2.2二次函数的图像与性质同步练习（含解析）

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2.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的开口方向（ ）
A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
2．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．抛物线上的一个点是( )
A． B． C． D．
4．二次函数的最大值是（ ）
A．3 B．0 C．1 D．
5．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3
y 1 m n 1
下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，抛物线交轴于，两点，与轴的交点在，之间（包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④（为实数）；⑤方程必有两个不相等的实根．其中结论正确有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+2c＞0；④对于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b≥0，正确个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若二次函数y＝-x2+px+q的图像经过A（，n）、B（0，y1）、C（，n）、D（，y2）、E（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
9．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是( )
A．若，则二次函数y的最小值大于0
B．若，则二次函数y的最小值小于0
C．若，则二次函数y的最小值小于0
D．若，则二次函数y的最小值大于0
11．二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③方程有实数根；④若点、、在该函数图象上，则；⑤，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
二、填空题
13．抛物线的顶点在第四象限，则的取值范围是 ．
14．已二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
… -1 0 1 2 3 4 …
… 10 5 2 1 2 5 …
若，两点都在该函数的图象上，当＝ 时，＝.
15．函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ．
16．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：
①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，x的值只能取0．其中正确的是 （将所有正确结论的序号都填入）

17．已知二次函数，（为常数）当时，函数值的最大值为2，则的值是 ．
三、解答题
18．我们知道：
（1）观察以上结果，可以发现： ； ；
（2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简：
19．已知抛物线y=x2﹣2x﹣3
（1）求出该抛物线顶点坐标．
（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x … …
y … …
20．如图一个五边形的空地ABCDE，，，，已知，，，，准备在五边形中设计一个矩形的休闲亭MNPQ，剩下部分设计绿植．设计要求，，矩形MNPQ到五边形ABCDE三边AB，BC，CD的距离相等，都等于，延长QM交AE与H，．

（1）五边形ABCDE的面积为________；
（2）设矩形MNPQ的面积为，求y关于x的函数关系式；
（3）若矩形MNPQ休闲亭的造价为每平方米0.5万元，剩下部分绿植的造价为每平方米0.1万元，求总造价的最大值．
21．已知二次函数（为常数）．
(1)若该函数的图像经过点，则
①的值为______；
②当时，的取值范围为______．
(2)当时（其中，为实数，），的取值范围为．直接写出，的值或取值范围．
(3)当时，的最小值为，求的值．
22．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
23．证明：无论a取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．
24．如图，在中，．点D为线段上一动点（不与点A，C重合），把线段绕点B顺时针旋转后并延长为原来的2倍得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知，设，在点D的运动过程中，的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D C C B A A B
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】根据二次函数的性质即可解决问题．
【详解】∵，,
∴抛物线开口向下，
故选:D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．C
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解．
【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴，，
∴，，
代入
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，
∴，
∴，
∴④正确，符合题意，
∵，
∴，，
当时，，
∵，
∴，
∴，即，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
3．C
【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验．
【详解】A、x=2时，=16≠-8，点（2，-8）不在抛物线上；
B、x=2时，=16≠-2，点（2，-2）不在抛物线上；
C、x=-2时，=0，点（-2，0）在抛物线上；
D、x=-2时，=0，点（-2，-8）不在抛物线上．
故选C．
【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系．
4．D
【分析】根据二次函数的性质，时，有最大值k；
【详解】解：∵，
∴当时，最大值为；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质；掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据表格中数据，可以求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系．
【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为，
∵
∴
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由图象及题意可知，，根据对称轴为直线得，
∴，
∴，故①错误；
抛物线交轴于，
∴，
∴，故②正确；
∴，
∵点在，之间，
∴，
∴，
∴，故③正确；
当时，该抛物线有最高点，即最大值是，
当时，则有，
∴，即（为实数）；故④错误；
关于方程，，
∵，
∴，，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根，故⑤正确；
综上所述：②③⑤正确，故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．B
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线与x轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用b＝﹣2a可对②进行判断；由于x＝﹣1时，y＝0，所以a﹣b+c＝0，则c＝﹣3a，3a+2c＝﹣3a＜0，于是可对③进行判断；根据二次函数性质，x＝1时，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，于是可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，即a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3a+2c＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，所以③错误；
∵x＝1时，y的值最小，
∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，
即ax2﹣a+bx﹣b≥0，所以④正确．
故选B．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与二次函数图像的关系.
8．A
【分析】利用A点与C点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点B、D、E离对称轴的远近求解．
【详解】∵二次函数y＝-x2+px+q的图像经过A（，n）、C（，n），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点D（，y2）的横坐标：
，离对称轴距离为，
点E（，y3）的横坐标：
，离对称轴距离为,
∴B（0，y1）离对称轴最近，点E离对称轴最远，
∴y3＜y2＜y1．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式，根据抛物线上的对称点坐标得到对称轴是解题的关键．
9．A
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为：，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象的平移规律，熟练掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查二次函数最值的求法．将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可．
【详解】解：∵，且，
∴当时，函数最小值为，
则当时，则二次函数的最小值小于0．
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由对称轴为直线可得即可判断①；根据当时，即可判断②；根据抛物线图象得出，从而得出即可判断③；根据点离对称轴的距离即可判断④；根据二次函数的最值为得到对任意数都有，，即可判断⑤，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：函数对称轴为直线，
，
，
，故①正确，符合题意；
由图可得：当时，，
，故②错误，不符合题意；
抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
，
，
方程有实数根，故③正确，符合题意；
，，，，
，故④错误，不符合题意；
由图可得：当时，最大，
对任意数都有，，
，即，故⑤正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③⑤，共3个，
故选：B．
12．D
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先根据对称性求出点也在改二次函数图象上，再根据函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，
∴点也在改二次函数图象上，
∴由函数图象可知，当时，或，
∴不等式的解集是或，
故选：D．
13．
【分析】根据抛物线顶点坐标公式，用m表示出抛物线的顶点坐标，再由已知条件得出，抛物线顶点横坐标大于0，纵坐标小于0，从而解得m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
又∵抛物线，
∴，，，
∴抛物线的顶点为．
∵抛物线的顶点在第四象限，
∴，
化简得，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，以及平面直角坐标系中具体象限的点坐标的特征，一元二次不等式的解法，正确运用上述基础知识是解题的关键．
14．
【详解】试题分析：根据表中的对应值得到x=1和x=3时函数值相等，则得到抛物线的解析式为直线x=2，由于y1=y2，所以A（m，y1），B（m+1，y2）是抛物线上的对称点，则2-m=m+1-2，然后解方程即可．
试题解析：∵x=1时，y=2；x=3时，y=2，
∴抛物线的解析式为直线x=2，
∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，y1=y2，
∴2-m=m+1-2，
解得m=1．5．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
15． 向上 y轴 （0，0）
【分析】牢记二次函数的图象的性质即可得到答案．
【解答】解：二次函数的，
图象开口向上，对称轴是轴，顶点坐标是；
故答案为：上，轴，．
16．②③/③②
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数系数符号的确定．①根据图象开口向上可知，而对称轴，由此可以判定①；
②根据对称轴，知和关于直线对称，从而得到它们对应的函数值相等；
③把，代入函数，求得，，解方程组即可求出的值；
④根据图象可得当时，的值有两个．
【详解】解：①由图象开口向上，则，
对称轴，
，
、异号，故此选项不合题意；
②对称轴为直线，
直线和直线关于直线对称，
它们对应的函数值相等，故此选项符合题意；
③由，整理得，故此选项符合题意；
④由图象可得当时，的值有两个，故此选项不合题意．
故答案为：②③．
17．或
【分析】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据的最大值为2，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】解：，
①若，当时，，
解得：；
（舍去）；
②若，当时，，
解得：；
③若，当时，，
解得：或（舍，
的值为或，
故答案为：或．
18．(1)a,-a;(2)-m+1
【分析】(1)根据题目和二次根式的性质可直接得出结果；
（2）由点P（m,n)在抛物线上可得，由n>0得据此推出
m-1即可求解.
【详解】（1）当a0时，，当a时，；
（2）∵点P（m,n)在抛物线上，
∴
∵n>0，
∴
∴
,∴
∴m-1
∴ .
故答案为：(1)a,-a;(2)-m+1.
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，抛物线上点的坐标特点.
19．（1）（1，﹣4）；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；
（2）利用描点法画出二次函数的图象．
解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
故该抛物线顶点坐标为：（1，﹣4）；
（2）如图所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
．
考点：二次函数的图象；二次函数的性质．
20．（1）115；（2）；（3）总造价的最大值为24. 3万元．
【分析】（1）将五边形补全为一个矩形，然后利用矩形面积减去三角形的面积得出结果；
（2）利用根据图中的数据，将PQ，MQ用含x的式子表达出来，然后求解即可；
（3）根据（2）的关系式，得出，当时，即可得出最大值.
【详解】解：（1）如图示，

五边形ABCDE的面积为：
；
（2）由题意可以得：，
（3）设总造价为w（万元）
∴
∴当时w最大值，
答总造价的最大值为24. 3万元．
【点睛】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想．
21．(1)①；②或
(2)；
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，借助函数图像，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）①将点代入函数解析式中，即可求解；②依据题意，令，，分别求出自变量的范围即可求解；
（2）依据题意可得抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称，从而求出值，进而得到二次函数的解析式，再根据自变量的取值范围是，可求出值，最后根据抛物线的顶点求出的范围；
（3）先把抛物线化为顶点式，由时，的最小值为，可分两种情况讨论：①当时，在处取得最小值；②当时，在顶点处取得最小值，求的最小值即可求解．
【详解】（1）①二次函数（为常数）经过点，
，
，
故答案为：；
②由①知，
当时，则，
解得：或，
当时，则，
解得：，
，
当时，的取值范围有两部分，
或，
故答案为：或；
（2）由题意得的取值只有一段，可知抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称，
，
，
，
时，有最小值，
，
当或时，，；

（3），
抛物线的对称轴为，
①当时，在处取得最小值，
即，
解得；

②当时，在顶点处取得最小值，

即，
解得：，
，
，
综上所述，或．
22．(1)
(2)当售价定为元时，每天的利润为140元
(3)当售价为 元时，利润最大为．
【分析】（1）设售价单价提高元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式；
（2）售价为元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题中等量关系为：利润（售价进价）售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值．
【详解】（1）解：设售价单价提高元，则
；
（2）解：由题可知售价为元，
即，
解得，，
故售价为：或，
需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
当售价定为元时，每天的利润为140元；
（3）解：，
当时，最大值为，
故售价为，
当售价为 元时，利润最大为．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润（售价进价）售出件数是解答此题的关键．
23．见解析
【分析】将抛物线解析式按照含a的项和不含a的项整理，令含a的项系数为0，可求此时x、y的值，即定点坐标；将抛物线解析式整理为顶点式，可确定顶点坐标，令顶点横坐标为x，纵坐标为y，消去a，可得出x、y的关系式，判断关系式为抛物线解析式即可．
【详解】证明：，
当时，，
即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M，
又，
故抛物线的顶点坐标为，
即，消去a得，
，
这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．
【点睛】本题考查了抛物线上定点坐标的求法，顶点坐标的求法及顶点坐标满足的关系式，需要灵活掌握．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)20
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题：
（1）由旋转的性质可得，进而推出，再证明即可证明；
（2）由相似三角形的性质得到，则，即可证明；
（3）由相似三角形的性质得到，由勾股定理求出，则，进而得到，则当时，有最大值，最大值为20．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为20．
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