1.1锐角三角函数同步练习（含解析）
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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
A． B．平分 C． D．
2．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作DE⊥AC于E，则△CDE的周长为（ ）
A．4+ B．6+ C．4+ D．6+
4．的值等于（ ）
A．； B．1； C．； D．.
5．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（3，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣；③sinα=；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤3．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
6．如图，点O是正五边形的中心，于点H．则（ ）
A． B．
C． D．
7．在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
8．如图，点A，B，C在正方形网格的格点处，等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将矩形纸片沿对角线所在直线折叠，点落在点处．过的中点作交于点．若 ，，则的长为( )
A． B．4 C． D．5
11．在中，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，，利用尺规作图：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为、；连接与交于点，与交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．比较大小： ．（填“”，“”，或“”）
14．如图，点P,M是锐角∠AOB的边OA上的两点，分别过点P,M作PQ⊥OB于点Q,MN⊥OB于点N.若PQ=4,MN=5,PM=2,则cos∠AOB=
15．在直角坐标系中，O为原点，点A（a，3）在第一象限，OA与X轴所夹的锐角为α，tanα=1.5，则a= .
16．已知，在中，，若，则 ．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanC＝ ．
三、解答题
18．在中，，求和．
19．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为小正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形．
（1）填空：________，________；
（2）请先在方格纸中画出一个格点三角形，使，并且．再回答：与的周长之比为________．
20．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米）
21．【问题提出】
（1）如图1，，A、D在上，B、C在上，，若，则的长为__________；
【问题探究】
（2）如图2，已知是等边三角形，D、E分别为上的点，且，连接．求证：；
【问题解决】
（3）如图3是某公园一块四边形空地，其中，米，米，，P、Q分别在上，且，是平行于的一条绿化带，E、F是线段上的两个动点（点E在点F的左侧），米，M在线段上运动（不含端点），且保持，管理人员计划沿铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
22．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：
(1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，）
(2)求的余弦值．
23．如图，已知，，，，过A作y轴的垂线交反比例函数 的图象于点D，连接，．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)求的值．
24．如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝a，点E为AD的中点，连接BE．过BE的中点F作FG⊥BE，交射线BC于点G，交边CD于H点．
（1）连接HE、HB
①求证：HE＝HB；
②若a＝4，求CH的长．
（2）连接EG，△BEG面积为S
①BE＝ （用含a的代数式表示）；
②求S与a的函数关系式．
（3）如图2，设FG的中点为P，连接PB、BD．猜想∠GBP与∠DBE的关系，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B B C C B C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据相似三角形的判定方法，对选项逐个判定即可．
【详解】解：A、∵
∴
又∵
∴，选项不符合题意；
B、∵平分
∴
∴，选项不符合题意；
C、根据得不到三角形的某个角相等，选项符合题意；
D、∵根据三角函数的定义可得，
∵，∴
∴，∴，选项不符合题意；
故答案为C
【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．C
【分析】根据锐角三角函数正切的定义即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正切，解题的关键是熟知：在直角三角形中，任意一锐角B的对边与邻的比叫做B的正弦，记作．
3．A
【分析】根据平行线分线段成比例可得是的中点，根据直角三角形斜边上的中线可得，根据中位线的性质可得，根据sinA＝，AB＝6，求得,在中，勾股定理求得，进而求得，然后根据三角形的周长公式即可求解．
【详解】∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，DE⊥AC，
，，
，
，
D是AB的中点，
，，
， ，
△CDE的周长为．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据即可求解，正确掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题．
【详解】解：．
故选：B．
5．B
【分析】根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系．
【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误
将A（3，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+3b
∴b=，
∴a﹣b=a﹣（）=4a﹣＞-，故②正确；
由正弦定义sinα=，则③正确；
不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象
则满足条件x范围为x≥3或x≤0，则④错误．
故答案为B．
【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．
6．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，根据题意可得，结合一个角的余弦值的定义可得，据此即可求解．
【详解】解：连接，
∵点O是正五边形的中心，
∴，
∵于点H，
∴，，
∵，
∴，
故选：C．
7．C
【详解】试题分析：锐角的正弦值是对应的边除以第三边，因为比例未变，所以该正弦值为改变，故选C
考点：直角三角形角的正弦值
点评：本题属于对直角三角形基本知识和正弦值概念的理解和运用
8．B
【分析】由勾股定理求出AC，AB，BC的长度，由勾股定理的逆定理判断△ABC是BC为斜边的直角三角形，即可求得．
【详解】解：由勾股定理可得
AC=，AB=，BC=
∵
∴△ABC是BC为斜边的直角三角形
∴
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求正弦，解答本题的关键是判断出△ABC的形状．
9．C
【分析】本题需先根据勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出的值．
【详解】，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键．
10．C
【分析】设交于点，，交于点，证明，得出，，进而证明，得出，，设，则，，在中，，勾股定理求得，进而根据，求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，，交于点，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正切的定义，矩形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．B
【分析】根据余切的定义：锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．
【详解】∵∠B=90°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．
12．B
【分析】由题意可知DE为AB的垂直平分线可求得AE的长，再运用勾股定理求得AC的长，然后再运用正弦的定义列式解答即可．
【详解】解：由题意可知DE为AB的垂直平分线，则AE=AB=
∴tan∠A=
∵在中，，，
∴AC=, tan∠A=
∴=，即=，解得DE=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法与性质、勾股定理以及正切的定义，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
13．
【分析】可以根据“正弦函数值与正切函数值都是随着锐角的增大而增大”，进行填空即可．
【详解】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了锐角三角函数，正弦函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．
14．
【详解】 ，得 ，故cos∠AOB= .
15．2
【详解】
∵点A(a，3)在第一象限，∴AB=3，OB=a，
又∵tanα==1.5，∴a=2.
故答案为2.
16．
【分析】根据三角函数的定义，设，则，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：，
∴设，则，
则，
，
故答案为
【点睛】此题考查了三角函数的定义和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
17．．
【分析】如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．Rt△AEC中，根据tanC=，求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．
Rt△AEC中，tanC＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．．
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的概念等知识点，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边，先由勾股定理求出，再利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，．
19．（1），；（2）图详见解析，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出的长，如图，在中利用正切的定义即可求出的值．
（2）将△ABC各边放大3倍即可画出符合要求的格点三角形，然后再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，根据勾股定理，得，∴，
在Rt△BCM中，；
故答案为：，；
（2）所画格点△如图所示，
∵，并且．
∴与的周长之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的作图和性质、勾股定理和锐角三角函数等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．44米
【分析】如图，作交于点G，交于点H，延长交于点F；通过三角函数计算求出线段，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出的长；根据相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果．
【详解】解：如图，延长交于点F，作交于点G，交于点H，
∵斜坡米，坡角，
∴米；
∵米，
∴米，
∵根据题意，
∴四边形是矩形，
∴米；
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
故这栋楼的高度为44米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键．
21．（1）5（2）见解析（3）390米
【分析】（1）首先根据条件证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形对边相等可得到即可；
（2）根据证明，进而解答即可；
（3）连接，过点D作于，根据米，求出米，米，证明，可得，在上截取米，连接，可得四边形是平行四边形，，则，根据，可得的最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵，A、D在上，B、C在上，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
故答案为：5；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点D作于H，
∵，
∴，
设，则，
∵米，，
∴，
解得（负值舍去），
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在上截取米，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为的长，
∵（米），
∴（米），
∴这两条水管的长度之和的最小值为390米．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．(1)千米，平方千米
(2)
【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点，理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键．
（1）先后在和中求得和的长，即可求得周长和面积；
（2）中，利用三角函数余弦的定义即可求出在中．
【详解】（1）解：千米，，
∴，
∴由勾股定理可得
千米．
又∵，
∴（千米）
∴周长为：（千米）
面积为：（平方千米）
故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米．
（2）在中，千米，千米，
∴．
故的余弦值为．
23．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用对边分别平行得到四边形为平行四边形，再根据平行四边形邻边相等即可证明结论；
（2）利用菱形的性质，得到D点坐标为，将其代入反比例函数解析式，得到，即可求出此反比例函数的解析式；
（3）根据平行线的性质，得到，利用勾股定理得到，求出，即可得到的值．
【详解】（1）
解：轴，在 x 轴上，，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，，，
，，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：四边形为菱形，
，，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过D点，
，
，
反比例函数的解析式为：；
（3）解：
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题考查了平行判定和性质，菱形的判定和性质，求反比例函数解析式，勾股定理，三角函数，熟练掌握坐标与图形的关系是解题关键．
24．（1）①详见解析；②；（2）①BE＝；②；（3）猜想：∠GBP＝∠DBE；详见解析
【分析】（1）①证明是的垂直平分线，即可得到答案，②先求解，利用由三角函数建立联系，求解 再求解 由同角的三角函数求解即可，
（2）①利用勾股定理直接得到答案，②先求解，利用由三角函数建立联系，求解从而可得答案，
（3）过作于 过作于，证明即可得到答案．
【详解】证明：（1）①如图， 是的中点，
是的垂直平分线，
②为的中点，
矩形
为的中点，
（2）①由
故答案为：
②为的中点，
由①知：
（3），理由如下：
证明：过作于 过作于，
则
由
为的中点，
由
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
A． B．平分 C． D．
2．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作DE⊥AC于E，则△CDE的周长为（ ）
A．4+ B．6+ C．4+ D．6+
4．的值等于（ ）
A．； B．1； C．； D．.
5．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（3，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣；③sinα=；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤3．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
6．如图，点O是正五边形的中心，于点H．则（ ）
A． B．
C． D．
7．在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
8．如图，点A，B，C在正方形网格的格点处，等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将矩形纸片沿对角线所在直线折叠，点落在点处．过的中点作交于点．若 ，，则的长为( )
A． B．4 C． D．5
11．在中，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，，利用尺规作图：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为、；连接与交于点，与交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．比较大小： ．（填“”，“”，或“”）
14．如图，点P,M是锐角∠AOB的边OA上的两点，分别过点P,M作PQ⊥OB于点Q,MN⊥OB于点N.若PQ=4,MN=5,PM=2,则cos∠AOB=
15．在直角坐标系中，O为原点，点A（a，3）在第一象限，OA与X轴所夹的锐角为α，tanα=1.5，则a= .
16．已知，在中，，若，则 ．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanC＝ ．
三、解答题
18．在中，，求和．
19．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为小正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形．
（1）填空：________，________；
（2）请先在方格纸中画出一个格点三角形，使，并且．再回答：与的周长之比为________．
20．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米）
21．【问题提出】
（1）如图1，，A、D在上，B、C在上，，若，则的长为__________；
【问题探究】
（2）如图2，已知是等边三角形，D、E分别为上的点，且，连接．求证：；
【问题解决】
（3）如图3是某公园一块四边形空地，其中，米，米，，P、Q分别在上，且，是平行于的一条绿化带，E、F是线段上的两个动点（点E在点F的左侧），米，M在线段上运动（不含端点），且保持，管理人员计划沿铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
22．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：
(1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，）
(2)求的余弦值．
23．如图，已知，，，，过A作y轴的垂线交反比例函数 的图象于点D，连接，．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)求的值．
24．如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝a，点E为AD的中点，连接BE．过BE的中点F作FG⊥BE，交射线BC于点G，交边CD于H点．
（1）连接HE、HB
①求证：HE＝HB；
②若a＝4，求CH的长．
（2）连接EG，△BEG面积为S
①BE＝ （用含a的代数式表示）；
②求S与a的函数关系式．
（3）如图2，设FG的中点为P，连接PB、BD．猜想∠GBP与∠DBE的关系，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B B C C B C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据相似三角形的判定方法，对选项逐个判定即可．
【详解】解：A、∵
∴
又∵
∴，选项不符合题意；
B、∵平分
∴
∴，选项不符合题意；
C、根据得不到三角形的某个角相等，选项符合题意；
D、∵根据三角函数的定义可得，
∵，∴
∴，∴，选项不符合题意；
故答案为C
【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．C
【分析】根据锐角三角函数正切的定义即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正切，解题的关键是熟知：在直角三角形中，任意一锐角B的对边与邻的比叫做B的正弦，记作．
3．A
【分析】根据平行线分线段成比例可得是的中点，根据直角三角形斜边上的中线可得，根据中位线的性质可得，根据sinA＝，AB＝6，求得,在中，勾股定理求得，进而求得，然后根据三角形的周长公式即可求解．
【详解】∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，DE⊥AC，
，，
，
，
D是AB的中点，
，，
， ，
△CDE的周长为．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据即可求解，正确掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题．
【详解】解：．
故选：B．
5．B
【分析】根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系．
【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误
将A（3，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+3b
∴b=，
∴a﹣b=a﹣（）=4a﹣＞-，故②正确；
由正弦定义sinα=，则③正确；
不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象
则满足条件x范围为x≥3或x≤0，则④错误．
故答案为B．
【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．
6．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，根据题意可得，结合一个角的余弦值的定义可得，据此即可求解．
【详解】解：连接，
∵点O是正五边形的中心，
∴，
∵于点H，
∴，，
∵，
∴，
故选：C．
7．C
【详解】试题分析：锐角的正弦值是对应的边除以第三边，因为比例未变，所以该正弦值为改变，故选C
考点：直角三角形角的正弦值
点评：本题属于对直角三角形基本知识和正弦值概念的理解和运用
8．B
【分析】由勾股定理求出AC，AB，BC的长度，由勾股定理的逆定理判断△ABC是BC为斜边的直角三角形，即可求得．
【详解】解：由勾股定理可得
AC=，AB=，BC=
∵
∴△ABC是BC为斜边的直角三角形
∴
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求正弦，解答本题的关键是判断出△ABC的形状．
9．C
【分析】本题需先根据勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出的值．
【详解】，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键．
10．C
【分析】设交于点，，交于点，证明，得出，，进而证明，得出，，设，则，，在中，，勾股定理求得，进而根据，求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，，交于点，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正切的定义，矩形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．B
【分析】根据余切的定义：锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．
【详解】∵∠B=90°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．
12．B
【分析】由题意可知DE为AB的垂直平分线可求得AE的长，再运用勾股定理求得AC的长，然后再运用正弦的定义列式解答即可．
【详解】解：由题意可知DE为AB的垂直平分线，则AE=AB=
∴tan∠A=
∵在中，，，
∴AC=, tan∠A=
∴=，即=，解得DE=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法与性质、勾股定理以及正切的定义，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
13．
【分析】可以根据“正弦函数值与正切函数值都是随着锐角的增大而增大”，进行填空即可．
【详解】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了锐角三角函数，正弦函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．
14．
【详解】 ，得 ，故cos∠AOB= .
15．2
【详解】
∵点A(a，3)在第一象限，∴AB=3，OB=a，
又∵tanα==1.5，∴a=2.
故答案为2.
16．
【分析】根据三角函数的定义，设，则，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：，
∴设，则，
则，
，
故答案为
【点睛】此题考查了三角函数的定义和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
17．．
【分析】如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．Rt△AEC中，根据tanC=，求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．
Rt△AEC中，tanC＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．．
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的概念等知识点，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边，先由勾股定理求出，再利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，．
19．（1），；（2）图详见解析，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出的长，如图，在中利用正切的定义即可求出的值．
（2）将△ABC各边放大3倍即可画出符合要求的格点三角形，然后再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，根据勾股定理，得，∴，
在Rt△BCM中，；
故答案为：，；
（2）所画格点△如图所示，
∵，并且．
∴与的周长之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的作图和性质、勾股定理和锐角三角函数等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．44米
【分析】如图，作交于点G，交于点H，延长交于点F；通过三角函数计算求出线段，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出的长；根据相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果．
【详解】解：如图，延长交于点F，作交于点G，交于点H，
∵斜坡米，坡角，
∴米；
∵米，
∴米，
∵根据题意，
∴四边形是矩形，
∴米；
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
故这栋楼的高度为44米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键．
21．（1）5（2）见解析（3）390米
【分析】（1）首先根据条件证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形对边相等可得到即可；
（2）根据证明，进而解答即可；
（3）连接，过点D作于，根据米，求出米，米，证明，可得，在上截取米，连接，可得四边形是平行四边形，，则，根据，可得的最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵，A、D在上，B、C在上，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
故答案为：5；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点D作于H，
∵，
∴，
设，则，
∵米，，
∴，
解得（负值舍去），
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在上截取米，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为的长，
∵（米），
∴（米），
∴这两条水管的长度之和的最小值为390米．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．(1)千米，平方千米
(2)
【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点，理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键．
（1）先后在和中求得和的长，即可求得周长和面积；
（2）中，利用三角函数余弦的定义即可求出在中．
【详解】（1）解：千米，，
∴，
∴由勾股定理可得
千米．
又∵，
∴（千米）
∴周长为：（千米）
面积为：（平方千米）
故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米．
（2）在中，千米，千米，
∴．
故的余弦值为．
23．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用对边分别平行得到四边形为平行四边形，再根据平行四边形邻边相等即可证明结论；
（2）利用菱形的性质，得到D点坐标为，将其代入反比例函数解析式，得到，即可求出此反比例函数的解析式；
（3）根据平行线的性质，得到，利用勾股定理得到，求出，即可得到的值．
【详解】（1）
解：轴，在 x 轴上，，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，，，
，，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：四边形为菱形，
，，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过D点，
，
，
反比例函数的解析式为：；
（3）解：
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题考查了平行判定和性质，菱形的判定和性质，求反比例函数解析式，勾股定理，三角函数，熟练掌握坐标与图形的关系是解题关键．
24．（1）①详见解析；②；（2）①BE＝；②；（3）猜想：∠GBP＝∠DBE；详见解析
【分析】（1）①证明是的垂直平分线，即可得到答案，②先求解，利用由三角函数建立联系，求解 再求解 由同角的三角函数求解即可，
（2）①利用勾股定理直接得到答案，②先求解，利用由三角函数建立联系，求解从而可得答案，
（3）过作于 过作于，证明即可得到答案．
【详解】证明：（1）①如图， 是的中点，
是的垂直平分线，
②为的中点，
矩形
为的中点，
（2）①由
故答案为：
②为的中点，
由①知：
（3），理由如下：
证明：过作于 过作于，
则
由
为的中点，
由
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
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