第一章直角三角形的边角关系同步练习（含解析）

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第一章直角三角形的边角关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将边长为的两个正方形纸片完全重合，按住其中一个不动，另一个绕点顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为，则这个旋转角度为（　　）

A． B． C． D．
2．在中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．在三角形ABC中，C为直角，sinA＝，则tanB 的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．如图，在边长为2的正方形中，若将绕点逆时针旋转，使点落在点的位置，连接并延长交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2014内蒙古包头）计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．至少一个角是60°的三角形
9．已知等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形的顶角为（ ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
10．一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　）
A． B． C． D．
11．下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算： ．
14．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是 .
15．利用光的折射原理，叉鱼时应瞄准鱼的下方．如图所示，当人看到水中的“鱼”在水面下方处时，应对准“鱼”的下方 处叉鱼（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）．（参考数据：，，，）

16．如图，P为ABC内一点，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠BPC=120°，若BP=，则PAB的面积为 ．
17．如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则＝ ．
三、解答题
18．（1）计算：．
（2）解分式方程：．
19．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短边长为1，的顶点都在格点上．
（1）用无刻度的直尺作图：找出格点，连接，使；
（2）在（1）的条件下，连接，求的值．
20．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，）
(1)求的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
21．综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．
如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上．
某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌．
(1)求点到地面距离的长；
(2)设建筑物的高度为（单位：）；
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数）
22．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，处距离灯塔有多远？（结果保留整数，参考数据：，，，）
23．【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：

（1）取，的中点D，E，在边上作；
（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；
（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；
（4）延长，交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T在一条直线上；
②四边形是矩形；
③；
④四边形与的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．
【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．
24．【问题初探】在数学活动课上，智慧小组在画圆直径所对的圆周角是时，受此启发，研制如图所示的“直角仪”（如图1）.木条为直径，木条为半径，“直角仪”由木条（即）和木条（即）组成，在的中点O点相连并可绕O转动．
【学习任务】已知中，，智慧小组成员在没有直角尺情况下，要借助这个“直角仪”，画出一个直角，使直角的一边过点F，另一边与直线相交．
【类比分析】
（1）如图2，小明同学把所作“直角仪”落在上，，转动让点C落在上，连接．求证．
【学以致用】
（2）如图3，小伟同学把落在上，发现，转动使，在直线上截取，连接，.求证．
【拓展提高】
（3）当“直角仪”时，在图4上按下列步骤顺序完成要求：
①请你按照（2）中图3的操作，利用这个“直角仪”完成任务，给出结论．
②按要求完成画图：延长交延长线于点P，Q为的中点，连接，N是的中点，连接，并且延长交于点R．
③若，直接写出的值（用含k的式子表示）．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B D D A D D C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】根据旋转前后图形不变得出，进而得出的度数，从而得出的度数，即可得出答案．
【详解】解：连接BM，

在和中，
重叠部分的面积为，
和的面积相等为，
，
解得，
，
，
这个旋转角度为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质和全等三角形的判定，得出是解题问题的关键．
2．B
【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得，如下图：
，则，A选项错误，不符合题意；
，则，B选项正确，符合题意；
，则，C选项错误，不符合题意；
，则，D选项错误，不符合题意；
故选B，
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．
3．A
【详解】试题分析：由sin A=，设∠A的对边是2k，则斜边是5k，∠A的邻边是k．
再根据正切值的定义，得tanB=
故选A．
考点：互余两角三角函数的关系．
4．B
【分析】求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：过点B作BH⊥y轴于H．
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠BAH=180°-120°=60°，AB=OA=2，
∴AH=AB cos60°=1，BH=AH=，
在Rt△OBH中，，
∴∠BOH=30°，
∴，B（，3），
由题意B1（ ，3），B2（ 2，0），B3（-，-3），B4（，-3），B5（2，0），…，旋转6次是一个循环，
∵，
∴B2022（，3），
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
5．D
【分析】由中，，，可得此时不唯一，从而可得答案.
【详解】解： 中，，，
两条边无法确定一个三角形，则的大小不能确定，故无法求解，
所以不能确定，
故选D
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟悉“锐角三角函数是在直角三角形中定义的”是解题的关键.
6．D
【分析】先由正方形的性质得到，，再由旋转的性质得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到，则，然后解求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，使点落在点的位置，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，锐角三角函数，正确得到是及解题的关键．
7．A
【详解】解：原式．
故选：A
8．D
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
【详解】解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用锐角三角函数求角度，三角形的判定，解题的关键是分类讨论．
9．D
【分析】分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角为锐角时，当等腰三角形的顶角为钝角时，即可求解．
【详解】解：如图，当等腰三角形的顶角为锐角时，
∵BD是△ABC的高线，
∴∠BDA=90°．
∵BD∶AB=1∶2，
∴，
∴∠BAD=30°；
当等腰三角形的顶角为钝角时，
∵FH为△EFG的高线，
∴∠FHG=90°．
∵FH∶EF=1∶2，
∴，
∴∠HEF=30°，
∴∠FEG=150°．
综上所述，该三角形顶角的度数为30°或150°．
故选D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
10．C
【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出AE的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．
【详解】解：如图，过A作于E，
则．
∵在中，，
∴
∵在中，
∴
∴
即旗杆的高度为．
故选：C．
11．D
【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，本选项不合题意；
B．，本选项不合题意；
C．1，本选项不合题意；
D．2（x 2y）＝2x 4y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
12．B
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
13．1
【分析】直接利用零次幂的性质得出答案．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查了零次幂的计算，比较简单．
14．解直角三角形
【详解】试题解析：由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形.
故答案为解直角三角形.
15．/
【分析】本题考查了解直角三角形，结合题意得出米，，解出长，在中，求出长，进而求出结论．
【详解】解：如下图，由题意得：米，

在中，，
，
在中，，
，
米，
米，
故答案为：．
16．
【详解】试题分析：P为△ABC内一点，∠BPC=120°设AB=2a,∵∠BAC=30°，∠ACB=90°∴BC=a;延长CP交AB于点D，CD即为△ABC边AB上的高，PD为△PAB的高；∠BPC=120°，则；在直角三角形BDP中PD= 又∵ ∴，BD= ∵ 在直角三角形BPD中 所以a= ,AB= ,△PAB的面积为=.
考点：三角函数
点评：本题考查三角函数，考生要掌握在直角三角形中运用三角函数解题，三角函数在中考中比较重要
17．
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为2，小正方形的边长为2，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是120，小正方形面积是20，
∴大正方形的边长为2，小正方形的边长为2，
∴2cosθ﹣2sinθ＝2，
∴cosθ﹣sinθ＝，
∴（sinθ﹣cosθ）2＝，
∴sin2θ﹣2sinθ cosθ+cos2θ＝，
∴1﹣2sinθ cosθ＝，
∴sinθ cosθ＝．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角函数的综合应用，准确计算是解题的关键．
18．（1）0；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的性质、特殊角锐角三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质化简，再合并，即可求解；
（2）先约去分母，化为整式方程，然后解出整式方程，再检验，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质，解分式方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）把一条直尺边与直线AC重合，沿着直线AC移动直尺，直到格点在另一直角边上，即为找出格点，连接；
（2）连接BD，根据勾股定理分别求出BD和AB的长度，从而求的值．
【详解】（1）如图，
（2）如图，连接，连接BD．
∵ ， ，
∴ ，
．
易知 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了几何作图以及三角函数的应用，掌握勾股定理求出对应边长代入三角函数是解题的关键．
20．(1)的长度为米
(2)甲选择的路线较近
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解；
（2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解．
【详解】（1）解：如图：作于，则，
，
由题意得：米，米，，，
∴在中，，，米，
∴米，米，
在中，，，
∴米，
∴米，
∴的长度为米；
（2）解：在中，，，米，
∴米，
∴米，
在中，，，米，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴甲选择的路线较近．
21．(1)的长为
(2)①的长为；②建筑物的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
（1）在中，利用30度角的性质求解即可；
（2）①在中，求出，在中，求出，进而可表示线段的长；
②过点作，垂足为，可得，从而，在中，构建方程即可求解．
【详解】（1）由题意得
在中，，
．即的长为．
（2）①在中，，
在中，由，得．
．即HE的长为
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
四边形是矩形．
，
∴．
在中，，
．即，
（m）．
答：建筑物的高度约为．
22．处距离灯塔约海里
【分析】过点作于点，由题意可知，，，在中，根据锐角三角函数求得，继而在中，根据锐角三角函数得即可求解．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
【详解】解：过点作于点，
，
由题意可知，，，
在中，，
（海里）．
在中，，
（海里）．
答：处距离灯塔约海里．
23．[任务1]见解析；[任务2]见解析；[任务3]
【分析】（1）由旋转的性质得对应角相等，即，，由三角形内角和定理得，从而得，即Q，A，T三点共线；
（2）梯形中位线的证明问题常转化为三角形的中位线问题解决，连接并延长，交的延长线于点E，证明，可得，，由三角形中位线定理得；
（3）过点D作于点R，由，得，从而得，由【发现】得，则，，由【任务2】的结论得，由勾股定理得．过点Q作，垂足为H．由及得，从而得，证明，得，从而得．
【详解】[任务1]
证法1：由旋转得，，．
在中，，
∴，
∴点Q，A，T在一条直线上．
证法2：由旋转得，，．
∴，．
∴点Q，A，T在一条直线上．
[任务2]
证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点E．
∵，
∴．
∵Q是的中点，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
又∵P是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．

[任务3]的方法画出示意图如图2所示．

由【任务2】可得，．
过点D作，垂足为R．
在中，，
∴．
∴，
∴，．
在中，由勾股定理得．
过点Q作，垂足为H．
∵Q是的中点，
∴．
在中，，
∴．
又由勾股定理得．
由，得．
又∵，
∴．
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、三点共线问题的证明、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、梯形的面积计算．
24．（1）见解析（2）见解析（3）①，②见解析，③
【分析】（1）根据题意得到，由三角形内角和定理得到，即可证明结论；
（2）延长，截取，连接，延长，使得，连接，首先说明，，在证明，最后证明是等腰三角形，由三线合一即可证明结论；
（3）①根据，得到，结合，推出，即，依据，，得出，进而得到，即，由，得到，易得，证明，得到，即可得出；②根据题意作图即可；③连接，先证明，利用三角形中线的性质，转化成三角形面积之间的比较即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）证明：如图，延长，截取，连接，延长，使得，连接，
，，
点O，点C分别是的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
点O是的中点，
是等腰三角形，
，
；
（3）解：①连接，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图所示：
③连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
Q为的中点， N是的中点，
，
设，，
，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，准确作出辅助线，构造三角形全等与相似是解题的关键．
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