2.5等腰三角形的轴对称性同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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2.5等腰三角形的轴对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．过顶点的直线 B．腰上的中线所在的直线
C．腰上的高线所在的直线 D．顶角的平分线所在的直线
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EFAC，分别交AB、AD于点F、G则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
3．如图，中，，的平分线与的垂直平分线交于点将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰三角形纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，是的外角内的一条射线，过点A作，垂足为F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于7，那么它的周长等于（ ）
A．13 B．13或17 C．17 D．14或17
7．如图，在中，，，是腰上的高，则的长（ ）
A． B． C． D．
8．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ）
A． B． C．或 D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B
10．已知一等腰三角形的腰长为3，底边长为2，底角为α．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是 （ ）．
A．两条边长分别为2，3，它们的夹角为α B．两个角是α，它们的夹边为2
C．三条边长分别是2，3，3 D．两条边长是3，一个角是α
11．已知的周长为，且于的周长为，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．1 D．2
12．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
13．如图，在中，AE是BC边上的中线，过点C作，交AE的延长线于点D，连结BD．若，的面积为10，则的面积为 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．若∠A=α，当△DEF为等腰三角形时，∠ACD= ．（用α的代数式表示∠ACD）
15．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．

16．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中结论正确的序号 ．
17．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．

三、解答题
18．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
19．如图，在△ABC中，，．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线交BC于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接AD，AE是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
20．专注基本图形：
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下：

∵，
∴，
∵直线，直线，
∴，
∴
在和中，
∴
∴，，
∴
探究问题解决：
(1)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由．
(2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明．
21．如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．

(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？
22．某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离．
23．已知：如图，，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
24．已知：如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，点分别是的中点，且．求证：．

参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B B C B B D D
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质，可得出答案．
【详解】解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线，
A、过顶点的直线，错误．
B、腰上的中线所在的直线，错误．
C、腰上的高线所在的直线，错误．
D、顶角的平分线所在的直线，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称即对称轴的定义．
2．A
【分析】①正确，证明即可；②错误，如果，则结论成立，无法判断，故错误；③正确，利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题；④正确，证明即可解决问题．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠CAB=90°，故①正确，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=∠CAE，∠BAD=∠C，
∴∠BAE=∠C+∠CAE=∠BEA，故③正确，
∵EFAC，
∴∠AEF=∠CAE，
∵∠CAD=2∠CAE，
∴∠CAD=2∠AEF，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠CAD=2∠AEF，故④正确，
无法判定EA=EC，故②错误．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．D
【分析】如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可求出的度数，根据角平分线的性质可求出的度数，根据垂直平分线的性质，可得，可证，可得是等腰三角形，可求出的度数，根据折叠的性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴，
∵将沿折叠，
∴，即是等腰三角形，
∴，
∴在中，，
故选：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
4．B
【分析】根据折叠的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
.
由题意得：
，
∴
∴.
故选B.
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点．
5．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．C
【详解】因为等腰三角形的两边分别为3和7，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：当3为底时，其它两边都为7，7、7、3可以构成三角形，周长为17；
当7为底时，其它两边都为3，因为3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去．
所以它的周长等于17．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．B
【分析】根据三角形外角的性质得，再利用含角的直角三角形的性质可得的长．
【详解】解：，，
，
，
是腰上的高，
，
，
故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键．
8．B
【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．
【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形，
②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底边长为6cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论．
9．D
【分析】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，再根据等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，即可知A、B、C选项正确，
D选项则不一定正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及等腰三角形的性质等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
10．D
【详解】试题分析：对于D选择，两条边为腰长，但是角度有可能为顶角，也可能为底角．
考点：三角形全等的判定．
11．C
【分析】根据等腰三角形的性质得到为的中点，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，，
所以为等腰三角形，
又，即为的中点，
的周长是，
，即，
∴
的周长是，
，
cm．
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．B
【分析】由得，再由三角形内角和定理（三角形三个内角和等于180°）依次求出、度数；根据题目中尺规作图步骤，可知BG为的角平分线，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查尺规作图画角平分线、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图步骤是解题关键．
13．30
【分析】作BF⊥AE于点F，先证明△BEF≌△CED，则BF= CD，FE= DE，由AB = BD得AF= DF，设FE=DE=m，BF=CD=n，则AF= DF= 2FE= 2m，AE= 3m．根据S△BCD = 10求出mn的值，再用含mn的式子表示S△ABC，从而求出△ABC的面积．
【详解】解：如图，作BF⊥AE于点F，
∵CD⊥AE，
∴BFE=CDE=90°，
∵AE是BC边上的中线，
∴BE=CE，
在△BEF和△CED中，
∴△BEF ≌△CED（AAS），
∴FE=DE，BF=CD，
∵AB = BD，
∴BF= DF，
设FE=DE=m，BF=CD=n，则AF= DF= 2FE= 2m，
∴AE=AF＋FE= 3m，
∵=DEBFDECD=
且=10，
∴，
∴
∴=30．
故答案为：30．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，作BF⊥AE于点F构造全等三角形是解题的关键．
14．或或
【分析】若为等腰三角形，则，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：由翻折的性质可知，，
如图1，
当时，则，
，，
，
，
当时，为等腰三角形，
故答案为．
当时，；
，
，
，；
，
，
如图2，
当时，；
，，
；
当或或时，为等腰三角形，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理．
15．2
【分析】根据折叠的性质，，又，可知，根据所对的直角边等于斜边的一半，可知．
【详解】解：∵，
∴，
根据折叠的性质，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半，熟悉折叠的性质是解决问题的关键．
16．①②③④．
【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，
根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：①连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②∵，，∴，
∵平分，∴，
∴，
因此，②正确；
③∵，，
∴
∴，
∴点在的垂直平分线上，故③说法正确；
④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BD=AD=2CD
∴，故④正确
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
17．1
【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，
，

∵，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
18．（1）等腰三角形；（2）
【分析】（1）根据题意可得或者，进而可以判断三角形的形状；
（2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可
【详解】（a﹣b）（b﹣c）＝0，
或者，
△ABC是等腰三角形
（2）a，b，c是△ABC的三边长，
|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|
|a+b﹣c|+|b﹣（c+a）|
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据尺规作图，作出边AB的垂直平分线即可；
（2）先求解，再求解，，再利用角的和差可得答案.
【详解】解：（1）分别以为圆心，以大于为半径，画弧，交于两点，连接，交BC于点D，如下图：
（2）为线段的垂直平分线
∴
∴
又∵，
∴
又∵平分
∴
∴
故答案为
【点睛】此题考查了尺规作图（垂直平分线），垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
20．(1)成立，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可．
（1）根据，，，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，即可；
（2）根据等边三角形的性质，则，，根据三角形角的数量关系，则，根据全等三角形的判定和性质，推出，；根据全等三角形的判定和性质，，即可．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21．(1)海岛B到灯塔C的距离为30海里
(2)上午9时小船与灯塔C的距离最短
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，读懂题意并添加合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质，得，那么，故海里；
（2）过点C作于点P，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离．根据三角形内角和定理，得．根据含30度角的直角三角形的性质，在中，，求出，从而解决此题．
【详解】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）如图，过点C作于点P，

∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，，
又∵，
∴，
在中，，
∴（海里），
∴（小时），
则（时），
故上午9时小船与灯塔C的距离最短．
22．B处到灯塔C的距离为海里．
【分析】本题主要考查的知识点是方向角的相关问题，三角形外角的性质，以及等腰三角形性质，根据题意算出，再利用外角知识判断出为等腰三角形，即可解题．
【详解】解：由题知，（海里），
，，
，
，
海里，
B处到灯塔C的距离为海里．
23．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）用HL证明全等即可；
（2）根据得到∠BAC=60°，从而证明△ABC为等边三角形，即可求出BC长.
【详解】（1）证明：∵
∴
又∵，
在和中
∴；
（2）由（1）可知，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题是对三角形全等的综合考查，熟练掌握全等三角形及等边三角形知识是解决本题的关键.
24．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法，证明时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形的外心位于斜边的中点．先根据直角三角形的性质，得到，再根据等腰直角三角形的性质，得到，最后判定即可．
【详解】证明：是边上的高，点、分别是、的中点，
，，
，
，
，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
．
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