3.3勾股定理的简单应用同步练习（含解析） 苏科版数学八年级上册

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3.3勾股定理的简单应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，一场强风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则折断前树的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)(　　)
A．5≤a≤12 B．12≤a≤3
C．12≤a≤4 D．12≤a≤13
3．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．

A．4 B．5 C．6 D．
4．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（ ）．
A．10 B．15 C．20 D．25
5．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A．10 B． C．14 D．18
6．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了（）米.
A．1.4 B．1.2 C．1.3 D．1.5
7．小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )
A．2.7 米 B．2.5 米 C．2.1 米 D．1.5 米
8．一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯脚移动的距离是（ ）．
A．m B．m C．m D．m
9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．20 B． C． D．18
10．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深，葭长各几何.”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺.设芦苇长尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图：长方体的长AB=4厘米、宽BC=2厘米、高CD＝3厘米，一只蚂蚁想从A点沿表面爬到D点，则最短距离是（ ）
A． B． C． D．5
12．如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是12m，高AB为5m，现在要以点A为起点环绕油罐表面建梯子，终点正好建在点A的正上方的点B处，则梯子最短需要（　　）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
二、填空题
13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，和，和是这个台阶的两个端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .

14．如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ．
15．如图，有一个圆柱体，它的高等于，半径等于，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是 （的值取3）．
16．在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
17．一架云梯长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了 米．
三、解答题
18．如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，这时米，云梯的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，，设的长度为x米．

(1)求的长度；
(2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；
(3)求的面积．
20．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)求秋千的长度；
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千往前推送多少米？
21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
22．如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米．
(1)求梯子顶端A与地面的距离的长；
(2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长．
23．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
24．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B A C C C A B
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】根据题意，得（米），；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：（米），
∴（米）
∴折断前树的高度（米）
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
2．D
【分析】最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，用勾股定理即可解答．
【详解】解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，
由题意知：牛奶盒底面对角长为＝5，
当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为＝13，
即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，
故选D.
【点睛】本题考查勾股定理的应用.
3．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．
根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，的长是．
所以，．
故选：C．
4．B
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后结合题意即可求解．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．
【详解】解：如图：
根据题意可得图形：
在中：，
∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是，
∴这支铅笔的长度是．
故选：B．
5．A
【分析】根据题意，分情况讨论，①当经过左侧面和上底面时，②当经过正面和上底面时，勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图1所示，当经过左侧面和上底面时，
最短路径为：
②当经过正面和上底面时，如图2所示，
最短路径:
运动的最短路程为
故选：A
图1 图2
【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，分类讨论是解题的关键．
6．C
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】在Rt△ACB中, ，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中, ，
∴EC=0.7，
∴AE=AC EC=2 0.7=1.3.
故选C.
【点睛】此题考查勾股定理的运用，解题关键在于掌握勾股定理结合实际的实际运用.
7．C
【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
【详解】梯脚与墙脚距离：2.1（米）．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于提取题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意梯子的长度是不变的．
利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．
【详解】梯子顶端距离墙角的距离为（米），
（米），
梯子下滑后梯子底端距离墙角的距离为（米），
（米），
即梯脚水平滑动米．
故选：C.
9．A
【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】解：如图1，
∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN＝＝20；
如图2，
∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN＝＝＝2．
∵20＜2，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20．
故选：A．
【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
10．B
【分析】首先根据芦苇的长度为x尺，得到水池的深度为（x－1）尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】∵芦苇的长度为x尺，∴水池的深度为（x－1）尺，由题意得：
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
11．B
【分析】根据题意将点A、D所在上下两个面展开；将点A、D所在左右两个面展开，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，图1将点A、D所在上下两个面展开；图2将点A、D所在左右两个面展开，
沿图1爬的路线长为：，
沿图1爬的路线长为：，
∴沿图1爬的路线最短，
故选B．
【点睛】题目主要考查立方体的展开图及勾股定理解三角形，两点之间线段最短，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．D
【分析】把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵，，
∴，
答：梯子最短需要，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
13．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：展开图为：

则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB==125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
14．13
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当沿着把长方体展开时，
则，
∴，
∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是；
如图所示，当沿着把长方体展开时，
则，
∴，
∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是；
如图所示，当沿着把长方体展开时，
则，
∴，
∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是；
∵，
∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是；
故答案为：13．
15．15
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果．
【详解】如图，将圆柱体展开，连接，根据两点之间线段最短，
根据题意可得：AC是圆周的一半，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，把空间问题转化为平面问题是解题的关键．
16．17
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
∴长方形的长为米，
∵长方形的宽为8米，
∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
∴米，
故答案为：17．
17．0.8/
【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，然后根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7，
∴AC==2.4；
∵梯子的顶端下滑了0.4米，
∴A′C=2，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5，A′C=2，
∴B′C==1.5，
∴BB′=B′C-BC=1.5-0.7=0.8(米)．
故答案为：0.8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
18．(1)15米
(2)云梯的底部外移了5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）根据题意用含有的式子表示的长，根据勾股定理列出方程，解方程求出的长度；
（2）由题意得米，米，再根据勾股定理求出，进而求出，即可求得答案．
关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
【详解】（1）解：∵米，的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，
∴米，
在中，，
∴，解得：，
∴的长度为15米；
（2）∵的长度为15米，
∴米，
当云梯的顶端沿墙下滑了5米到达点处时，（米），
由勾股定理得：（米），
∴（米），
∴云梯的底部外移了5米．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，利用网格求三角形面积．
（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）连接交直线l一点P，即可使得的周长最小；
（3）根据网格利用割补法即可求的面积．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）如图，点P即为所求；
（3）．
20．(1)秋千的长度是
(2)需要将秋千往前推送
【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
（1）由题意得，证四边形是矩形，得，则，；设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，，，
∴四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
（2）当时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，由勾股定理得： ，
即需要将秋千往前推送．
21．秋千绳索长为尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺，
则尺，
在中，，即，
解得：，
∴秋千绳索长为尺．
22．(1)梯子顶端A与地面的距离的长为24米
(2)梯子的下端B滑动的距离的长为8米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
（1）直接利用勾股定理得出的长；
（2）利用勾股定理得出的长进而得出答案．
【详解】（1）由勾股定理可得：24（米），
答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米；
（2）∵梯子的顶端A下滑到E，使，
∴（米），
∴15（米），
则（米），
答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米．
23．（1）；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；
（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；
（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，
∵，
∴，
∴在Rt△ABD中，．
（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠CBF，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBF(ASA)，
∴CD=CF，AD=BF，
∴，
∵DF=DB+BF=DB+DA，
∴．
（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，
∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，
∴∠AFC=∠CDB，
又∵CA=CB，
∴△CAF≌△CBD(AAS)，
∴CF=CD，AF=BD，
∴△CDF是等腰直角三角形，
又∵CE⊥AD，
∴E为DF中点，
∵AD=6，AF=BD=2，
∴FD=AD－AF=4，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.
24．●特例感知:①是；②；●深入探究：，理由见解析；●推广应用：2a．
【分析】●特例感知①根据勾股高三角形的定义进行判断即可；
②设根据勾股定理可得：，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可；
●深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系；
●推广应用：运用探究的结果进行运算即可
【详解】解：●特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
②设
根据勾股定理可得：，
于是，
∴；
●深入探究：由可得：，而，
∴，即；
●推广应用
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且，
∴只能是，由上问可知．
又ED∥BC，∴．
而，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴．
∵△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知．
又
∴，
∴．
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