第二章轴对称性同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二章轴对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
2．小丽从笔袋中拿出下列四件学习用具，从总体外形上看，一定不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，等边三角形的边长为6，是边上的中线，F是边上的动点，E是边上的一点，若，当取最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）
A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处
C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处
7．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE，若∠D=75°，则∠B的数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
8．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
10．在等腰中，，则的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
11．如图在中，垂直平分，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知将沿所在直线翻折，点B恰好与上的点C重合，对折边，折痕也经过点C，则下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④；
A．只有①②正确 B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD= ．
14．如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为 ．

15．如图，在中，，点E在的延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为 ．
16．已知O为三边垂直平分线交点，，则 ．
17．如图，，，与关于直线对称，则 ．
三、解答题
18．在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，求的长．（提示：过点作，垂足为．）
19．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在中，．
求证：__________．
证明：如图，由于，故在边上截取，连接连接．（在上图中补全图形）
∵
∴___________，（________________）（填推理的依据）
∵是的外角
∴（________________________）（填推理的依据）
∴
∴
∵
∴
∴_____________．
20．如图，中，，．
(1)尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的基础上，证明：．
21．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
任务一：了解风筝
“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________．
A． B． C． D．
任务二：设计风筝
设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．
任务三：制作风筝
传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．
任务四：放飞风筝
同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：
同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________．
22．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，其中，则购买这种草皮至少需要多少元．
23．已知，等边中，点D在上，点E在上，且，，交于点F．
(1)如图1，①求证：；②求的度数；
(2)如图2，过点E作于G，请写出，和的数量关系，并说明理由．
24．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，CE=BF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D B D B A B C
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；接下来结合轴对称图形的概念对每个选项中的图形进行分析即可得到答案.
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念:如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形关于这条直线对称(轴对称),两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点,这条直线就是对称轴.
2．C
【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：A．是轴对称图形，故不符合题意；
B．是轴对称图形，故不符合题意；
C．不是轴对称图形，故符合题意；
D．是轴对称图形，故不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
4．D
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图1，三角形是锐角三角时，

∵，
∴顶角；
如图2，三角形是钝角时，

∵，
∴顶角，
综上所述，顶角等于或．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
5．B
【分析】根据对称性和等边三角形的性质，作于点，交于点，此时，最小，进而求解．
【详解】解：如图：过点作于点，交于点，连接，
是等边三角形，边长为6，
∴，
，
，
，
是等边的边上的中线，
，，
．，
，
即当时，取最小值，
∴当取最小值时，则的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点和的位置．
6．D
【分析】根据题意知，超市应该是△ABC的内心，即该三角形的内角平分线的交点．
【详解】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，
∴该超市是△ABC的内心，
∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，再利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】解：∵CD=CE，
∴∠D=∠CED=75°，
∴∠DCB=180°-∠D-∠CED =180°-75°-75°=30°，
∵CD∥AB，
∴∠B=∠C=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．A
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
9．B
【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【详解】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键．
10．C
【分析】根据等腰三角形的定义，分 是顶角还是底角3种情况进行讨论分析确定答案．
【详解】当是顶角时， 和是底角， ，
当和是底角时，是顶角，，
当和是底角时，是顶角，．
所以不可能是．
故选：C．
【点睛】考查等腰三角形的定义，确定相等的底角，注意分情况讨论，分类不要漏掉情况．
11．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选：C．
12．D
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形面积计算，根据折叠的性质可得，，，据此可判断①②③；根据三角形面积计算公式可得，据此可判断④．
【详解】解：∵将沿所在直线翻折，点B恰好与上的点C重合，
∴，，
∴，故①正确，
∵对折边，折痕也经过点C，
∴，
∴，故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴故④正确，
∴①②③④正确，
故选D．
13．8
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
【详解】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°-60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
14．
【分析】延长交于，由垂直的定义得到，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理得到，推出，由等腰三角形的性质推出，于是得到，，即可得到的面积．
【详解】解：如图，延长交于，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出．
15．7
【分析】根据△ABC中，AB=AC，EP⊥BC，可以得到∠E=∠EFA，然后根据角相等得出边相等即可求得答案．
【详解】解：在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：7．
【点睛】此题是等腰三角形的性质，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
16．/160度
【分析】连接，由点O为三边垂直平分线交点得到，可得，即可得到，由三角形内角和定理得到，即可得到的度数．
【详解】解：连接，
∵点O为三边垂直平分线交点，
∴，
∴都是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，根据题意得到是解题的关键．
17．/90度
【分析】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键．
先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数．
【详解】解： 与关于直线对称，
∴，
，
，
．
故答案为：．
18．2
【分析】本题考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，过点作，垂足为，先根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得，然后利用等腰三角形的三线合一性质得即可求解．添加辅助线是解答的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
，又，，
，
，
，
，，
，
．
19．：∠ABC＞∠C；ADB；等边对等角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；∠ABC＞∠C．
【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质解决问题即可．
【详解】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：∠ABC＞∠C．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C＋∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C，
∵∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴∠ABC＞∠C．
故答案为：∠ABC＞∠C；ADB；等边对等角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；∠ABC＞∠C．
【点睛】本题考查作图 应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，
（1）分别以点A，B为圆心，大于为半径画弧，分别相交于点E，F，连接，即可得；
（2）连接，根据，得，根据垂直平分，得，计算得，则，可得，即可得；
掌握尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．任务一：C；任务二：见解析；任务三：60；项目反思：见解析
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断；
任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；
项目反思：结合以上任务即可解决问题．
【详解】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
任务二：如图所示，即为所求；

任务三：，，
，
竹条的长为，
故答案为：60；
项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
22．元
【分析】本题考查30°直角三角形的性质，掌握这点是求出面积的和售价的关键．延长，再由B点作延长线的垂线，可得高，再用底乘高除以二求得面积，再求出这片草皮的售价．
【详解】解：延长，再由B点作，交延长线于点，如图
，
，
，
∴
∴购买这种草皮至少需要元
答：购买这种草皮至少需要元．
23．(1)①见解析；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①利用等边三角形的性质和已知条件，根据证明；②利用全等三角形的性质、三角形外角的性质可证，进而可得的度数；
（2）利用全等三角形的性质可得，再证，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得．
【详解】（1）解：①证明如下：
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
；
②，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是利用全等三角形的性质进行等量代换．
24．（1）见详解；（2）75°．
【分析】（1）先证明∠B=∠C，CF=BE，再证明△ABE≌△CDF，即可证明AB=CD；
（2）先证明∠C=30°，再证明CD=CF，根据等边对等角即可求解．
【详解】解：∵AB//CD，
∴∠B=∠C，
∵CE=BF，
∴CE+EF=BF+EF，
即CF=BE，
在△ABE和△CDF中，
,
∴△ABE≌△CDF，
∴AB=DC；
（2）∵∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵AB=CD，AB=CF，
∴CD=CF，
∴∠D=∠CFD=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)