ）
A． B． C． D．
12．小圣骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家，若小圣骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小圣离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则该十字路口与小圣家的距离为（ ）
A．1500米 B．900米 C．750米 D．600米
二、填空题
13．已知函数f（x）=，那么f（3）= ．
14．已知，两地相距15千米，小明步行由地到地，速度为每小时4千米，设小明与地的距离为千米，步行的时间为小时，则与之间的函数关系式为 ．
15．一个正方形的边长为3cm，它的边长减少xcm后，周长变为ycm，则y与x之间的函数关系式为 ．
16．如果点在函数的图像上，那么 ．
17．已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1km气温下降6℃，则该地气温t（℃）与高度h（km）的函数关系式为 ．
三、解答题
18．对于有理数、，定义了一种新运算“※”为：※，如：，．
(1)计算：①________；②_________；
(2)若，且，求的表达式．
(3)若，，且，求的值．
19．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 m 0 2.64 …
其中_______．
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象．
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：__________．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个互不相等的实数根；
②若关于x的方程有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是______．
20．某县从2018年开始实施退耕还林，每年退耕还林的面积如表：
时间/年 2018 2019 2020 2021 2022 2023
面积/亩 360 390 430 520 610 730
(1)从上表可知，随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是什么？
(2)2022年和2023年这两年，该县完成退耕还林的面积共多少亩？
21．通过市场调查，一段时间内某地区某种商品的需求量千克与市场价格元/千克（）之间存在下列关系：
（元/千克） 5 10 15 20
（千克） 4500 4000 3500 3000
又假设该地区该商品在这段时间内的生产量千克与市场价格元/千克成正比例关系：，其中满足，现在不计其他因素影响，如果需求量等于生产量，那么此时市场处于平衡状态．
(1)试通过找点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)根据以上市场调查，请你分析；当市场处于平衡状态时，该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是多少？
22．星期五晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离与散步所用的时间之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段走到邮亭，然后回家了，依据图象回答下列问题：

(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
(2)公共阅报栏离小红家有 ，小红在公共阅报栏看报一共用了 ；
(3)求小红从家走到公共阅报栏的速度和从邮亭返回家的速度．
23．数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境
已知，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，．
实践探究
（1）如图1是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是____________．
（2）如图2是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若，（），的面积为，试求出与之间的关系式．
拓展应用
（3）小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由．

24．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果∠BAD=60°，CD=．
①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）
②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A D D D C D A
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】存在两个变量，，对于自变量在某一范围内的任意一个值，因变量都有唯一确定的值与其对应，那么就称是的函数，据此进行判断即可．
【详解】解：，它符合函数的定义，是的函数，则A不符合题意；
，它符合函数的定义，是的函数，则B不符合题意；
符合函数的定义，是的函数，则C不符合题意；
中当时，有两个值和它对应，不符合函数的定义，不是的函数，则D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的定义，熟练掌握并理解函数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据表格可知，场次、售票量、售票收入中，不变的量是票价，进而根据函数的定义可知票价是常量．
【详解】根据表格数据可知，不变的量是票价，则常量是票价．
故选C．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握常量是不变的量是解题的关键．
3．B
【分析】根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案．
【详解】解：自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，
A、C、D均满足取一个的值，有唯一确定的值和它对应，是的函数，
而B中，对一个的值，与之对应的有两个的值，故不是的函数，
故选：B．
【点睛】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数．
4．A
【分析】根据题意和各个选项中函数图象可以判断哪个选项是正确的，本题得以解决．
【详解】由题意可知，小刚匀速从家去学校，
故小刚对应的函数图象是一条线段，故选项D错误；
小明骑自行车先行一段路程，中途出现故障需要维修，
然后以更快的速度赶往学校，比小刚早到一点到达学校，
故选项B、C错误，选项A正确，
故选A．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．D
【分析】由表格知每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化；由表格分析知，x每增加1000，y增加2000，则x每增加500，y增加1000．逐项判断即可．
【详解】解：由表格分析知，x每增加1000，y增加2000．则x每增加500，y增加1000．
A、由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，自变量是每月乘车人数，故A正确，不符合题意；
B、由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，因变量是每月利润，故B正确，不符合题意；
C、由表格分析知，x每增加500，y增加1000，当每月乘客的达到人时，，该公交车不会亏损，故C正确，不符合意意；
D、由表格分析知，x每增加1000，y增加2000，当每月乘客达到6000人时，该公交车利润为元，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了常量与变量以及函数列表数据分析，正确理解函数的定义是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了反比例关系，熟知反比例关系的定义是解题的关键．
根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫作反比例关系．
【详解】解：A、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
B、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
C、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
D、，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意；
故选D．
7．D
【分析】根据小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，求出小明骑车的速度判断A选项；根据小明还书用了0.3小时判断B选项；设妈妈的速度为a千米/小时，根据小明走的路程+妈妈走的路程＝20×2列出方程求出方程的解来判断C选项；根据妈妈的速度×妈妈所用的时间求公园距离小明家的距离来判断D选项．
【详解】解：观察图象可知，小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，小明骑车的速度是20千米/小时，故A选项不符合题意；
1.3﹣1＝0.3（小时）＝18（分），故B选项不符合题意；
设妈妈的速度为a千米/小时，根据小明走的路程+妈妈走的路程＝20×2得：2.5a+20×（2﹣1.7）＝20×2，解得a＝2.4，故C选项不符合题意；
2.4×2.5＝6（千米），故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，求出妈妈的速度是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以判断出各个选项的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），故选项A正确；
甲的速度为：8÷2＝4（米/秒），
设乙出发x秒将追上甲，
5x＝8+4x，得x＝8，故选项B正确；
当乙到终点时，甲距离终点还有：500﹣（100+2）×4＝92（米），故选项C错误；
a＝500÷4﹣2＝125﹣2＝123，故选项D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是明确题意，明确题意结合图象是解题关键．
9．D
【分析】根据函数图象可以判断各选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】A、前2分钟，乙跑了300米，甲跑的路程小于300米，从而可知前2分钟，乙的平均速度比甲快，故选项A正确；
B、由图可知，5分钟时两人都跑了500米，故选项B正确；
C、由图可知，甲8分钟跑了800米，可得甲跑完800米的平均速度为100米/分，故选项C正确；
D、由图可得，甲8分钟跑了800米，乙8分钟跑了700米，故选项D错误；
故选D.
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是利用数形结合的思想判断选项中的说法是否正确.
10．A
【分析】由图可知在起跑后50秒时，小兰在小桃的前面，即可判断A；由图可知，小桃的路程随时间的增大而匀速增大，速度不发生变化，即可判断B；用总路程分别除以小兰和小桃所用时间，求出两人的速度，即可判断C；由图可知，两人相遇在50秒后，180秒前，即可判断D．
【详解】解：A、由图可知，当时，，即在起跑后50秒时，小兰在小桃的前面，故A正确，符合题意；
B、由图可知，小桃的路程随时间的增大而匀速增大，速度不发生变化，故B不正确，不符合题意；
C、小兰的平均速度（米/秒），小桃的平均速度（米/秒），∴小兰的平均速度比小桃的平均速度小，故C不正确，不符合题意；
D、由图可知，两人相遇在50秒后，180秒前，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确识图，根据图象获取需要数据．
11．C
【分析】据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
依依放学后以一定速度匀速步行回家这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小；
依依在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变；
然后依依提高了速度继续匀速步行回家，所剩路程随着时间的增加而减小，且减小的速度比遇到了同学前的速度快．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据题意判断出函数图象．
12．B
【分析】根据函数图象可知5分钟骑行1500米，可求出速度，求出2分钟行驶的速度，即可得出答案．
【详解】根据图象可知小圣行驶6分钟，等红灯1分钟，即5分钟行驶来了1500米，得小圣的骑行的速度是（米/分）．
小圣从离家1500米的学校出发，骑行了2分钟到达十字路口，骑行了（米），
所以十字路口离家的距离是（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，根据图象求出骑行的速度是解题的关键．
13．
【分析】把x=3代入函数关系式，计算求值即可．
【详解】当x=3时，f（3）==．
故答案为
【点睛】本题考查求函数值．题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．
14．y=15-4x
【分析】根据小明步行的路程与小明离B地的距离之和为15，再由路程、速度、时间的关系即可求得y与x的函数关系式．
【详解】由题意，小明x小时步行的路程为：4x(千米)，则4x+y=15
∴y=15-4x
故答案为：y=15-4x．
【点睛】本题考查了函数关系的确定，明确题意，抓住等量关系式：小明步行的路程+小明与B地的距离=15是关键．
15．y=12-4x
【分析】根据正方形的周长公式列函数关系式即可．
【详解】解：一个正方形的边长为3cm，它的边长减少xcm后，成为了边长为（3-x）cm的正方形，
∴y=4（3-x）=12-4x．
故答案为：y=12-4x．
【点睛】此题考查了列函数关系式，正确掌握正方形周长的计算公式是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了求函数值，根据“点在函数的图像上”，求出当自变量为时的函数值即可，熟练掌握求函数值是解题的关键．
【详解】解：∵点在函数的图像上，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】根据题意得到每升高1km气温下降6℃，由此写出关系式即可．
【详解】∵每升高1km气温下降6℃，
∴气温t（℃）与高度h（km）的函数关系式为t=﹣6h+20，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数关系式，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．
18．(1)8，
(2)
(3)20
【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；
（2）由，判断出，根据新定义的运算得出※2的值，进而得出函数关系；
（3）确定，的大小关系，再根据新定义的运算求出的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：①2※；
②※；
故答案为：8，；
（2），
，
※，
※，且，的表达式为；
（3）
，
则无论取何值，恒有，即，
※，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了新定义运算，函数表达式，理解新定义运算是正确解答的前提．
19．(1)
(2)见解析
(3)见解析
(4)①2，2；②
【分析】本题考查了函数值的计算，描点法画函数图象，图象的性质，图象与x轴的交点，熟练掌握所学相关知识是解题的关键．
（1）求当时的函数值即可．
（2）按照自变量从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接起来即可．
（3）结合函数的图象，根据自变量的属性，分段描述性质即可．
（4）根据图象与x轴的交点、函数的图象的最高点和最低点可得出结论．
【详解】（1）解：当时，
．
故答案为：．
（2）解：根据列表，描点，画图象如下：
（3）解：观察函数图象，
当或时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小；
故答案为：当或时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
（4）解：①观察函数图象，
函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个互不相等的实数根；
故答案为：2，2；
②由图象可知，当时，直线与函数图象有3个交点，
a的取值范围是，
故答案为：．
20．(1)随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是逐年增加．
(2)亩
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系．
（1）根据表格数据规律即可得出结论；
（2）由表格数据求和即可．
【详解】（1）解：从上表可知，随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是逐年增加．
（2）（亩，
答：2022年和2023年这两年，该县已完成退耕还林的面积是亩．
21．(1)画图见解析，
(2)该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是10元/千克，40000元
【分析】（1）先再坐标系中描点，再结合表格中的数据进行求解即可；
（2）根据题意可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格中的数据结合函数图象可知市场价格每千克增加5元，则需求量降低500千克，
∴；
（2）解：由题意得，，
解得，
∴，
∴这段时间内的总销售收入是元，
答：该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是10元/千克，40000元．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确根据表格和函数图象求出对应的函数关系式是解题的关键．
22．(1)散步所用的时间t，散步过程中离家的距离s
(2)，
(3)；
【分析】本题考查了函数的定义，从函数图像获取信息；
（1）根据函数的定义可得自变量是散步所用的时间t，因变量是散步过程中离家的距离s．
（2）根据函数图象即可求解；
（3）根据路程除以时间，即可求解．
【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是散步所用的时间t，因变量是散步过程中离家的距离s．
故答案为：散步所用的时间t，散步过程中离家的距离s；
（2）结合图象的纵轴可知，公共阅报栏离小红家有；
小红在公共阅报栏看报一共用了：（）；
故答案为：，；
（3）小红从家走到公共阅报栏的速度为：（）；
从邮亭返回家的速度为：（）．
23．（1）；（2）；（3）或10
【分析】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）由证明可得出的数量和位置关系；
（2）证明，得出，证明，得出，求出结果即可；
（3）分两种情况分别画出图形，求出的长即可．
【详解】（1）解： ，
，，
在与中
，
，
故答案为：；
（2）∵，
，，
．
在和中，
，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）当点在上时，如图，

由（1）可知，
，
；
当点在延长线上时，如图，

由（2）可知，，
，
；
综上所述，或10．
24．（1）见解析；（2）①；②．
【分析】（1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可；
（2）①分别求出AO，EO和CO的长，再根据三角形面积公式求解即可；
②先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．
【详解】（1）证明：连接AC，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
在Rt△ACD和RT△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（HL），
∴∠CAF=∠CAE，
在△CAF和△CAE中，
，
∴△CAF≌△CAE(SAS)，
∴CE=CF；
（2）①设AC与EF交于点O，
∵AE=AF，∠BAD=60°
∴△AFE是等边三角形，
由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，
∴AC⊥FE，
∵AF=x，
∴EF=x，FO=，AO=，
∵∠ADC=90°，∠CAF =30°，CD=，
∴AC=，
∴CO=-，
∵，
∴；
②作FH⊥EC于H，
∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，
∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，
∴AC=2CD=4，AD=，
∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，
由（2）①可得：当AF=2时，S△EFC=，
又∵S△EFC=CE FH，
∴3=×2FH，
∴FH=，
∴△CEF的边CE上的高为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．
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