3.8圆内接正多边形同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册

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3.8圆内接正多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法中：①经过半径的外端的直线是圆的切线；②过圆上一点有无数条直线与圆相切；③若正六边形为的内接正六边形，的半径为2，则这个正六边形的边心距为1；④等边三角形的内心与外心重合；⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，其中正确的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，正六边形内接于，的半径为2，则边心距的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形，当时，顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A． B． C． D．
5．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，点O是正六边形的中心，与相切于点P，连接AP．若，，则正六边形的面积是（ ）

A． B． C． D．
7．如图,AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点, ，弧AD=弧CD．则∠DAC等于（ ）
A． B． C． D．
8．在同一个圆中，内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
10．如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
11．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若所在的直线经过点， ，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（ ）.
A． B． C．7 D．8
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC=40°，则∠BCD的度数为（ ）

A．80° B．90° C．100° D．110°
二、填空题
13．如图，C、D是AB为直径的半圆O上的点，若∠BAD＝50°，则∠BCD＝ ．
14．如图，点O是正八边形外接圆的圆心，连接．
（1） ；
（2）若的半径长为4cm，则 cm．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝ ．
16．如图，已知AB为⊙O直径，若CD是⊙O内接正n边形的一边，AD是⊙O内接正（n+4）边形的一边，BD＝AC，则n＝ ．
17．如图，已知为直径，若是内接正边形的一边，是内接正边形的一边，，则 ．
三、解答题
18．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
19．尺规作图：如图，为的直径．
（1）求作：的内接正六边形；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中已画出的图形上连接，已知的半径为4，求的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容．
解：在中，连接．
∵正六边形内接于，
∴，
∴，
∴________（填推理的依据）．
∵为直径，
∴，
∵，
∴________．
20．如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
21．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CA的延长线与⊙O相交于点E，连结BE．
（1）求证：∠BAC＝2∠EBC．
（2）若AC＝5，BC＝8，求BE的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D A C C B A D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】根据切线的定义和性质，即可判断①②；画出图形，根据题意求出边心距，即可判断③；根据三角形内心和外心的定义，即可判断④⑤．
【详解】解：①经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线，故①不正确；
②过圆上一点只有1条直线与圆相切，故②不正确；
③如图，∵正六边形为的内接正六边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故③不正确；
④等边三角形的内心与外心重合，故④正确；
⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，故⑤正确；
综上，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握切线的定义和性质，三角形内心的定义和性质．
2．A
【分析】证明是等边三角形，得出，由垂径定理求出，再由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵六边形为正六边形，
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键．
3．A
【分析】以O为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，根据对称性从而可得答案．
【详解】解：如图以O为圆心，为半径作 ；
将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个；
即把绕点O顺时针旋转i个；
C旋转后对应点依次为，，……；
∵1周；
∴绕点O顺时针旋转12次回到原位置；
∵；
∴与重合；
如图：
∵多边形是正六边形；
∴每个内角为；
即；
∵正六边形是轴对称图形；
∴
∵；
∴；
∴坐标为；
由对称性得点，，
即的坐标为；
故选：A．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，正六边形的性质，对称性，锐角三角函数，掌握旋转的性质和轴对称以及中心对称是解题的关键；
4．D
【分析】这个三角形的外接圆的半径就是三角形的外心到其中一个顶点的长度，把圆的问题解决为三角形的问题求值即可.
【详解】解：设正△ABC的中心为O，
如图，连接OB，作OD⊥BC，由正三角形的边长可知BC=12，∠OBD=30°，
BD=6，
OB=BD÷cos∠OBD=6÷ =4 .
故选D.
【点睛】本题考查了正多边形和圆．关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解．
5．A
【分析】根据平行四边形的判定去判断①；根据必然事件的定义去判断②；根据方差的意义去判断③；根据圆内接正多边形的相关角度去计算④．
【详解】一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，①错误；必然事件是一定会发生的事件，遇到红灯是随机事件，②错误；方差越大越不稳定，越小越稳定，乙比甲更稳定，③错误；正六边形的边所对的圆心角是 ，所以构成等边三角形，④结论正确．所以正确1个，答案选A．
【点睛】本题涉及的知识点较多，要熟悉平行四边形的常见判定；随机事件、必然事件、不可能事件等的区分；掌握方差的意义；会计算圆内接正多边形相关．
6．C
【分析】连接，由点O为正六边形的中心，则经过点O且是等边三角形，过点A作交的延长线于点G，则，进一步得到，则，，在中，，由中位线的判定和性质得到，，即可得到，过点O作于点H，则，再求出，得到，即可得到正六边形的面积．
【详解】解：连接，

∵点O为正六边形的中心，
∴经过点O且是等边三角形，
过点A作交的延长线于点G，则，
∵与相切于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中， ，
∵O、P分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
过点O作于点H，则，
，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了切线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、正六边形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
7．C
【分析】利用圆周角定理得到，则，再根据圆内接四边形的对角互补得到，又根据弧AD=弧CD得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得出的度数．
【详解】∵AB为⊙O的直径
∵弧AD=弧CD
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，利用圆内接四边形的性质求出的度数是解题关键．
8．B
【分析】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
从中心向边做垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【详解】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长，
如图2，内接正四边形的边长，
如图3，正六边形的边长，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为．
故选：B．
9．A
【分析】此题考查的是正多边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
连接，由正六边形的性质可得，然后利用面积公式可得答案．
【详解】解：连接，由正六边形的性质可知，，，，
∴，
，
同理
空白部分面积和阴影部分面积的比值为：．
故选：A．
10．D
【分析】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：

则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得：，，
由勾股定理可得：，
∴，
故选：D．
11．D
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，先由正六边形的性质及邻补角性质得到△PMN为等边三角形，再由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长，进而可求出△PMN的面积，然后利用垂径定理求出PG的长，在直角△OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB＝xcm，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，
由题意得：∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，
∵小正六边形的面积为cm2，
∴小正六边形的边长为cm，即PM＝7cm，
∴S△MPN＝cm2，
∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG＝PM＝，OG＝PM＝，
在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP＝＝7cm，
设OB＝xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，
∴BH＝x，OH＝x，∴PH＝（5﹣x）cm，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2＝（x）2+（5﹣x）2＝49，
解得：x＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．
故选D.
【点睛】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质、灵活应用解直角三角形的知识是解本题的关键．
12．D
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠OAD=110°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．130°
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD=180°，代入求出即可．
【详解】∵C、D是AB为直径的半圆O上的点，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
∵∠BAD=50°，
∴∠BCD=130°．
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能根据圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD=180°是解答本题的关键．
14．
【分析】（1）根据多边形内角和公式求出角的度数；（2）求出，再根据勾股定理即可求得．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）连接，，
∵，
∴，
故答案为∶．
【点睛】此题考查了正多边形内角和勾股定理，解题的关键是熟悉正多边形内角和公式和勾股定理．
15．100°
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝100°，
∴∠ADE＝∠B=100°．
故答案为100°．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．
16．4
【分析】连接OD，OC．首先证明∠AOD=∠BOC，构建方程求解即可．
【详解】解：如图，连接OD，OC．
∵BD＝AC，
∴，
∴，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵∠AOD＝∠BOC＝，∠DOC＝，
∴2×=180°，
解得n＝4或﹣2（舍弃），
经检验n=4符合题意，
故答案为：4．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．
【分析】连接OD，OC，BC，根据题意首先证明∠AOD=∠BOC，再根据题意，分别用含n的式子表示出∠AOD和∠COD，建立关于n的方程求解即可．
【详解】如图，连接OD，OC，BC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
又∵，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD=BC，∠AOD=∠BOC，
∵是内接正边形的一边，
∴，
同理：是内接正边形的一边，
∴，
由，
得：，
解得：，或（不符合题意，舍去）
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，理解正多边形与圆的关系是解题关键．
18．填表见解析．
【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．
【详解】解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为：，面积为；
如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90°
由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，
∵边心距为1
∴，
∴边长为2，半径为 ，
∴周长为8，面积为4；
如图（3）所示：内角为120°，中心角，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOM=30°，AM=BM，
∴AO=2AM
∵边心距为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径为2，边长为2，
∴周长为12，面积，
故答案为：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
【分析】（1）用的半径去截圆周即可解决问题；
（2）连接，在中，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）的内接正六边形如图所示；
（2）在中，连接．
正六边形内接于，
，
，
（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
为直径，
，
，
，
故答案为：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
21．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接AD，由直接所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，再由等腰三角形三线合一可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，再根据圆内接四边形对角互补，可推出∠CAD＝∠CBE，即可得证；
（2）先证明△CAD∽△CBE，由相似比求出CE，进而得到AE的长，再利用勾股定理即可求出BE的长.
【详解】（1）证明：连接AD．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE＝180°，∠CBE+∠DAE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠BAC＝2∠CBE．
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBE，
∴△CAD∽△CBE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝﹣5＝，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，
∴BE＝＝＝．
【点睛】本题考查圆中的角度与弦长，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是关键.
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