第三章勾股定理同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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第三章勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196，则AB长为（ ）
A．13 B．14 C．16 D．无法确定
2．设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，若，，则（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
3．如图，是四根长度均为5的火柴棒，均位于一条不完整的数轴上方．若点、点分别对应实数，且，则点所对应的实数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）8，15，17；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
5．以下各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，6，6 B．6，7，8 C．6，8，9 D．6，8，10
6．在下列条件中，不能判断为直角三角形的条件是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，已知，，，要在长方体上系一根绳子连接，绳子与交于点，当所用绳子最短时，的长为（ ）
A．8 B． C．10 D．
8．以下列数组为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6
C．6，8，10 D．5，12，13
9．已知在△ ABC 中， AB ＝ 8 ， BC ＝ 15 ， AC ＝ 17 ，则下列结论错误的是 （ 　　 ）
A．△ ABC 是直角三角形，且∠ B ＝ 90° B．△ ABC 是直角三角形，且∠ A ＝ 60°
C．△ ABC 是直角三角形，且 AC 是它的斜边 D．△ ABC 的面积为 60
10．以下列选项中的数为长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．8，15，17 B．4，6，8 C．3，4，5 D．6，8，10
11．如图，是的中线，若，，则的值是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
12．以下列各组数为边长的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．1，2， C．3，4，5 D．6，8，12
二、填空题
13．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上．
(1)线段的长等于 ；
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
14．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB=2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD=1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应门自动打开，则AD= 米．
15．在平面直角坐标系中，已知y轴上一点，A为x轴上的一动点，连接，以为边作等边如图所示，连接，则的最小值是 ．
16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是 ．
17．如图，在等边中，，，则的长为 ．
三、解答题
18．1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．

(1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：________；方法2：________．
(2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
19．在如图的正方形网格中，若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）在下列各数中，任意选取三个无理数，并判断这三个数为边长的线段能否组成一个直角三角形，请直接写出所有能构成直角三角形的三边对应的无理数；
、 、 、 、 、 、 、；
（2）在解决（1）的问题时，你所运用的定理名称是 ．
A． 勾股定理 B． 勾股定理逆定理
（3）在下面方格上画出（1）中你所确定的一个直角三角形，并且顶点都在格点上．
20．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6米，即米．此时秋千踏板离地面的垂直高度米．那么，绳索的长度为多少米？
21．如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等．
(1)求证：；
(2)若两个滑梯的长度，右边滑梯的高度，由于太陡，在保持的长度不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．若点E向下移动的距离为，求滑梯底端F向右移动的距离；
(3)在（2）的移动过程中，直接写出面积的最大值为 ．
22．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？
23．我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．
(1)如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明．
(2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
24．已知与都是等腰直角三角形，与均为斜边．如图，B，D，F在同一直线上，过F作于点F，取，连接交于点H，连接．
(1)求证：；
(2)请判断的形状，并给予证明；
(3)请用等式表示线段，，的数量关系，不必说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A D C C B B B
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196，
∴，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴AB=14，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确理解题意得到是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得：．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查求数轴上点对应的实数，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过点作于，过点作于，如图所示，利用等腰三角形性质得到相关角与边的关系，再由全等三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理求出即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示：
，
，
是四根长度均为5的火柴棒，
、是等腰三角形，
，，
由等腰三角形三线合一可得，，且，
，
在和中，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
，即点所对应的实数为，
故选：C．
4．A
【分析】能否构成直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：（1），能构成直角三角形；
（2），能构成直角三角形；
（3），能构成直角三角形；
（4），能构成直角三角形．
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．D
【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形；
B、，不能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形；
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用．如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．
6．C
【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，灵活运用直角三角形的定义及勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴
∴是直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
D、，
∴是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
7．C
【分析】将长方体的侧面展开图画出来，然后利用两点之间线段最短即可确定最短距离，再利用勾股定理即可求出最短距离．
【详解】将长方体的侧面展开，如图,此时AG最短
由题意可知
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查长方体的侧面展开图和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理，判断三角形是否是直角三角形即可．掌握常见的勾股数，可以快速解题．
【详解】解：A、，能构成直角三角形；
B、，不能构成直角三角形；
C、，能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形；
故选B．
9．B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再根据直角三角形的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，
∴AB2+BC2=82+152=AC2=172，
∴△ABC是直角三角形，AC为斜边，
∴A、C正确；
∵△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=×8×15=60，故D正确；
根据三角形三边关系判断∠A≠60°，故B错误
故选：B
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，根据题意判断出△ABC的形状是解答此题的关键．
10．B
【详解】试题解析：A. 故是直角三角形，故错误；
B. 故不是直角三角形，正确；
C. 故是直角三角形，故错误；
D. 故是直角三角形，故错误.
故选B.
点睛：如果三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
11．A
【分析】由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可求解．
【详解】解：是的中线，，，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．D
【分析】利用勾股定理的逆定理依次判断即可．
【详解】解：A、，
1，2，能组成直角三角形，符合题意；
B、，
1，，2能组成直角三角形，符合题意；
C、，
3，4，5组成直角三角形，符合题意；
D、，
6，8，12不能组成直角三角形，不合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形；正确利用勾股定理的逆定理并正确计算是解答本题的关键．
13．(1)；
(2)见解析．
【分析】（）根据网格特征即勾股定理即可求解；
（）先作，再作即可；
本题考查了作图，勾股定理，格点图形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）由网格可知：，
故答案为：；
（2）如图，
取格点，连接；
取格点，，连接与相交，得交点，
∴点即为所求：
14．1.5
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则DE=BC=1.2米，BE=CD=1.8米，利用勾股定理求出AD即可．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE=BC=1.2米，BE=CD=1.8米，
在Rt△ADE中，AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9米，AD2=AE2+DE2，
∴AD=米，
故答案为：1.5．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
15．3
【分析】作等边△BOD，构造出△BAO≌△BCD，从而得到∠BDC＝∠AOB＝90°，找到点C的运动轨迹为直线CD，延长BD交y轴于点B′，利用已知条件可证明直线CD就是线段BB′的中垂线，从而BC+OC=B'C+OC，而O、C、B'三点共线时，B'C+OC的值最小，最小值为OB'的长．
【详解】解：如图所示，在第二象限以OB为边长作等边△BOD，连接OD，并作直线BD，延长BD交x轴于点B'．
∵等边△ABC、等边△BOD
∴AB＝BC，BO＝BD，∠CBA＝∠OBD＝60°
∴∠OBA＝∠CBD
在△BAO和△BCD中
∴△BAO≌△BCD（SAS）
∴∠AOB＝∠BDC＝90°
∴CD⊥BD
∴点C随着点B的运动形成的图形是直线CD
∵∠BOB'＝90°，∠OBD＝60°
∴∠BB'O＝30°
∴OB＝BB'
∴BD＝OB＝BB'
∴点D是BB'的中点
∵CD⊥BD
∴CD是BB'的中垂线
∴BC＝B′C
∴BC+OC＝B'C+OC
又∵点C在直线CD上运动，所以点O、C、B'三点共线时，B'C+OC的值最小，最小值为OB'的长．
在R△BOB'中，∠BOB'＝90°，∠OBD＝60°，OB＝,
BB'=2，OB′＝，
∴BC+OC的最小值为3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C的运动轨迹是关键．
16．19
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形的面积和即为最大正方形G的面积．
【详解】设正方形A，B，C，D，E，F，G的边长分别为，
正方形A，B，C，D的面积分别为，
根据正方形的面积公式得：，
正方形A，B的边长正好是直角三角形的两条直角边，
由勾股定理可得：，
正方形E的面积为：，
同理可得正方形F的面积为：，
同理可得正方形G的面积为：，
故答案为：19．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即为最大正方形面积．
17．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点D作，证明，可得，在中，根据直角三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理可
，即可求解．
【详解】解：过点D作，
∵为等边三角形
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．
故答案为：
18．(1)；
(2)见解析
【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
（2）由（1）可得，即可．
【详解】（1）解：由题得：梯形面积为；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
故答案为：；
（2）解：由（1）得：，
即．
【点睛】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键．
19．（1）、 、或、、或、、；（2）B；（3）（1）中的三组数中，只有以、、为边的直角三角形能在网格中画出使其顶点为格点，图见解析．
【分析】（1）先从所给各数中找出无理数，选出三个一组，找得所有的分组．然后对每一组的三个数先平方，再排序，最后计算较小的两个数的和是否等于最大的那个数，若相等，则这组数就能构成直角形角形，否则不能构成直角三角形．用上述方法到每一组，从而找出所有符合条件的三个无理数；
（2）据“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的含义及区别作答；
（3）先据“勾股定理”在网格中画出能构成能直角三角形的三个数为长度的线段，再适当变动其位置就可画出（1）中所确定的直角三角形．
【详解】（1）在所给的这列数中：
∵，，
∴，不是无理数；
∵2、5、8、10、15、20都是开平方开不尽的数
∴、 、 、 、 、 都是无理数，
取其中三个一组列举如下：
①、、；
②、、；
③、、；
④、、；
⑤、、；
……，共计20组；
对于第①组
∵
∴第①组各数不能构成直角三角形，用同样方法发现第②、③、④组的各数都不能构成直角三角形；
对于第⑤组
∵
∴第⑤组各数能构成直角三角形；
……
重复上述过程于全部的20组，可得只有如下这样的三组数能构成直角三角形：
、 、或、、或、、；
（2）解决（1）时，是计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方，若是则三角形为直角三角形，否则不是直角形．
故选：B(勾股定理逆定理)；
（3）∵15不能写成两个自然数的平方和的形式，
∴以网格的格点为端点的线段其长不可能为
∴、 、或、、不能作为直角三角形的三边画在网格中，使其顶点都在格点上；
∵ 、、
∴以网格的格点为端点的线段其长可以为、、，
∴、、为边的直角三角形可以画在网格中，使其顶点都在格点上，如下图所示：
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理，并利用其在网格中画格点直角三角形．熟悉勾股定理及其逆定理的应用方法和区别是关键，此题的另一个关键是只有一个自然数能写成两个自然数平方和的形式，则这个自然数的算术平方根为长度的线段其两个端点才都能在格点上．
20．10米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：．
答：绳索的长度是10米．
21．(1)见解析
(2)
(3)25
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定，二次函数的最值，掌握勾股定理是关键．
（1）直接利用即可证明；
（2）在中，由勾股定理即可求得的长，则可求得的长；
（3）设，由勾股定理得，则可表示出面积，利用完全平方公式即可求得面积的最大值．
【详解】（1）证明：在与中，
，
；
（2）解：如图，设点E下滑到点G，点F向右滑动到点H；
在中，，
则，
由勾股定理得，
；
答：滑梯底端F向右移动的距离为；
（3）解：设，
在中，由勾股定理得，
，
令，，则，
，
y最大值为2500，
的最大值为；
故答案为：25．
22．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，连接，
，
由题意得：，，，
，
．
23．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】此题考查了平方差公式，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）根据勾股顶点定义列出关系式，再由勾股定理列出关系式，判断即可得证；
（2）根据，得到，由（1）中的方法得，在中，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且，是边上的高，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，是边上的高，，，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
则．
24．(1)见解析
(2)是等腰直角三角形；理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据证明，即可得出答案即可；
（2）先根据证明，得，再证明，可得是等腰直角三角形；
（3）先根据等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，及勾股定理得：，中，根据勾股定理得，代入可得：．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵与都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由是：
∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∵与都是等腰直角三角形，
∴， ，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理，本题运用了类比的思想解决问题，证明三角形全等是关键．
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