6.5一次函数与二元一次方程同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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6.5一次函数与二元一次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数与函数的交点坐标是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将沿x轴翻折得到，使点B刚好落在y轴正半轴的点C处，过点C作交于点D，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
3．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
4．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移4个单位，平移后的图象与函数的图象的交点恰好在第四象限，则b的最大整数值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．在平面直角坐标系中，以方程2x﹣3y＝6的解为坐标的点组成的图形是（　　）
A． B．
C． D．
8．设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（　　）
A． B． C．1 D．3
9．已知方程的解是，则直线和的交点坐标为（ ）．
A． B． C． D．
10．两个二元一次方程在平面直角坐标系中对应的直线如图所示，则由这两个二元一次方程组成的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
12．若一次函数与的图象交点在第一象限，则m的取值范围是（　　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
13．如图，直线：y=ax（a≠0）与：y=kx+b（k≠0）相交于点A则关于x，y的二元一次方程的解为 ．
14．已知直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
15．如图，函数和的图象交于点，那么关于，的二元一次方程组的解为
16．已知二元一次方程组 的解是 则在同一平面直角坐标系中，直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为 ．
17．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ．
三、解答题
18．如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点．
(1)求点的坐标．
(2)若点在直线上，且，求点的横坐标．
19．已知一次函数的图象经过点和．

(1)求此函数的解析式，并画出图象．
(2)求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积．
20．甲、乙两人分别驾驶充电汽车和燃油汽车从A地前往B地，他们的行驶路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲在中途因充电停止了一段时间）．
(1)甲、乙两人， 先到达B地；甲在充电之前的速度为 千米/时；
(2)若甲充完电后以原来速度的两倍继续行驶，则甲充电多少小时？
(3)在（2）的条件下，从甲、乙两人首次距A地距离相等开始，到甲到达B地结束，在这段时间内两人何时相距30千米？
21．P、Q两地相距，甲和乙都由P地出发去Q地，甲骑自行车出发小时后，乙乘汽车以的速度出发．如图为甲，乙两人离开P地的路程分别与甲出发时间的图象．
(1)解释图中点A的实际意义；
(2)求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)甲和乙何时相遇？
22．甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留半小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)求甲、乙两车的速度；
(2)求乙车从B地返回的C地的过程中，y与x之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两车行驶到距离B地的路程相等时，行驶时间x是多少？（请直接写出x的值）
23．根据以下素材，探索完成任务．
有趣的迭代函数
素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即．
素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点．
问题解决
任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标．
任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大．
任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
24．（1）知识再现：
如图1，在中，，顶点C在直线l上．过点A、B分别作于点D，于点E，求证：．
（2）活动探究：
我们知道，在平面直角坐标系中，点的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连线、验证；②类比解方程组的消元法，即设，，用消元法可求得y与x的关系，即可以知道点N在什么函数的图象上．
请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点是否在某一个函数图象上？请说明你的判断理由．
（3）拓展应用：
如图2，在直角坐标系中，点轴于点A,轴于点C,P是线段上的一个动点，第一象限内的点Q是直线与直线的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，求a的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D B B B A B D
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】联立方程组求解即可．
【详解】解：
解得
故函数与函数的交点坐标是
故选：A．
【点睛】本题考查了求两个一次函数的交点问题，解题的关键是正确的解出方程组的解．
2．A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，先求出点B的坐标为，点A的坐标为，根据勾股定理求出，根据折叠得出，求出，再求出的长即可．
【详解】解：当时， ，
∴点B的坐标为；
当时，，
解得，
∴点A的坐标为．
在中，，
．
由折叠可知，，
．
，
．
故选：A．
3．B
【分析】根据点的坐标特征求得图象与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：一次函数,
当x=0时，y=6；
当y=0时，x=3．
∴图象与坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)，
∴图象与两坐标轴围成的三角形的面积为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴围成的图形的面积，三角形面积，熟练掌握利用点的坐标表示图形的面积是解题的关键．
4．D
【分析】由二元一次方程组的解对应两个方程所表示的一次函数的交点坐标，从而可得答案．
【详解】解：方程组的解为，
直线与直线的交点坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与两个一次函数的交点坐标之间的联系，掌握“二元一次方程组的解是这两个方程对应的一次函数的交点坐标”是解题的关键．
5．B
【分析】根据平移规律求出平移后的解析式，然后联立方程，分别用b表示出x和y的值，然后根据第四象限点的坐标特征列出不等式即可求出结论．
【详解】解：将函数的图象向下平移4个单位后的解析式为
联立
解得：
∴直线和的交点坐标为（，）
由题意可得
解得：-5＜b＜10
∴b的最大整数值为9
故选B．
【点睛】此题考查的是一次函数的平移问题和求两个一次函数图象交点问题，掌握一次函数的平移规律和联立方程，求两个一次函数图象交点坐标是解题关键．
6．B
【详解】试题分析：先把与组成方程组求得交点坐标，即可作出判断.
由解得
所以函数的图象与函数的图象的交点在第二象限
故选B.
考点：点的坐标
点评：平面直角坐标系内各个象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.
7．B
【分析】将方程转换成，找出直线与坐标轴的交点，即可确定以方程的解为坐标的点组成的图象．
【详解】解：由可得，
，
当时，，
∴直线与y轴的交点为；
当时，，
∴直线与x轴的交点为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程在坐标轴中的图象问题，理解题意，将二元一次方程进行变形是解题关键．
8．A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6，
∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）；
当y=0时，5x+6=0，解得：x=，
∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（，0），
当x=0时，y=6×0+6=6，
∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）；
当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，
∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）．
∴S5=BD OA=×|-1-（）|×6=，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
9．B
【分析】把代入直线解析式求出y的值即可得到交点坐标．
【详解】解：∵是方程的解，
∴把代入，得．
∴交点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．D
【分析】根据用图象法解二元一次方程组时的方法，找出交点坐标即可完成．
【详解】观察图象可知两条直线的交点坐标为（1，3），
故方程组的解为，
故选D．
【点睛】两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，所以是方程组的解．
11．A
【分析】
本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中与的值为方程组的解．由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】
解：由图象可得直线与直线交点坐标是，
方程组解为，
故选：A
12．A
【分析】利用两直线相交的问题，通过解方程组得两直线的交点坐标，再利用第一象限点的坐标特征得到不等式组，即可求出m的取值范围．
【详解】解：由题意可得：
，解得：，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：-9＜m＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，各象限内的坐标特点，解题的关键是根据函数表达式求出交点坐标．
13．
【分析】根据两条直线的交点坐标，即可解答．
【详解】解：根据图象可得，
关于x，y的二元一次方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，两条直线的交点坐标可看作将这两条直线解析式联立形成的二元一次方程的解，熟知上述概念是解题的关键．
14．
【分析】首先将点P（2，b）代入直线l1：y＝x＋1求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线y=x+1经过点P（2，b），
∴b=2+1，
解得b=3，
∴P（2，3），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
15．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
【详解】解：∵函数和的图象交于点，，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
16．（3，﹣2）
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系即可求解.
【详解】解：联立 ， 上式化为 ，
∴方程组的解为 ，
∴直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为（3，﹣2）
故答案为（3，﹣2）
【点睛】此题主要考查函数与方程，解题的关键是发现两函数与方程组的特点.
17．
【分析】先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
解得，
∴，
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
18．(1)，,
(2)点的横坐标为或．
【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题；
（1）联立直线解析式求得的坐标，分别令，得出的坐标；
（2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
解得：，
∴，
∵直线分别与轴，轴交于点，点．
当时，，当时，，
∴,；
（2）解：设，
∵，
∴，
即，
解得：或，
∴点的横坐标为或．
19．(1)，图象见解析
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，然后用描点法画出一次函数图象；
（2）先求出一次函数图象与坐标轴的两交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意得，解得，
所以一次函数解析式为，
函数图象，如图所示，

（2）直线与坐标轴相交于、两点，如图，
当时，，当时，，
则，，即：
所以，
即函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积及画函数图象．
20．(1)甲，50
(2)2小时
(3)当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握从函数图象获取信息和待定系数法求一次函数解析式是关键．
（1）依据题意，由图象可得，甲先到达地；再设乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，结合过，，求出乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，再令，则，结合图象可得甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系图象过，再设甲在充电前的函数为，求出关系式即可判断得解；
（2）依据题意，根据图象可得，甲充电的时间为：（小时），进而可以判断得解；
（3）依据题意，设甲在充电后的函数关系式为，又过，，进而求出甲在充电后的函数关系式为，再结合图象当时，甲乙首次距距离相等，然后联列，求出的横坐标为5.5，又行驶小时，两人相距30千米，从而分当时、当时、当时和当时进行讨论计算可以得解．
【详解】（1）解：由图象可得，甲先到达地．
由题意，设乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，
又过，，
．
．
乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为．
令，则．
甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系图象过，
又设甲在充电前的函数为，
．
．
甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为．
甲在充电前的速度为（千米小时）．
故答案为：甲；50．
（2）解：由题意，根据图象可得，甲充电的时间为：（小时）．
（3）解：由题意，设甲在充电后的函数关系式为，
又过，，
．
．
甲在充电后的函数关系式为．
又结合图象当时，甲乙首次距距离相等．
联列，
．
的横坐标为5.5．
设行驶小时，两人相距30千米，
①当时，
．
．
②当时，
．
．
③当时，
．
．
④当时，
．
．
综上，当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米．
21．(1)乙在甲出发小时后，离开P地；
(2)的解析式为，自变量取值范围是；
(3)甲出发2小时后甲和乙相遇．
【分析】此题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获正确信息是解题的关键．
（1）甲骑自行车出发小时后，乙乘汽车以的速度出发．据此即可得到点A的实际意义；
（2）先求出，利用待定系数法求出函数解析式，并写出自变量的取值范围即可；
（3）利用待定系数法求出的解析式，联立和的解析式，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，甲骑自行车出发小时后，乙乘汽车以的速度出发．则点A的实际意义是：乙在甲出发小时后，离开P地；
（2）解：由题意可得，
∴
设的解析式为
∵经过
解得，
∴的解析式为，自变量取值范围是
（3）解：设的解析式为，由图可知，经过
∴
解得，
∴的解析式为
解方程组
解得，
∴甲出发2小时后甲和乙相遇·
22．(1)甲的速度为120千米/小时，乙的速度为80千米/小时
(2)乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式为
(3)当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，行驶时间x是4.7小时或6.5小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，观察函数图象结合数量关系，列出相关函数关系式是解题的关键．
（1）由已知图象求出甲、乙的速度．
（2）根据图象上的点先求出乙车从地返回到地的函数解析式，
（3）求出甲车从地到地的函数解析式和甲车从地到地的函数解析式，结合（2）列方程组即可解得答案．
【详解】（1）解：由已知图象得：甲的速度为：（千米小时），
乙的速度为（千米小时）；
（2）解：设乙车从地返回到地的函数解析式是，
乙的速度为80千米小时，
乙到地的时间是（小时），
到达地并在地停留半小时后，按原路原速返回到地，
返回是在（小时）出发的，
图象经过，两点．
，
解得：，
，
答：乙车从地返回到地的过程中，与之间的函数关系式为；
（3）解：甲车的速度是120千米小时，
∴甲车到达地需要5小时，即甲车对应图象经过点，
甲车从地到地的函数解析式是，
甲车从地到地的函数解析式是，
由和，
解得 或，
答：当甲、乙两车行驶到距地的路程相等时，行驶时间是4.7小时或6.5小时．
23．任务：，
任务：证明见详解．
任务：，证明见详解．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
任务：根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标．
任务：根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明随的增大而增大．
任务：联列函数和它的迭代函数，即可求出点，故若点的坐标为时，则有．
【详解】任务：解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联列可得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为．
任务：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，随的增大而增大．
任务：．
证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，
联列可得：，
解得：，
即点坐标为，
∴若点的坐标为时，则的数量关系为．
24．（1）见解析；（2）符合点M在直线上；（3）或
【分析】（1）利用“”证明即可；
（2）方法一：画出图象，根据图象即可发现这些点在同一直线上，利用待定系数法求解即可；
方法二：设，，用消元法可求y与x的表达式；
（3）求得Q点坐标，可得点在直线上，分两种情况：通过证得三角形全等，得出关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
．
在与中，
，
．
（2）解：点在的图象上．
方法一：
列表：
… 0 1 2 3.5 …
… 0 1 2.5 …
… …
描点：如图
连线：如图
通过描点观察发现这些点在同一直线上，
设一次函数的解析式为，取点和点代入，
得，解得，
所以y和x的函数关系式为，
验证：当时，，
所以符合点M在直线上．
方法二：
∵，
∴，
∴．
∴y和x的函数关系式为．
∴符合点M在直线上．
（3）解：由，得，
所以点．
由题可知以A、P、Q、R为顶点的四边形是以为对角线正方形有两种情形．
（1）情形一：
点Q在线段下方，如图，
因为四边形是正方形，所以，
过Q作直线轴于点M，交线段与点N，同理（1）得，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）情形二：
点Q在线段上方，如图，因为四边形是正方形，所以，
过Q作直线轴于点M，交所在直线于点N，
同理（1）得，
所以，因为，
所以，所以．
综上或．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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