1.3探索三角形全等的条件同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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1.3探索三角形全等的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．判定两个三角形全等必不可少的条件是（ ）
A．至少有一组边对应相等 B．至少有一对角对应相等
C．至少有两组边对应相等 D．至少有两对角对应相等
2．下列命题正确的是（ ）
A．两个等边三角形全等
B．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等
C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．有一个锐角相等的两个直角三角形全等
3．已知两个三角形中的两边和一边上的对角分别对应相等，则这两个三角形的关系是（　　）
A．不全等 B．轴对称 C．不一定全等 D．全等
4．如图，，连接.若，，，则的度数为( )
A．54° B．63° C．64° D．68°
5．如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，直线，直线分别交、于、两点，平分，如果那么的度数是（ ）
A．64° B．68° C．58° D．66°
7．如图，点是内一点，且点到、的距离相等，则的理由是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，下列各组条件中，能得到的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
9．作的平分线的过程如下：
①在上分别截取，使；
②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线，则就是的平分线．
用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF,下列结论中正确的个数有（　　）
①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，已知，，且，则的理由是（ ）
A．.. B．.. C．.. D．..
12．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置CD上升时，这时小红离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，请你添加一个条件，使得．你添加的条件是： ．（写出一个符合题意的即可）
14．如图，在中，，，CD平分，于E，若，则的周长为 ．
15．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取(如图2)．根据小颖的提示，可以求得的面积为 ．
16．如图，．使，请添加一个条件

17．如图，平分，为上一点，于，若，则到的距离为 .
三、解答题
18．圣母大学计算机系的史戈宇教授带一家人去旅行,途中汽车被劫走报警911,警察无作为，汽车上安装的MS系统,可以提示汽车与手机APP间的直线距离．史教授用“贪心算法”把被盗车辆位置确定在了图中灰色的区域里,这是一个以暴乱和枪击闻名的地区．当史教授开车从E向A的方向行驶时,汽车与手机APP间的直线距离逐渐变小,从A向F的方向行驶时,汽车与手机APP问的直线距离逐渐变大.当史教授开车从F向B的方向行驶时,汽车与手机APP间的直线距离逐渐变小,从B向G的方向行驶时,汽车与手机APP间的直线距离逐渐变大. 史教授再次报警后,警察根据史教授确定的被盗汽车的位置,很快找到了被盗汽车根据你学的数学知识,在图中,画出被盗汽车的位置.
19．如图，点C为直线AB上方一点，用尺规作图法在点C的右侧找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
20．咸阳宫位于渭水之北，泾水之南，是中国历史上最恢宏壮丽的宫殿之一．某数学研究小组的同学们把测量咸阳宫城墙的高度作为一项课题活动，设计了如表所示的测量方案：
课题 测量咸阳宫城墙的高度
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
测量工具 测角仪、皮尺等
测量示意图
测量说明 如图，，，甲同学在小树与城墙之间的点E处，分别测得、，发现与互余
测量数据 米，米
请你根据上述信息求出咸阳宫城墙的高度．
21．奇思利用一根长的竿子来测量电线杆的高度．他的方法如下：如图，在电线杆前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．已知，，请计算出电线杆的高度．
22．如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角与从观测点B看海岛C、D的视角相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？
23．如图，，，，求证：．
24．如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在的异侧，，，．求证：．

参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B C D A B A B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理易得，必不可少的条件为至少有一组对边相等．
【详解】解：全等三角形的判定定理包括：，每种判定方法都必须由边的参与，即至少有一组对边相等．
故选：A．
2．C
【分析】利用全等三角形的判定方法逐个判断即可．
【详解】解：A，两个等边三角形各个角都相等，但边长不一定相等，因此不一定是等边三角形，故此选项错误；
B，两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故此选项错误；
C，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可以用HL证明全等，故此选项正确；
D，有一个锐角相等的两个直角三角形对应角相等，但边长不一定相等，故此选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．C
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【详解】两个三角形中的两边和一边上的对角分别对应相等，其三角形不一定全等，
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
4．B
【分析】由△ABC≌△AED可得△ABE是等腰三角形，已知∠D和∠ABC、∠EAC的度数可求得∠EAB的度数，进而求出∠BEA的度数.
【详解】∵△ABC≌△AED，
∴AB=AE，∠D=∠C=135°，∠ABC=∠AED=15°，
∴∠CAB=180°–135°-15°=30°，
∵∠EAC=24°，
∴∠EAB=54°，
∴2∠BEA=180°–54°=126°，
∴∠BEA=63°.
故选B.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理，根据全等三角形的性质找等量关系是解决这道题的关键.
5．C
【详解】试题分析：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴∠ABC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17
∴AB=17．
故选C．
考点：全等三角形的应用．
6．D
【分析】利用平行线的性质求出∠AEG=，∠2=∠AEF，根据角平分线的性质求出∠AEF，即可得到答案.
【详解】∵AB∥CD，
∴∠AEG=，∠2=∠AEF
∵平分，
∴∠AEF=2∠AEG=66°，
∴∠2=66°，
故选：D.
【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，以及角平分线的性质，正确理解图形中各角之间的位置关系是解题的关键.
7．A
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．
【详解】解：点到、的距离相等，，，
，
在和中，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
8．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．
【详解】解：由条件，，结合条件，不能由证明，故A不符合题意；
由条件，结合条件，能由证明，故B符合题意；
由条件，，结合条件，不能由证明，故C不符合题意；
由条件，，结合条件，不能由证明，故D不符合题意；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据角平分线的作图可得三边相等，即可作答．
【详解】连接，
在和中，
∵，
∴，
故答案为：A．
10．B
【分析】根据旋转的性质得出∠ABF＝∠C，求出∠ABC＝∠C＝30°，即可判断①；根据三角形外角性质求出∠ADC＝∠BAE，根据相似三角形的判定即可判断②；求出∠EAC大于30°，而∠DAE＝30°，即可判断③；求出△AFD是直角三角形，但是不能推出是等腰三角形，即可判断④．
【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，
∴△AEC≌△AFB，
∴∠ABF＝∠C＝30°，
∴∠FBD＝30°＋30°＝60°，∴①正确；
∵∠ABC＝∠DAE＝30°，
∴∠ABC＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD，
即∠ADC＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠C，
∴△ABE∽△DCA，∴②正确；
∵∠C＝∠ABC＝∠DAE＝30°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＋∠EAC＝120° ∠DAE＝90°，
∴∠ABC＋∠BAD＜90°，
∴∠ADC＜90°，
∴∠DAC＞60°，
∴∠EAC＞30°，
即∠DAE≠∠EAC，∴③错误；
∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，
∴AF＝AE，∠EAC＝∠BAF，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴∠BAD＋∠EAC＝90°，
∴∠DAB＋∠BAF＝90°，
即△AFD是直角三角形，
∵在△DAE中，∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EAC，∠ABC＝∠C，但是根据已知不能推出∠BAD＝∠EAC，
∴∠ADE和∠AED不相等，
∴AD和AE不相等，
即△AFD是直角三角形，但是不一定是等腰三角形，∴④错误；
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．
11．C
【分析】利用三角形全等的判定定理结合题目所给条件进行分析即可．
【详解】∵，∴
∵，∴
在和中
∴
故选：C
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．
12．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：在与中，
，
，
，
小明离地面的高度是，
故选：C．
13．AC＝BD（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：添加的条件是AC＝BD（答案不唯一），理由如下：
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（HL），
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．15cm
【分析】先根据AAS判定△ACD≌△ECD得出AC＝EC，AD＝ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到：周长＝BD+DE+EB＝BD+AD+EB＝AB+BE＝AC+EB＝CE+EB＝BC，所以为15cm．
【详解】解：∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠ECD
∵DE⊥BC于E
∴∠DEC＝∠A＝90°
∵CD＝CD
∴△ACD≌△ECD
∴AC＝EC，AD＝ED
∵AB＝AC
∴△DEB的周长为：DE+BE+BD＝AD+BD+BE＝AB+BE＝AC+BE＝EC+BE＝BC＝15cm．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．(答案不唯一)
【分析】
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据题意，易得，又公共边，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．
【详解】
解：添加一个条件：(答案不唯一)，理由如下：
，
，
又公共边，
当时，利用证明，
故答案为：(答案不唯一) ．
17．7；
【分析】作DF⊥OA，根据角平分线的性质解答即可.
【详解】作DF⊥OA，
∵平分，，，DF⊥OA，
∴DF=DE.
∵，
∴DF=7，
即到的距离为7.
故答案为7.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键.
18．见解析.
【分析】如图，连接EF，FG，分别过点A，B作EF，FG的垂线AN，BM，直线AM，BN交于点P，点P即为被盗汽车的位置．
【详解】解：如图，连接EF，FG，分别过点A，B作EF，FG的垂线AN，BM，直线AN，BM交于点P，点P即为被盗汽车的位置．
【点睛】本题考查作图—过一点作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．见解析
【分析】由可得出，故根据作一个角等于已知角，即可得出图形．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图：作一个角等于已知角，还涉及平行线的判定，掌握作一个角等于已知角是解题的关键．
20．咸阳宫城墙的高度为18米．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，先求解，再证明，利用全等三角形的性质可得答案.
【详解】解：∵米，米，
∴（米）.
∵，，
∴，
∴与互余，
∵与互余，，，
∴，
在和中，，，，
∴
∴（米）.
答：咸阳宫城墙的高度为18米.
21．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意得，根据，得，利用可证明，得，根据，得，即可得；掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴，
即．
答：电线杆的高度是．
22．相等，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的应用，方向角等知识；熟练掌握方向角的含义，证明三角形全等是解题的关键．
先证明，再证明，可得，得即可．
【详解】证明：如图所示，记，交于点
，，
，
又点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，
，
在和中，
，
，
，
∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等．
23．见解析
【分析】根据推出，由得到，再证明即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴（），
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并正确推理论证是解题的关键．
24．见解析
【分析】首先得到，然后证明出即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
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