3.6直线和圆的位置关系同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册

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3.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，D是⊙O上的点，若∠DBC＝a，则下列选项不一定正确的是（ ）
A．∠A＝a B．∠ODB＝90°﹣a
C． D．∠ADB＝∠ABE
4．如图所示，在Rt中，，，，点为上的点，的半径，点是边上的动点，过点作⊙的一条切线（点为切点），则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
5．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图,AB与⊙O切于点B,AO=6 cm, AB=4 cm,则☉O的半径r等于(　 　)
A．4 cm B．2cm C．2cm D．3cm
8．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2
9．如图，在中，，，以为圆心，为半径作，为线段上动点从运动到，过作的切线，切点为，则的取值范围是(　　)

A． B． C． D．
10．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O半径长为 （　）
A． B．5 C．6 D．10
11．在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
12．如图，线段是的直径，是的弦，过点C作的切线交的延长线于点E，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在平面直接坐标系中，，，，是的内心，将绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点的坐标为 ．
14．如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点．
（1）线段的长度等于 ；
（2）点P是内切圆与的切点，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明你是怎么找到点P的（不要求证明）． ．
15．如图，已知A（-3，0）、B（0，3），半径为1的⊙P在射线AB上运动，那么当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标是 ．
16．如图所示，、分别与⊙相切于、两点，点为⊙上一点，连接、，若，则的度数为 ．
17．等边中，，则的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ．
三、解答题
18．如图，是的直径，分别切于点B、D，与的延长线交于点E，连接．

(1)与是否全等？_____（填“是”或“否”）；
(2)已知，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算半径r的一种方案：
①你选用的已知数是___________；
②写出求解过程．（结果用字母表示）
19．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）．
（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；
（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．
20．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：

(1)取何值时，平分；
(2)设的面积为，求与的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．
21．如图，小明家购买了一个直径的圆形梳妆镜，其示意图如图1，点A，B是圆镜上两个挂绳固定点，点P是钉子悬挂点，挂绳长度为，，且，挂绳可调节的范围为：．

(1)小明通过调节挂绳长度，使得与相切于点A，求证：与相切；
(2)小明需要把镜子挂起来，经过对家人身高的调查，决定把镜子的中心（圆心O）定在距离桌面高度处（点P，O，D三点共线，交于点C）如图2，且通过测量得到，求点P到桌面的距离的取值范围（结果保留根号）．
22．为让学生感悟自然界和生活中的数学，王老师组织大家周末到户外，同学们发现休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子．同学们对球形石墩的半径十分感兴趣，观察并绘制了如图所示的平面示意图，和是两球的主视图，均与地面l相切，太阳光线与地面的夹角是，由此得到， 已知 m，m请根据以上数据求出球的半径 ．（参考数据： 结果精确到m）
23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为 ．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B C D B B A B
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线的距离为4，，
∴直线l与的位置关系是相交．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
2．B
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，求出，进而求出的长，的长度即的最小值．此时最小，且等于的长．连接，，，利用垂径定理，得出，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长．
连接，，，
，
，
是弧的中点，
，
，
由轴对称可知，，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，确定点的位置是本题的关键．
3．C
【分析】由直线是的切线，根据切线的性质可得：，继而求得，又由是的直径，根据圆周角定理，即可求得，继而可得．
【详解】解：，
，
直线是的切线，
，
，
即，
，故正确；错误；
是的直径，
，
，
．故正确；
是的直径，
，
，故正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的性质定理．
4．B
【分析】连接OE、OD，由DE为⊙O的切线知DE2+OE2=OD2即DE=，要使DE最小，则OD最小即可，根据题意可知当OD⊥AB时，OD最小，通过证明△BDO∽△BCA可得OD的长度，可得DE的最小值．
【详解】解：如图，连接OE、OD，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO=90°，
∴DE2+OE2=OD2，
∵OE=1，
∴DE2=OD2-1，即DE=，
要使DE最小，则OD最小即可，
∵D为AB边上的动点，
∴当OD⊥AB时，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴，即，
解得：OD=4，
∴DE==，
故选：B．
【点睛】本题主要考查切线的性质，关于圆的切线常添的辅助线是连接圆心和切点可得直角，本题中意识到要使DE最小则OD最小即可是关键．
5．C
【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比. .
【详解】解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB=60°，
设三角形的边长是a，
∴AB=a，
∵⊙O是内切圆，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，
∴BO=tan30°AB=a，
则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，
因此概率是a2÷a2=π．
故选C．
【点睛】本题考查了边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．
6．D
【分析】连接OD、OF，根据切线的性质及圆周角定理可得，然后问题可求解．
【详解】解：连接OD、OF，如图所示：
∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
7．B
【分析】连接OB，由切线的性质可知，∠ABO=90°，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】连接OB，
∵AB与⊙O切于点B,
∴∠ABO=90°，
∴，即r=.
故选B.
【点睛】此题主要考查圆的切线的性质及勾股定理的应用.通过切线的性质定理得到△ABO是直角三角形是解决本题的关键.
8．B
【分析】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，利用等边三角形的性质得 AH 平分∠BAC，则可判断点 O 在 AH 上，所以 OH＝r，连接 OB，再证明
OA＝OB＝2r，则 AH＝3r，所以 OH：OA：AH＝1：2：3．
【详解】解： 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AH 平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴点 O 在 AH 上，
∴OH＝r， 连接 OB，
∵⊙O 为△ABC 的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在 Rt△OBH 中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 1：2：3．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质
9．A
【分析】连接、,根据当时，线段最短，当在或点时，线段最长，进而分别求得的长，即可求解．
【详解】解：连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短，当在或点时，线段最长，
①当时，在中，，，
，
，
．
②当在点时，在中，，，
，
的取值范围是，
故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10．B
【分析】连接，根据切线的性质求出，在中，由勾股定理即可求出的半径长．
【详解】解：连接，
切于，
，
，
设的半径长为，
由勾股定理得：
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是连半径得出直角三角形．
11．B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定．先由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据切线的判定即可得出位置关系．
【详解】解：如图，连接，
是等腰三角形
为中点
是等腰的高
为的半径
是的切线
与直线的位置关系是相切．
故选：B．
12．B
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据是的切线可得，进而求出，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
故选B．
13．（-2，3）
【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．
【详解】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3-1=2，
OE=4-1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．
14． 取格点D，E,连接交于点P,则点P即为所求
【分析】（1）根据勾股定理即可求得线段AB的长；
（2）分别求出AC、BC的长，判定△ABC为直角三角形，再根据面积相等，可计算出△ABC内切圆的半径，进而可计算出AP：BP=2：3，取点A正下方两格的格点D，取B点正上方三格的格点E，连接交于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）如图，在Rt△AFB中，AF=1，BF=7
由勾股定理得：
故答案为：．
（2）由勾股定理可计算得：，
∵
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90゜
设△ABC内切圆的半径为r，则有
∴
设△ABC内切圆与AC的切点为G，则CG=
根据切线长定理，得AG=AP
∵AG=AC-CG=2
∴
∴
∴
∴取点A正下方两格的格点D，取B点正上方三格的格点E，连接交于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质、切线长定理等知识，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题．
15．（-2，1） （-1，2）（1，4）
【详解】试题分析：由图象可知∠A=45°，因此可知BC=PC，由圆的半径为1，因此可由圆与y轴相切知PC=1，因此根据切线的性质可求得P的坐标为（1，4）；当P移动到y轴的左边时，P为（-1，2）；当圆与x轴相切时，根据等腰直角三角形的性质可得P的坐标为（-2，1）.
考点：圆的切线的性质，等腰直角三角形
16．
【分析】连接、，如图，根据切线的性质得，则利用四边形内角和可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】连接、，如图，
、分别与⊙相切于、两点，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理．
17．
【分析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中，从而解得．
【详解】解：连接OC和OD，如图：
由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点
所以OD⊥BC，∠OCD=30°，OD即为圆的半径．
又由BC=4，则CD=2
所以在直角三角形OCD中： =tan30°
代入解得：OD= ，
则CO=×2=．
故答案为，．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心的关系，首先 明白等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，即在直角三角形中很容易解得．
18．(1)是；
(2)①a、b、c，或其中2个；②见解析．
【分析】（1）由切线和切线长定理可知，，从而得到；
（2）方案一：选用的已知数据是a，b，根据题意，是直角三角形，所以在中，利用勾股定理得到：，就可以求出半径的长度；方案二：选用的已知数据是a，b，c，利用，得到，由此可得到半径的长度；方案三：选用的已知数是a，b，c，在种，利用勾股定理得到：，就可以求出半径的长度；方案四：选用的已知数是a，b，c，根据角的关系，得到，所以，由此推出，即可求出半径的长度．
【详解】（1）全等．
证明：∵是的切线
∴
∵
∴；
（2）解：方案一：选用的已知数据是a，b．
求解过程：
∵切于点D，
∴．
在中，，，，且，
即，
解得．
方案二：选用的已知数据是a，b，c．
求解过程：
∵分别切于点B、点D，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即，
解得（舍负值）．
方案三：选用的已知数是a，b，c．
求解过程：
∵分别切于点B、点D，
∴，．
在中，，，，且，
即，
解得（舍负值）．
方案四：选用的已知数是a，b，c．
求解过程：
如图，连接．

分别切于点B、点D，
∴，，．
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了切线的概念，切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用，解题的关键是掌握以上知识点．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，以OP为直径作圆即可画出；
(2)根据同圆中等弧所对圆周角相等即可画出．
【详解】（1）连OP，以OP为直径画圆交⊙O于点M，连PM，则PM为⊙O的一条切线；
（2）作AB的垂直平分线交劣弧AB于点E，连接QE并延长交⊙O于点C，则CQ平分∠ACB．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线等知识点，记住它们的判定和性质是解题关键．
20．(1)当时，平分；
(2)；
(3)存在，当时，与相切．
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案；
（2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案；
（3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，，，，，
是的直径，
，
在中，，
，，
，
，即，
，
，
当时，平分，
，
解得：，
当时，平分；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，即，
，
，，
，即，
，
；
（3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下：
如图，过点作于点，

由（1）（2）知：，，，，，，
，
，
，
与相切，
，
，
，
，
，即，
解得：，
当时，与相切．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接,由切线的性质可得，再证可得，然后根据切线的判定定理即可证明结论；
（2）如图，连接，先说明是的垂直平分线，则；运用勾股定理可求得、；再结合x的取值范围可得，然后分、两种情况解答即可．
【详解】（1）解：如图，连接,

是切线，
在和中
，
，即．
又为半径，
为切线．
（2）解：如图，连接，

，
是的垂直平分线．
．
在中,．
在中,．
又，
，即．
当时，．
当时，．
．
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握圆的切线的判定与性质是解题的关键．
22．米．
【分析】本题考查了解直角三角形，涉及了圆的切线的性质定理，根据题意可得和都是直角三角形．在 中可得，在 中可得，据此即可求解；
【详解】解：∵l 与 都相切，
∴和都是直角三角形．
设球的半径为 r．
在 中，由，得，
∴．
在 中，，
∵，
∴ ．
解得 ．
答：球的半径 约为 米．
23．（1）证明过程见解析；（2）⊙O的半径为，过程见解析．
【分析】（1）添辅助线，连接OD，∠BOD为的圆心角，∠FAE为的圆周角，且，可知∠BOD=∠FAE，根据同位角相等，两直线平行的公理，得ODAE，所以∠ODF=90°，即直线EF为⊙O的切线；
（2）设半径OD=r，在ODF和AEF中，∠F=30°，30°所对直角边为斜边一半，所以OF=2r，AF=3r=2，则半径可求得．
【详解】解：（1）如图所示，连接OD，
∵，∠BOD为的圆心角，∠FAE为的圆周角，
∴∠BOD=∠FAE，
又∵同位角相等，两直线平行，∴ODAE，
∵EFAE，∴∠AEF=90°，故∠ODF=90°，
∴直线EF为⊙O的切线．
（2）由（1）可知：∠AEF=∠ODF=90°，且∠F=30°，
在ODF中，设半径OD=r，30°所对直角边为斜边一半，则OF=2r，
∵AF=AO+OF=r+2r=3r，且AE=1，
∴AF=2AE=2，∴r=，
故⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的证明、圆周角定理以及含30°的直角三角形边长的计算，并运用到了同位角相等，两直线平行的公理，掌握以上定理就能解决类似的问题．
24．见解析
【分析】连接OE，根据等腰三角形等边对等角的性质可得：∠ABC=∠C，∠ABC=∠OEB 从而∠OEB=∠C，根据同位角相等两直线平行的判定，得OE∥AC ，因此由EF⊥AC可得OE⊥EF，由切线的判定定理即可得出结论．
【详解】证明：连接OE
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
又∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB．
∴∠OEB=∠C．OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF．
∵OE是⊙O半径，
∴直线EF是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出∠OEF为直角，难度一般．
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