第六章反比例函数同步练习（含解析） 北师大版数学九年级上册

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第六章反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大后减小
2．已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
3．如图．矩形的顶点在反比例函数（，）的图象上，点、分别是矩形的边，上的动点，直线分别交轴、轴于，两点．现给出如下命题：①若点、恰同在反比例函数（）的图象上，则；②；③．其中结论正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
4．对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．它的图象在第一、三象限
C．点(-3，-1)在它的图象上 D．函数图象关于原点中心对称
5．积为平方厘米的矩形，其长宽分别为厘米和厘米，则与之间的函数关系式的图象为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中有一矩形灰色区域，其中，点，有一动态扫描线为双曲线，当扫描线遇到灰色区域时，区域便由灰变亮，则下列能够使灰色区域变亮的的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，．当时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
8．若反比例函数的图像分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．若点在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图在电压不变的条件下，通过不断增加导体的电阻减小电流，导体的电阻与电流成反比例，I与R的函数图象如图所示，若电阻由减小到，则电流（ ）．
A．增大了 B．增大了
C．减小了 D．减小了
11．已知与成反比例函数，且经过点和点，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
12．下列函数中，值随的增大而减小的函数（ ）
A．； B．； C．； D．．
二、填空题
13．如图，已知反比例函数的图象经过点， 那么当时， x的取值范围是 ．

14．若点、均在反比例函数图象上，则、的大小关系是 ．
15．已知函数满足下列两个条件：①当x＞0时，y随x的增大而增大；②它的图象经过点（1，﹣2），请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ．
16．如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交y轴于点C，交双曲线于点B，若．则k的值是 ．

17．如图，正方形，的顶点，，在坐标轴上，点在上，点，在双曲线上，若点的横坐标为，则直线的函数解析式为 ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点．设直线的解析式为．
(1)求反比例函数和直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式的解集．
19．小东参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．
因为，所以可以对比反比例函数来探究．
【取值列表】如表列出了y与x的几组对应值，则______，______．
x … 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 2 3 m 0 n …
【描点连线】在平面直角坐标系中，已画出函数的图象，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，已描出了一些点，请再描出点和，并绘制函数的图象．
【观察探究】观察图象并分析表格，解决下列问题：
（1）判断下列命题的真假，真命题打“√”，假命题打“×”．
①函数随x的增大而增大______
②函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到______
③函数的图象关于点（0，1）成中心对称______
④函数的图象与直线没有公共点______
（2）利用函数的图象直接写出当时，x的取值范围．

20．小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调．
小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图．
(1)表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由；
（表1）
数据组别
吸管的长度 60 80 100 100
空气振动的频率 1.43 1.08 0.86 0.42
(2)根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音．
（表2）
音调
频率 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49
你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由．
21．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的关系式；
(2)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？
22．某海轮以每小时10千米的速度从港行驶到港，共用小时（不考虑水流速度）．
(1)写出时间(时）与速度(千米/时）之间的函数表达式；
(2)若返航速度增至每小时千米，则该海轮从港返回港（沿原水路）需几小时？
23．如图，在平面直角坐标系中，函数 （，是常数）的图像经过A(2，6)，B(m，n)，其中m>2．过点A作轴垂线，垂足为C，过点作轴垂线，垂足为，AC与BD交于点E，连结AD，，CB．
（1）若的面积为3，求m的值和直线的解析式；
（2）求证：；
（3）若AD//BC ，求点B的坐标 ．
24．如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第一象限，轴，反比例函数的图象经过顶点D．
(1)若，
①求反比例函数的解析式；
②证明：点C落在反比例函数的图象上；
(2)若，，求菱形ABCD的边长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A C A C C B A
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以当点A的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将不变．
【详解】解：依题意，△OAB的面积=|k|=1，
所以当点A的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将不变．
故选C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
2．A
【分析】本题考查反比例函数的性质，会利用反比例函数在象限内的增减性判断函数值的大小是解答的关键．根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大，
，
∴，
故选：A．
3．B
【详解】作于，于，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征可设，则的纵坐标为，点的横坐标为，得出，，，根据；故①正确；证得，但无法证得，故与不一定全等，故②错误；假设、分别是、的中点时，则，故③错误．
【解答】解：作于，于，如图，

设，则的纵坐标为，点的横坐标为，
、点在反比例函数的图象上，
，，，
；故①正确；
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
无法证得，
与不一定全等，故②错误；
点、分别是矩形的边，上的动点，
假设、分别是、的中点时，则，故③错误；
故选：B．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，用表示出、两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键．
4．A
【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】反比例函数
它的图象在第一、三象限，且关于原点中心对称，则选项B、D正确
在每个象限内，y随x的增大而减小，则选项A错误
当时，
即点在它的图象上，则选项C正确
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记反比例函数的图象与性质是解题关键．
5．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．依题意得出函数解析式即可得到答案．
【详解】解：一个面积为的矩形，长与宽分别为，，
，
，此时反比例函数过第一象限，
与之间的关系用图象可表示为反比例函数的一支．
故选C．
6．A
【分析】根据题意结合图形可得点C及点A分别为两个临界点，将两点代入即可得出k的取值范围．
【详解】解：当动态扫描线为双曲线（x＞0），经过点C时开始能使黑色区域变亮，
将点C（2，1）代入可得：k=2，
当动态扫描线为双曲线（x＞0），经过点A时开始不能使黑色区域变亮，
将点A（6，2）代入可得：k=12，
∴能够使黑色区域变亮的k的取值范围是：2≤k≤12．
∴能够使灰色区域变亮的的值不可能是：；
故选：A．
【点睛】本题是反比例函数在实际生活中的运用，难度一般，解答此类题目时一定要注意寻找临界点，这样可以得出临界值，结合题意可得出答案．
7．C
【分析】当时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方，由图像可直接得到答案．
【详解】解：当时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方，由图可知x的取值范围为或．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的的综合，能根据函数值的大小判断两函数图像的位置是解题的关键．
8．C
【分析】根据反比例函数的性质得，进行计算即可得．
【详解】解：∵函数的图像两支分布在第二、四象限内，
∴，
解得，
故选：C．
【点晴】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质：反比例函数的图像是双曲线；当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
9．B
【分析】本题考查了反比例函数的增减性，代入计算函数值，比较大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选：B．
10．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出电阻和时相应的电流即可得到答案．
【详解】解：设，
把代入中得：，
解得，
∴，
当时，，
当时，，
∴若电阻由减小到，则电流增大了，
故选：A．
11．D
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把点代入求出的值，进而得到与的函数关系式，根据图象上的点的横纵坐标的积是定值，即进行计算即可．
【详解】解：与成反比例，
设，
把点代入得，，
反比例函数解析式为；
，
故点的坐标可能是，
故选：．
12．A
【分析】此题考查函数的性质，熟知一次函数的性质及反比例函数的性质是解题的关键，根据函数性质依次判断即可．
【详解】A.是一次函数，，值随的增大而减小，故符合题意；
B.是正比例函数，，值随的增大而增大，故不符合题意；
C. 是一次函数，，值随的增大而增大，故不符合题意；
D.由得函数图象是两个分支，在每个象限内，值随的增大而减小，故不符合题意；
故选：A．
13．
【分析】本题考查求反比例函数的性质，根据图象法确定自变量的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，在每一个象限内，随的增大而减小，
∵图象经过点，
∴当时，；
故答案为：．
14．
【分析】根据反比例函数的图象性质判断即可；
【详解】∵反比例函数中＞0，
∴函数图象在第一、三象限且y随x的增大而减小，
∵点、均在反比例函数图象上，
∴A，B在第三象限，
∵-1＞-2，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，准确分析判断是解题的关键．
15．
【分析】根据当x＞0时，y随x的增大而增大推断出k与0的关系，再利用过点（1，﹣2）来确定函数的解析式．
【详解】∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴反比例函数的比例系数k＜0，
∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解答的关键是能够根据增减性确定函数的特点，然后根据待定系数法确定比例系数k的值．
16．
【分析】本题考查了反比例函数中系数k的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数k的几何意义是解决本题的关键．
过点A作轴于D，过点B作x轴于E，首先得到，，根据得到，进而求解即可．
【详解】解：过点A作轴于D，过点B作x轴于E，

∵轴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∵点A在双曲线上，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
故选答案为：．
17．
【分析】由点B的横坐标为2，根据图形得到正方形OABC的边长和点B的坐标，设出正方形ADEF的边长为a，由点B和E在同一个双曲线上，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而得到点E的坐标，设出直线BE的解析式为y=kx+b，把点B和E的坐标代入即可求出k和b的值，确定出直线BE的解析式．
【详解】设正方形ADEF的边长为a，由点B的横坐标为2，
得到正方形OABC的边长为2，即B坐标为（2，2），
则点E的坐标为（a+2，a）（a＞0），又点B和E在同一个双曲线上，
∴a（a+2）=4，即（a+1）2=5，解得：a=-1或a=--1（舍去），
∴点E坐标为（+1，-1），
设直线BE的函数解析式为y=kx+b，将点E和B的坐标代入得：
，解得，
∴直线BE的解析式为y=x+1+．
故答案为y=x+1+．
【点睛】此题考查了正方形及反比例函数的性质，以及会利用待定系数法求直线的解析式．解题的思路是设出正方形ADEF的边长，表示出点E的坐标，且由正方形OABC的边长求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线BE的解析式．
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、矩形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）根据点，利用待定系数法即可得反比例函数的解析式，再分别求出点的坐标，利用待定系数法即可得直线的解析式；
（2）根据的面积等于矩形的面积减去的面积之和即可得；
（3）结合函数图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
∵四边形是矩形，且，，
点的纵坐标为4，点的横坐标为6，
对于反比例函数，
当时，，即，
当时，，即，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：∵四边形是矩形，且，，，，
，，
，
则的面积为
．
（3）解：不等式可转化为，表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
所以由函数图象可知，不等式的解集．
19．取值列表：5，；描点连线：见解析；观察探究：（1）①×；②√；③√；④√；（2）或
【分析】取值列表：在中求出当和当时的函数值即可得到答案；
描点连线：根据表格中的数据，先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
观察探究：根据所画的函数图象进行求解即可．
【详解】解：取值列表：在中，当时，；当时，；
∴，
故答案为： 5，；
描点连线：绘制函数的图象，如图：

观察探究：
（1）①由函数图象可知，当或时，函数随x的增大而增大，故原说法错误；
②由函数图象可知，函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到，原说法正确；

③由函数图象可知，函数的图象关于点成中心对称，原说法正确；
④由函数图象可知，函数的图象与直线没有公共点，原说法正确；
故答案为：①×；②√；③√；④√；
（2）由函数图象可知，当或时，，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数函数值等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
20．(1)D
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）根据表中数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案；
（2）根据与都是正数，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据，可得与的函数解析式，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值，
所以D组数据是错误的，
故答案为：D．
（2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，
因此可设．
依据表1中三组数据求得：
，
，
．
，
，
当时，．
答：小明剪出的吸管长度是．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）设出反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求解即可；
（2）根据（1）所求可得I随R增大而减小，因此求出当时，的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为，
由题意得，点在函数的图象上，
∴，
∴，
∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为；
（2）解：∵在中，，
∴I随R增大而减小，
当时，则，解得，
∴当时，，
∴如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是．
22．(1)
(2)该海轮从港返回港需小时
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解路程不变时，时间与速度是反比例函数关系是解决本题的关键．
（1）货船行驶的路程不变，因而时间与速度成反比例函数关系，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）在解析式中令，即可求得时间．
【详解】（1）设函数的解析式是，把，得：，
则函数的解析式是：；
（2）当时，．
从港返回港（沿原水路）需5小时．
23．（1），y=-2x+10；(2) 见解析；(3) B(4，3)
【分析】（1）先求出k的值，进而得出mn=12，然后利用三角形的面积公式建立方程，联立方程组求解即可；
（2）先表示出BE，CE，DE，AE，进而求出BE CE和DE AE即可得出结论；
（3）利用（2）的结论得出△DEC∽△BEA，进而得出AB∥CD，即可得出四边形ADCB是菱形即可得出点B的坐标．
【详解】（1）∵函数y= （x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），
∴k=2×6=12，
∵B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，
∴mn=12①，BD=m，AE=6-n，
∵△ABD的面积为3，
∴BD AE=3，
∴m（6-n）=3②，
联立①②得，m=3，n=4，
∴B（3，4）；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y=-2x+10 ；
(2) ∵A（2，6），B（m，n），
∴BE=m-2，CE=n，DE=2，AE=6-n，
∴DE AE=2（6-n）=12-2n，
BE CE=n（m-2）=mn-2n=12-2n，
∴DE AE=BE CE，
∴ ；
(3) 由（2）知， ，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴△DEC∽△BEA，
∴∠CDE=∠ABE
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCB是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴四边形ADCB是菱形，
∴DE=BE，CE=AE．
∴B（4，3）．
故答案为（1），y= -2x+10；(2) 见解析；(3) B(4，3)
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解（1）的关键是确定出k的值，解（2）的关键是表示出DE AE，BE CE，解（3）的关键是判断出四边形ADCB是菱形．
24．(1)①；②见解析
(2)
【分析】（1）①过点D做y轴垂线交于点F，由为菱形得，，进而求得，从而求得即可求出反比例函数的解析式；②过点C做x轴垂线交于点G，先求得，即可判断C落在反比例函数的图象上；
（2）设，则，，从而求得BD=2BE=2，得进而有，解得，即可求解．
【详解】（1）①解：过点D做y轴垂线交于点F，
∵为菱形，
∴，，
易证四边形AOBE、AEDF为矩形
∴，
∴，
∴
②证明：过点C做x轴垂线交于点G，
易证四边形AEBO、ACGO为矩形
∴，
∴，
∴C落在反比例函数的图象上；
（2）解：∵，，DB=2BE，AC=2AE，
∴设，则，，
∴BD=2BE=2，
∴
∵D在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的边长为6．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
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