1.3三角函数的计算同步练习（含解析）

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1.3三角函数的计算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点均在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
3．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
4．已知，则的度数所属范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知 ，则α的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．若，则锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．的值等于( )
A． B． C． D．
12．下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
二、填空题
13．计算：= ．
14．计算 的值为 ．
15．计算：(sin30°+tan45°)·cos60°= ．
16． ．
17．计算：2cos30°+tan45°﹣4sin260°＝ ．
三、解答题
18．计算：．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，请按要求分别在图①、图②和图③中画出相应的图形，所画的图形的各个顶点均在格点上．（每个小正方形的顶点均为格点）
(1)请在图①中画一个以AB为斜边的等腰直角三角形ABC．
(2)请在图②中画一个四边形ABCD，使得它是一个中心对称图形，且相邻两边之比为2：1．
(3)请在图③中画出△ABE，使其面积为6，且有一个角的正切值等于1．
20．如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到）
(1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？
(2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，）
21．计算下列各题．
(1)
(2)
22．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，．
(1)求旗杆部分的长．
(2)求钢丝的总长度．（结果保留根号）
23．如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．
24．如图，内接于，且，是的直径，，交于点，为的延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若为的中点，求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B A D A D A A
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】利用网格确定所在的直角三角形，再利用正切的含义可得答案．
【详解】解：如图，
故选：
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，掌握利用网格构建直角三角形求解锐角的正切是解题的关键．
2．B
【分析】根据特殊角三角函数值，可得、的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
【详解】解：由，，得
，．
．
则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3．C
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：把sin60°=代入原式得：原式=2×=.
故选C.
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
4．B
【分析】首先求出45°和60°的正切值，再根据1.5与两个正切值的大小关系得到答案．
【详解】解：∵，正切值随着角度的增大而增大，且，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．A
【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键．
【详解】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键，
故选：A．
【点睛】本题主要考查计算器按键的作用，解题关键是熟练掌握计算器功能键的作用．
6．D
【分析】可根据三角函数的定义解答；亦可运用互为余角的锐角三角函数关系式：tanA=cotB；sin2A+sin2B=1（∠A+∠B=90°）解答．
【详解】解：如图所示，
Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．
根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA==cotB．正确；
B、sin2A+cos2A=()2+()2==1．正确；
C、sin2A+sin2B=()2+()2==1．正确；
D、tanA cotB= ，只有当∠A=∠B=45°时，tanA cotB=1．错误．
故选D．
【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值；
或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
7．A
【分析】根据计算器求锐角三角函数值的步骤进行判断即可．
【详解】
解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：
故选：A．
【点睛】本题考查了用计算器求锐角三角函数值，解题的关键在于熟练掌握计算器的应用．
8．D
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，根据的余弦值是解答，熟记的余弦值是是解题的关键．
【详解】解：，
，
故选：D．
9．A
【分析】由特殊角的三角函数值可求解．
【详解】解：∵．
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
10．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．
【详解】解：，为锐角，
，
故选：A．
11．C
【分析】把特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
12．C
【详解】试题分析：选项A、B、D中的数都小于1，C中的数大于1，所以最大的是tan46°
考点：比较数的大小
点评：本题考查比较数的大小，考生会估计一些数的大小进而比较它们的大小
13．3
【分析】利用绝对值的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：原式=-1+4-2×
=-1+4-
=3．
故答案为3．
【点睛】考查了实数运算，解题关键是熟记计算法则和运算顺序．
14．
【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的定义、立方根的定义以及绝对值的性质是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、零指数幂、立方根的定义以及绝对值的性质分别化简计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【详解】(sin30°+tan45°)·cos60°=（）×=.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊函数值.
16．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
17．1
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：2cos30°+tan45°﹣4sin260°
＝2×+1﹣4×
＝3+1﹣4×
＝4﹣3
＝1
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．1
【分析】按照负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂的运算法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点找到的垂直平分线与网格的交点，连接即可；
（2）根据网格的特点画出平行四边形，且，由,，确定点，进而根据平行四边形的性质即可确定的位置，连接即可；
（3）作，到的距离为，且，则将平移4个单位得到点，连接，即为所求
【详解】（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，四边形ABCD即为所求；
（3）如图③中，△ABE即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理与网格，平行四边形的性质与判定，已知特殊角的正切求角度，掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)
(2)，
【分析】（1）过点作于点，易证得，因而升高量，利用含度角的直角三角形的性质可求得，进而可求得升高量；
（2）过点作于点，由升降范围可求得，利用锐角三角函数可求得的大小，进而可求得点滑动的距离．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，
，
升高量，
，
在中，，
升高量，
答：这款电脑桌升高了；
（2）解：如图，过点作于点，
它的升降范围是，
，
在中，，
，
，
由（1）得：，
点滑动的距离为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
21．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．
（1）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角度三角函数、勾股定理、直角三角形的知识；
（1）根据特殊角度三角函数的性质，推导得以及，从而完成求解；
（2）结合（1）的结论，根据勾股定理的性质计算得；根据特殊角度三角函数和含角直角三角形的性质计算得，即可得到答案．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵，
∴．
∴
∴旗杆部分的长；
（2）∵，，，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴钢丝的总长度．
23．（1）菱形，证明见解析；（2）
【分析】（1）证出GB=GC=GD=CF，由菱形的性质的CD=CF=DE，DE∥CG，则DE=GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，由等腰三角形的性质得CH=BH=BC=，证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，由三角函数定义求出CG=1，则CD=1，由菱形的性质得DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE=60°，由三角函数定义求出DN=，则DF=2DN=．
【详解】（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB=GC=GD，
∵CF=GC，
∴GB=GC=GD=CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD=CF=DE，DE∥CG，
∴DE=GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD=GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，
∴CH=BH=BC=，△CDG是等边三角形，
∴∠GCD=60°，
∴∠DCF=180°﹣∠GCD=180°﹣60°=120°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠GCH=90°﹣60°=30°，
∴CG===1，
∴CD=1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE=∠DCF=×120°=60°，
在Rt△CND中，DN=CD sin∠DCE=1×sin60°=1×=，
∴DF=2DN=2×=．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）与相切，见解析；（3）
【分析】（1）先判断出，进而得出∠ADB=∠BAE，即可得出结论；
（2）先判断出AB是PE的垂直平分线，进而得出∠BAP=∠BAE，即可得出结论；
（3）先利用相似得出AB，进而用勾股定理求出AE，再判断出，进而求出CD，CE，即可得出AC，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：与相切．
理由如下：∵是的直径，
∴．
∵，
∴是的垂直平分线．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵点在上，
∴与相切．
（3）解：为的中点，
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
根据勾股定理，得．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴在中，．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的判定和性质，线段的垂直平分线，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握以上知识是解本题的关键．
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