2.4线段、角的轴对称性同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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2.4线段、角的轴对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，是的平分线，若，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分交于点，若的面积为，的面积为，则关于与之间的数量关系，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图已知OC平分∠AOB，P是距离是OC上一点，PH⊥OB于点H，若PH＝5，则点P到射线OA的距离是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
5．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（　　）
A．40° B．70° C．30° D．50°
6．如图，在中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则的周长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
7．如图，在中，，是的平分线，，的面积为12，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，平分，垂足分别为A、B．若，则为（　 　）
A．2 B．4 C．6 D．3
9．如图，是的角平分线，C为上一点，于E，，在射线上有一动点Q，则在运动过程中，点Q到点C的最短距离是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．不能确定
10．如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图,OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则两平行线与间的距离为（ ）

A．4 B．6 C．7 D．8
二、填空题
13．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为 ．
14．如图，已知ADBC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 cm2
15．如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ．
16．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且D是BC上的一点．若2CD=BD,BC＝6，则点D到AB边的距离为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，若DE＝2cm，BD＝3cm，则AC＝ cm．

三、解答题
18．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，求的周长．
19．分别画出已知钝角和平角的平分线．

20．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的长．
21．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
(1)请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)最低费用为多少？
22．如图，已知，，于M，于N，求证：
23．如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）
（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；
（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．
24．已知：如图，点E在直线上，于D，于B，且平分，求证：

参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B C D A D C D
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质得 ，DE＝DC再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，
在中，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确理解角平分线的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】过点作于，于，由角平分线的性质得出，根据三角形面积可得出答案．
【详解】解：过点作于，于，
平分，，，
，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，证出是解题的关键．
3．B
【分析】作PQ⊥OA于Q，利用角平分线的性质得到PQ=PH=5．
【详解】解：如图，作PQ⊥OA于Q，
∵OC为∠AOB的平分线，PH⊥OB，PQ⊥OA，
∴PQ=PH=5，
即点P到射线OA的距离为5．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段的性质．根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】解：当时，的值最小，
平分，，，
，
，
最小值为2，
故选B．
5．C
【分析】根据垂直平分线的性质证明DA＝DB，即可得到结果；
【详解】∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．．
6．D
【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于AB+BC＝6，选出正确答案．
【详解】∵AB的中垂线交AC于点F，
∴，
∴，
∵在中，AB＝AC，
∴
∵的周长，
∴的周长，
∵AB+BC＝6，
∴的周长＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，运用垂直平分线的性质进行线段等量转换是解题关键．
7．A
【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据三角形面积公式求出DE，然后根据角平分线的性质得到CD的长．
【详解】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵△ABD的面积为12，
∴ ×DE×8＝12，解得DE＝3，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE＝3．
故选：A．
【点睛】本题角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，进行解答，即可作答．
【详解】解：∵平分
∴
故选：D
9．C
【分析】过点C作CF⊥OA于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CF＝CE，再根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥OA于F，连接CQ，
∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，，，
∴CF＝CE＝2，
∵动点Q在射线OA上运动，
∴CQ≥2，
∴线段CQ的最小值为2．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据角平分线的性质，得到PG=PF，结合面积公式，可以判断结论①；过点P作PM⊥AC，垂足为M，则PF=PM=PG，得到PA平分∠EAC，利用角的平分线定义，∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，得证∠2=∠4，从而判断结论②，利用四边形内角和定理结合角的平分线判断最后结论．
【详解】∵∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，
∴PG=PF，
∴：＝=AB：BC，
∴结论①正确；
过点P作PM⊥AC，垂足为M，根据题意，得PF=PM=PG，
∴PA平分∠EAC，
∴∠PAG=∠PAM，
∵PA=PA，∠PGA=∠PMA=90°
∴△PAG≌△PAM，同理可证，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF，
∴∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠2=∠4，
∵∠4＋∠ACP＝90°，
∴∠2＋∠ACP＝90°，
∴∠APB＋∠ACP＝90°，
∴结论②正确，
∵∠ABC＋∠BGP+ ∠GPF+∠PFB＝360°，∠BGP=∠BFP＝90°，
∴∠ABC＋∠GPF＝180°，
∵∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠GPF=2∠APC，
∴∠ABC＋2∠APC＝180°，
∴结论③正确，
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，四边形的内角定理，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质和判定是解题的关键．
11．A
【详解】如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，即点P到OB的距离是6．
故选A．
【点睛】考点：角平分线的性质
12．D
【分析】过点P作于F，延长交于点G，根据，得出，证明，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为与间的距离．
【详解】解：如图，过点P作于F，延长交于点G，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
同理可得，
∴，
∴平行线与之间的距离为8，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出、间的距离的线段是解题的关键．
13．14
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【详解】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+GE＝16，
∴EA+GC+GE＝16，
∴GA+GE+GE+EC+GE＝16，
∴AC+2GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．5
【分析】过P作PG⊥AB于点G，依据角平分线的性质，即可得到PG的长，再根据三角形面积计算公式，即可得到△APB的面积．
【详解】解答：解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，
∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵ADBC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2cm，
又∵AB＝5cm，
∴△APB的面积＝AB×PG＝×5×2＝5（cm2）．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．24
【分析】本题考查角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过点D作于点E，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：24．
16．2
【分析】先求解过作于 再利用角平分线的性质定理可得答案.
【详解】解： 2CD=BD，BC＝6，
过作于
∠C＝90°，AD平分∠BAC，
点D到AB边的距离为2.
故答案为：2
【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键.
17．5
【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD＝3cm，又由在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，根据角平分线的性质，可求得CD的长，继而求得答案．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝3cm，DE⊥AB，
∵在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴CD＝DE＝2cm，
∴AC＝AD+CD＝5（cm）．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
18．的周长为14．
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出周长，再代入数据计算即可得解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
周长，
，，
周长．
19．见解析
【分析】根据角平分线的作法，分别作出两角的角平分线即可．
【详解】解：如钝角中，以O为圆心，任意长度为半径作弧，分别交OA、OB于点M、N，然后分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC，如图所示，射线OC即为角平分线；
如平角中，以O为圆心，任意长度为半径作弧，分别交OA、OB于点M、N，然后分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC，如图所示，射线OC即为角平分线．
【点睛】此题考查的是作一个角的角平分线，掌握利用尺规作图作角平分线是解决此题的关键．
20．8
【分析】本题考查了垂直平分线，三角形的周长，根据垂直平分得，．根据，得，根据的周长为，得
，即可得；掌握垂直平分线是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，．
∵，
∴．
∵的周长为，
∴，
即的长为8．
21．（1）见解析（2）150万元
【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M．
（2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价=单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．
【详解】（1）根据分析，水厂的位置M为：
（2）如图2，，
在直角三角形BEF中，EF=CD=30（千米），BF=BD+DF=30+10=40（千米），
∴BE （千米）,
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3=150（万元）．
答：最低费用为150万元．
【点睛】（1）此题主要考查了轴对称-最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价=单价×数量，单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，要熟练掌握．
22．见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质证明边相等是解决这个问题的关键，属于中考常考题型．欲证明，因为于M，于N，所以只要证明，可以通过证明来实现．
【详解】证明：连接，
，，，
，
于M，于N，
．
23．（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用SAS证出△DCA≌△ECB，即可证出结论；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS证出△DCA≌△ECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论．
【详解】解：（1）相等，证明图②如下
∵
∴
∴
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N

∵
∴
∴
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴CM=CN
∵CM⊥AD，CN⊥BE
∴平分
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键．
24．见详解
【分析】首先根据角平分线性质得出，，，再根据SAS证明，即可解答．
【详解】解：∵，，平分，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴
【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
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