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1.6利用三角函数测高
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶的路程AB为( )
A.(40+40)海里 B.(80)海里
C.(40+20)海里 D.80海里
2.如图:为了测楼房BC的高,在距离楼房10米的A处,测得楼顶B的仰角为,那么楼房BC的高为( )
A.10tana米 B.米 C.10sin米 D.米
3.有一拦水坝的横截面是等腰梯形,它的上底为米,下底为米,高为米,则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )
A., B., C., D.,
4.如图,一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m,此时小球距离地面的高度为( )
A.5m B.m C.m D.m
5.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是( )
A.3 B.2 C.3 D.3
6.温州市处于东南沿海,夏季经常遭受台风袭击.一次,温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处(如图),以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动,并检测到台风中心在移动过程中,温州市A将受到影响,且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域.则影响温州市A的时间会持续多长?( )
A.5 B.6 C.8 D.10
7.如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为( )
A.160m B.80m
C.120(-1)m D.120(+1)m
8.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆.已知观测点到旗杆的距离,测得旗杆的顶部的仰角,旗杆底部的俯角,那么,旗杆的高度是( )
A.m B.m C.m D.m
9.下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容:
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米,,
设树顶到地面的高度米,根据以上条件,可以列出求树高的方程为( )
A. B.
C. D.
10.如图,C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄,CD=6km,且D位于C的北偏东30°方向上,则AB的长为( )
A.2km B.3km C.km D.3km
11.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为2米,则这个坡面的坡度为( )
A.1:2 B.1:3 C.1: D.:1
12.如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A,C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°,矩形建筑物宽度AD=20 m,高度DC=30 m,则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为( )
A.(35+55)m B.(25+45)m C.(25+75)m D.(50+20)m
二、填空题
13.如图,要测量一段两岸平行的河的宽度,在A点测得,在B点测得,且AB=50米,则这段河岸的宽度为 .
14.如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶部A测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°,则建筑物CD的高度是 米.(结果带根号形式)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠B=,BC=5,D是AB边上一个动点(不与点A、B重合),E是BC边上一点,且∠CDE=∠B.则BE长的最大值为 .
16.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量.如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为 .
17.如右图所示,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,已知AB=6,AD=5,BC=4,则CE=
三、解答题
18.为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点处观测气球,测得仰角为30°,然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测得仰角为45°.若小明的眼睛离地面1.6m ,小明如何计算气球的高度呢(精确到0.1m)
19.如图,在等腰△ABC中,AB=BC=4,点O是AB的中点,∠AOC=60°,点P是射线CO上的一个动点,若当△PAB为直角三角线时,试画出可能的图形(两种即可),并求出相应图形中的AP的长.
20.如图,分别表示用测倾器测量观测目标的仰角和俯角,铅垂线所指的度数分别为,,那么我们就说观测目标的仰角为,俯角为,这种说法正确吗?请说明原因.
21.郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站,也是以高速铁路为中心,集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽.某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面),测量方案如图2,先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P,在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q,此时测得东站入口底端B的俯角为 ,求东站入口 的高度.(直线l,点A,B,P,Q均在同一平面内.参考数据: ,,)
22.如图1,是H市人工天鹅湖畔的一尊雕塑A,雕塑A及另三个雕塑B、C、D的在湖岸边的平面分布如图2,某班综合实践小组分别在雕塑A、B两处设置观测点.在A处测得:雕塑B在西北方向,雕塑C在正北,雕塑D在北60°东;在B处测得:雕塑C在东北方向,雕塑D在正东.
(1)求证:AB=CB,AD=CD;
(2)已知AB=800米,求B、D之间的距离.(结果精确到1米)
(参考数据:≈1.73,≈1.41,≈2.45)
23.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,CE⊥AB于E.
(1)若AB=AD+2BE,求证:BC=DC;
(2)若∠B=60°,AC=7,AD=6,,求AB的长.
参考答案:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B C D A D B B
题号 11 12
答案 A C
1.A
【详解】试题分析:根据题意可得:△APC为等腰直角三角形,则AC=PC=40海里,根据Rt△BCP的性质可得:BC=40海里,则AB=AC+BC=(40+40)海里,故选A.
2.A
【详解】试题分析:根据题意得:tan∠A=,则BC=AC·tan∠A=10tanα.
考点:锐角三角函数的计算.
3.D
【分析】过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC,那么ADEF平行四边形,所以BE=(BC-AD),而AE已知,所以坡度和坡角就可以解出.
【详解】解:如图,
过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC.
∵ABCD为等腰梯形,
∴BE=(BC-AD)=2.
∴坡度==
∴坡角=∠B=60°
故选D.
【点睛】此题考查了学生对等腰梯形的性质,坡度坡角的计算等知识点的掌握情况.
4.B
【详解】设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为 所以解得
5.C
【详解】如图,
过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,∵∠ADC=∠ABC=90°,∴四边形DPBE是矩形,∵∠CDE+∠CDP=90°,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,∴∠ADP=∠CDE,∵DP⊥AB,∴∠APD=90°,∴∠APD=∠E=90°,在△ADP和△CDE中,
,
∴△ADP≌△CDE(AAS),∴DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP=故答案为:.
6.D
【详解】试题分析:过点A作AD⊥BC于D,由题意得AB=300,∠ABD=30°,∴AD =150(km),
温州市点A受到台风严重影响设风台中心距A点200km处,刚好处在BC上的E,F两点
则在Rt△ADE中,AE=200,AD=150 ∴DE=50km, ∴EF=2DE=100km,
则t=100÷10=10h,故选D.
7.A
【详解】试题分析:过点A作AD⊥BC,则CD=120m,BD=40m,则BC=CD+BD=160m.
考点:三角形函数的应用.
8.D
【分析】本题考查了仰角俯角解直角三角形的应用问题,掌握解直角三角形的知识是解题的关键.
利用的正切值可求得;利用的正切值可求得,有.
【详解】解:在中,有(),
在中,有 (),
∴ ().
故选:D.
9.B
【分析】根据∠β=45°,得出BC=CD=x,再根据,用它的正切列方程即可.
【详解】解:∵,
∴BC=CD=x,
∵AB=30,
∴AC=x+30,
∴tan28°=,
∴x=(x+30)tan28°,
故选:B.
【点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义,本题属于基础题型.
10.B
【详解】试题分析:过点C作CE⊥BD,则∠DCE=30°,根据CD=6km可得:CE=3km,故AB=CE=3km,故选B.
11.A
【详解】试题分析:根据坡面距离和垂直距离,利用勾股定理求出水平距离,然后求出坡度.
解:水平距离==4,
则坡度为:2:4=1:2.
故选A.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
12.C
【详解】设CG=xm,由图可以知道:EF=(x+20) ·,FG=x·,
则(x+20) ·+30= x·,
计算出x=,
则FG= x·==m,
故选C.
13.米
【详解】试题分析:过O作OD⊥AB于D,∵,,∴∠α=∠AOB=30°,∴OB=AB=50,在△OBD中,BC=OB=25,OD=BC=.故答案为米.
考点:解直角三角形.
14.60-20.
【详解】试题解析:作CF⊥AB于F,
则四边形BDCF为矩形,
∴CF=BD,
∵∠ADB=45°,
∴BD=AB=60,
∴CF=BD=60,
在Rt△AFC中,tan∠ACF=,
AF=FC×tan∠ACF=60×=20,
∴BF=AB-AF=60-20,
则CD=BF=(60-20)米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
15.
【详解】试题分析:根据∠CDE=∠B,∠DCE=∠DCB可得△CDE∽△CBD,则,即CD =BC·CE,要使BE达到最大值,即CE要最小值,CD为最小值,当CD⊥AB时,则CD最小,根据∠B的正切值和BC的长度求出CD的长度,然后进行计算.
考点:三角形相似的应用.
16.51m
【分析】由题意易得:∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,即可证得△ABD是等腰三角形,然后利用三角函数,求得答案.
【详解】根据题意得:∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°,
∴∠ADB=∠A=30°,
∴BD=AB=60m,
∴CD=BD sin60°=603051(m).
故答案为:51m.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.注意证得△ABD是等腰三角形,利用特殊角的三角函数值求解是解答本题关键.
17.
【分析】根据三角形面积公式列式即可得答案.
【详解】∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴S△ABC=BC AD=AB CE,
即×4×5=×6 CE,
解得CE=.
【点睛】本题考查了三角形的面积,熟记面积公式并列出方程是解题的关键.
18.
【详解】试题分析:如图根据题意画出图形,延长DD′交AB于E,设AE=xm,在Rt△AD′E和Rt△AED中利用特殊角的三角函数值表示出各边长,tan30°得出方程,然后解方程即可解决问题.
试题解析:如图;根据题意可得:DD′=50m,CD=C′D′=1.6m,延长DD′交AB于E,则DE⊥AB;设AE=xm,在Rt△AD′E中,∠AD′E=45°,∴D′E=AE=xm;在Rt△AED中,∠ADE=30°,AE=x,DE=50+x,则tan30°=,∴,解得x=m,
∴AB=AE+BE=+1.6m
考点:解直角三角形的应用.
19.见解析
【详解】试题分析:利用分类讨论,当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:易得∠PAB=30°,利用锐角三角函数得AP的长;情况二:如图2,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论;当∠ABP=90°时,如图3易得BP,利用勾股定理可得AP的长;.
解:当∠APB=90°时,分两种情况.
情况一:如图1,
∵AO=BO,
∴PO=BO,
∵∠AOC=60°,
∴∠BOP=60°,
∴△BOP为等边三角形,
∵AB=BC=4,
∴AP=AB sin60°=4×=2;
情况二:如图2,
∵AO=BO,∠APB=90°,
∴PO=AO,
∵∠AOC=60°,
∴△AOP为等边三角形,
∴AP=AO=2,
当∠ABP=90°时,如图3,
∵∠AOC=∠BOP=60°,
∴∠BPO=30°,
∴BP=OB=2,
在直角三角形ABP中,
AP==2,
综上所述,AP的长为2或2或2.
考点:勾股定理;等腰三角形的性质;解直角三角形.
20.正确,理由见解析.
【分析】此题考查了仰角与俯角的定义,由为水平线,为铅垂线,则,从而可证,同理可证图中,能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.
【详解】解:这种说法正确,理由如下:
如图,
∵为水平线,为铅垂线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵如图,,
∴,
∵,
∴,
综上可知,,就是观测目标P时的仰角和俯角.
21.东站入口的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用,正确理解题中的数量关系是解题的关键.延长 交 的延长线于点 C,在中,可求得,所以,,在 中,根据,即可求得,由此即得答案.
【详解】延长 交 的延长线于点 C,
由题意,得,,,
在中,,
,
,
,
,
在 中, ,
,
.
答: 东站入口的高度约为.
22.(1)AB=CB,AD=CD;
(2)BD之间的距离为1544米.
【详解】试题分析:(1)由方向角的定义可知BD⊥AC,∠BAC=∠BCA=45°,∠CAD=60°,根据等角对等边可证明AB=BC,然后依据等腰三角形三线合一的性质可证BD是AC的垂直平分线,从而得到CD=AD;
(2)在△AOB中依据特殊锐角三角函数值可求得OB和OA的长,然后在△OAD中依据特殊锐角三角函数值可得到OD的长,从而可求得BD的长.
试题解析:(1)设BD、AC交于点O.
∵由题意可知BD⊥AC,∠BAC=∠BCA=45°,∠CAD=60°.
∴AB=BC.
∵AB=BC,BD⊥AC,
∴AO=OC.
∴BD是AC的垂直平分线.
∴DC=DA.
(2)在Rt△AOB中,AB=800,∠BAO=45°,
∴BO=AO=800×=400.
在Rt△AOD中,AO=400,∠DAO=60°,
∴DO=400.
∴DB=BO+DO=400+400≈1544(米).
∴BD之间的距离为1544米.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
23.(1)证明见解析;(2)8.
【详解】试题分析::(1)在AB上取点F,使得EF=BE,然后根据已知条件可以推出△AFC≌△ADC,再根据全等三角形的性质即可证明结论;
(2)根据和AC=7,AD=6可以求出∠DAC的正弦值,而AC平分∠DAB,由此可以利用三角函数求出CE,再利用勾股定理即可求出AE、BE,最后求出AB.
试题解析:(1)证明:如图,在AB上取点F,使得EF=BE,
∵CE⊥AB,
∴FC=BC,
∵AB=AD+2BE,而AB=AF+2BE,
∴AD=AF.
在△AFC和△ADC中,
AD=AF,∠CAF=∠CAD,AC=AC,
∴△AFC≌△ADC.
∴DC=FC.
∴BC=DC.
(2)解:在△ADC中,∵S△ADC=×6×7sin∠DAC=,
∴sin∠DAC=,
而AC平分∠DAB.
∴.
∴CE=.
∴AE=.
∴BE=.
∴AB=AE+EB=8.
考点:1.解直角三角形;2.全等三角形的判定;3.勾股定理.
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