2.4二次函数的应用同步练习（含解析）

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2.4二次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．给出以下四个命题：
①将一个n边形的纸片用剪刀剪去一个角（n≥4且剪裁线是直线），则剩下的纸片是n-1或n+1边；
②若x-|x-3|=1，则x=1或3；
③已知函数y=（2k-3）xk-3+是关于x的反比例函数，则k=；
④已知二次函数y=ax2+bx+c且a＞0，a-b+c＜0，则b2-4ac≤0．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升 空到引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
4．将二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象向上平移5个单位，若平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣3 B．k≤﹣3 C．k＞﹣3 D．k≥﹣3
5．如图，在直角坐标系xoy中，已知，，以线段为边向上作菱形，且点在y轴上．若菱形以每秒2个单位长度的速度沿射线滑行，直至顶点落在轴上时停止．设菱形落在轴下方部分的面积为，则表示与滑行时间的函数关系的图象为
A． B． C． D．
6．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为（　　）
A．2m B．2m C．m D．3m
7．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE ED DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论错误的是（ ）
A．AB=4 cm B．当时，△BPQ的面积是定值
C．当时， D．当秒时，
8．小明同学到美林谷参加滑雪运动，为了得出滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系式，小明爸爸帮助他测得一些数据
滑行时间 0 1 2 3
滑行距离 0 14
相信你能根据上表帮助小明计算他滑行6秒时的滑行距离大约是：（ ）
A． B． C． D．
9．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．20
10．如图，正方形的边长为4．点，,,分别在边,,,上（编点除外），且．分别将，，，沿，，，翻折，得到四边形，设，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形中，边，为边上任意一点，点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位．设，同时出发秒时，的面积为．则下列反映与的函数关系的大致图象可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，则：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤4ac＞b2，其中判断正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．已知二次函数与轴交于两点，与轴交于点．下列说法：
①抛物线的对称轴为直线；②点坐标为；③若是轴上的一个动点，是此抛物线上的一个动点，如果以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点有个；④P是此抛物线上的一点，当点的横坐标为时，是直角三角形．其中正确的是 ．（填序号）．
14．若用函数描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车的速度x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行距离为20m．在限速为120km/h的高速公路上，一辆该型号的汽车紧急刹车后滑行距离为80m，那么这辆车紧急刹车前的行驶速度为 km/h．
15．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量（瓶）与每瓶销售价（元）之间满足函数关系式．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+6x-8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x117．已知二次函数的顶点为，则其图象与y轴的交点坐标为 ．
三、解答题
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．
②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．
19．某数学学习小组根据以往学习函数的经验，研究函数的图象和性质．列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 1 m 4 3 n 1 …
（1）直接写出的值：_____，_____；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：_______；
（3）已知函数的图象如图所示，请结合图象，直接写出方程的解（精确到0.1，误差不超过0.2）_________．
20．某商店经营一种小商品，进价是2.5元，据市场调查，销售价是13.5元时，平均每天销售是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
(1)假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；
(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
21．某初中生进行投篮，篮球从处腾空并飞向无篮网的篮筐，篮球（看成一点）的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米．
(1)求抛物线解析式；
(2)已知篮筐的中心坐标为，请判断本次进球是否为空心球；
(3)求篮球的初始高度（的长）．
空心球 球在入筐时完全不与其他任何东西接触，包括篮板，被称为“最完美的进球方式”．
22．某公司对自家办公大楼一块米的正方形墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修；中心区是正方形，用材料乙装修）．
两种材料的成本如下表：
材料 甲 乙
价格（元/） 550 500
设矩形的较短边的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）计算中心区的边的长（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于2米时，预备材料的购买资金35000元够用吗？请说明理由．
23．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师给出下述情境：
如图，是正方形的对角线，边在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为，连接，，并过点作，垂足为，连接，．

(1)探究展示：线段在平移过程中，四边形是什么四边形？说明理由；
(2)拓展再探：判断，之间的数量关系和位置关系，并利用图加以证明；
(3)反思交流：若，在平移变换过程中，设，，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．
24．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C A A C D B D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，解题的关键是当点P在线段，，上运动，分别计算出的面积S的函数表达式．分三段，即点P在线段，，上运动，分别计算的面积S的函数表达式，即可作出判断．
【详解】当点在线段上运动时，，，是正比例函数，排除A选项；
当点在线段上运动时，；
当点在线段上运动时，，，是一次函数的图象，排除C，D选项；
故选：B．
2．B
【详解】试题分析：将一个n边形的纸片用剪刀剪去一个角（n≥4且剪裁线是直线），则剩下的纸片是n-1或n或n+1边，所以①错误；
若x-|x-3|=1，则x=1或3，所以②正确；
已知函数y=（2k-3）xk-3+是关于x的反比例函数，则k=或k=2，所以③错误；
已知二次函数y=ax2+bx+c且a＞0，a-b+c＜0，则b2-4ac＞0，所以④错误．
故选B．
考点：命题与定理．
3．D
【分析】根据题意把函数关系式化为顶点式求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
，即开口向下，
当t=6s时，礼炮升空到最高点；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意可得平移后的二次函数解析式为，进而由题意可得一元二次方程，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为，
∵平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，
∴一元二次方程无解，即无解，
∴，解得：；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象的平移及与一元二次方程的关系是解题的关键．
5．A
【详解】试题分析：如图中,即边高为．
如图中设秒时,,为开口向上的抛物线．
如下图中设秒时,即,阴影部分为所求的面积．而梯形下底为 ,上底为,高为,面积为图像为直线．
如下图中设秒时,即,阴影部分为所求的面积．且等于平行四边形的面积减去上边三角形的面积．, 所以阴影部分面积为图像为开口向下的抛物线．
故选A．
考点：1代几综合;2解直角三角形;3二次函数．
6．A
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令y＝1求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：，
∵函数图象过点（0，0），
∴，
得a，
∴抛物线的解析式为：，
当y＝1时，，
解得，，，
∴水面的宽度是：（2）－（2）＝2（m）．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据函数值求出相应的x的值．
7．C
【分析】先由图2中的函数图象得到当t＝5时，点Q到达点C，即BC＝5cm，然后由5＜t＜7时，y＝10可知△BPQ的面积是定值10cm2、BE＋ED＝7cm、当t＝7时点P到达点D，从而求得线段AB的长，然后设DE＝x（cm），则EB＝7 x（cm），AE＝5 x（cm），再由勾股定理列出方程求得x的值，得到BE、ED的长，当0＜t≤5时，过点P作PH⊥BC于点H，然后证明△PBH∽△BEA，利用相似三角形的性质表示出△PBQ的底边BQ上的高PH的长，进而得到y与t的关系式，最后求得当t＝秒时PQ的长，进而计算BQ与PQ的比值．
【详解】解：由函数图象得，当t＝5时，点Q到达点C，5＜t＜7时，y＝10cm2，当t＝7时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意；
∴BC＝5cm，5＜t＜7时，S△PBQ＝BQ AB＝×5×AB＝10，BE＋ED＝7cm，
∴AB＝4cm，故选项A正确，不符合题意；
设DE＝x（cm），则EB＝7 x（cm），AE＝5 x（cm），
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋（5 x）2＝（7 x）2，
解得：x＝2，
∴BE＝5cm，ED＝2cm，AE＝3cm，
∴当0＜t≤5时，点P在线段BE上，则BP＝BQ＝t（cm），
如图①，过点P作PH⊥BC于点H，则∠PHB＝90°，
∴∠PBH＋∠BPH＝90°，
∵∠PBH＋∠ABE＝90°，
∴∠BPH＝∠ABE，
∵∠PHB＝∠BAE＝90°，
∴△PBH∽△BEA，
∴，即，
∴PH＝（cm），
∴y＝BQ PH＝×t×＝，故选项C错误，符合题意；
∵BE＋ED＝7cm，
∴当t＝秒时，点P在线段CD上，如图②，
此时，BQ＝BC＝5cm，PQ＝BE＋ED＋CD ＝7＋4 ＝，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象、列二次函数关系式、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，解题的关键是结合几何图形和函数图象得到有用信息．
8．D
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解表格信息反应的函数关系是解本题的关键；设关于的函数关系式为：，再利用待定系数法求解二次函数的解析式，再把代入计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：与的关系可近似看成二次函数，
∵该函数图象经过点，
∴设关于的函数关系式为：，
∵该函数图象经过点和，
根据题意，得：，
解得：，
∴关于的函数关系式可以近似地表示为．
经检验：点在该二次函数的图象上，
∴时，，
故选D
9．B
【分析】令，求出t值即可．
【详解】解：令，得：，
解得：或，
那么球弹起后又回到地面所花的时间是4秒；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．D
【分析】首先根据得出y关于x的函数关系式，然后即可得出相应的图象．
【详解】∵正方形的边长为4，，
．
∵将，，，沿，，，翻折，得到四边形，
，
∴函数图像为开口向上的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及二次函数的应用，能够找到y关于x的函数关系式是解题的关键．
11．A
【分析】分点P在BE，ED，CD上三种情况讨论，分别得出它们的函数类型，即可得出答案．
【详解】解：当点在上时，△的两条边的长度同时增大，
此时对应的函数关系为开口向上的二次函数，
若，则当到点时，到点，
当在上时，的底和高不在发生变化，
此时的固定不变，
对应的函数图象是平行于轴的线段，
当点在上时，的高均匀减小，
此时的面积对应的函数为一次函数，
选项符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要将点P分成三种情况讨论，同时还要注意BC和BE的长度关系．
12．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，＞0，b＞0，则abc＜0，故①正确；
②由图象知，当x＝1时，y＞0，则a＋b＋c＞0，故②错误；
③对称轴x＝＝1，所以b＝﹣2a，
又根据抛物线的对称性质知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b＋c＜0，
所以a﹣（﹣2a）＋c＝3a＋c＜0，故③正确；
④由图象知，当x＝3和当x＝﹣1时，y＜0，故④错误；
⑤图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2.故⑤错误．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．
13．①②④
【分析】本题考查了二次函数综合问题，平行四边形的性质，旋转的性质；
①根据轴对称公式即可求解；②令，解一元二次方程，即可求解；③根据题意分当为边时，当为对角线时画出平行四边形，即可求解；④将绕点逆时针旋转，得到，交抛物线于点，得出直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，①正确；
在中，
令，则，
令，则，
解得或，
，，故②正确
如图，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当为边时，有，共个平行四边形，
当为对角线时，有，共个平行四边形，
符合条件的点有个，③不正确，
如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，交抛物线于点，则
∴
∴,
设直线的解析式为
∴
解得：，
∴直线的解析式为
联立
∴
解得：或，则④正确
故答案为：①②④．
14．120
【分析】把代入，求出a的值，得到二次函数表达式，把代入表达式，求出x值即可．
【详解】把代入，
得，，
解得，，
∴（），
当时，，
解得，（负根舍去）．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据已知函数值求自变量的值．
15．13
【分析】设总利润为元，每瓶销售价为元，则每瓶利润为元，根据“总利润=每瓶利润销售量”表示出与的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设总利润为元，每瓶销售价为元，则每瓶利润为元，
根据题意，可得 ，
∵，
∴当时，可有元．
即当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决销售问题，理解题意，正确列出函数解析式是解题关键．
16．10【分析】根据抛物线解析式得ABC三点坐标，进而可得直线BC解析式，再根据PQN点中x1【详解】解：当y=0时，由-x2+6x-8=0，解得x1=2，x2=4，则A(2，0)，B(4，0)．
当x=0时，y=-8，则C(0，-8)，
则直线BC的解析式为y=2x-8．
∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1，
∴抛物线的顶点坐标为(3，1)．
∵x1∴0当y3=1时，2x-8=1，
解得x=，
∴4∵点P和点Q为抛物线上关于对称轴对称的两点，
∴x2-3=3-x1，
∴x1+x2=6，
∴s=6+x3，
∴10故答案为10【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，解答关键是根据图像，找出符合要求部分，从而判定结果．
17．
【分析】先根据抛物线顶点坐标求出b和c的值，再求出x=0时y的值即可得出答案．
【详解】根据题意知：，解得：，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，∴此二次函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）．
故答案为（0，﹣1）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的顶点坐标公式．
18．（1）；（2）P ，D；
；（3）存在，故PM+BM的最小值为．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（9，0）两点，代入解析式即可
（2）先求出BC的解析式①把P,Q代入解析式即可解答
②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，在代入解析式即可
（3）根据点E是PQ的中点，求出点E的坐标，将其代入解析式②即可求出P，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，再证明△P′MC≌△PNC（AAS），即可解答
【详解】解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+ x+3①；
（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，
将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3②；
①点P的坐标为（﹣3+t，t），
点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；
②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，
即： [（6t﹣t2）]＝t，
解得：t＝；
（3）点P的坐标为（﹣3+t，t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，
点E是PQ的中点，则点E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]，
将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，
即点P（﹣，）即点P是AC的中点，
作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，
则MH＝MB，
则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，
∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，
∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，
OM＝OC＝ ＝P′H，
故PM+BM的最小值为．
【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于作辅助线
19．（1）m=3，n=；（2）见解析；（3）x1=-2.9，x2=0.9
【分析】（1）计算x=-2和x=1对应的函数的函数值即可得到m和n的值；
（2）利用平滑曲线连接所描的各点得出函数的图象，根据图象得出函数的一条性质；
（3）根据函数的图象与函数的图象的交点的横坐标即可求得．
【详解】解：（1）当x=-2时，，
当x=1时，，
∴m=3，n=；
（2）函数图像如下：
性质：函数图像关于直线x=-1对称（答案不唯一）；
（3）由图可知：和的图像的交点横坐标约为-2.9和0.9，
∴的解约为x1=-2.9，x2=0.9．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质：解题的关键是熟练掌握描点法作图，学会利用函数图象解决实际问题．
20．(1)
(2)销售单价为元时利润最大，最大利润为元
【分析】（1）根据总利润实际售价进价销售量，即可得函数解析式；
（2）将（1）中函数解析式配方结合x的取值范围即可得最值情况．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∵，
∴当时y取最大值，最大值是，
即降价元时利润最大，
∴销售单价为元时，最大利润元．
答：销售单价为元时利润最大，最大利润为元．
【点睛】考查二次函数的应用，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．
21．(1)
(2)本次进球为空心球
(3)
【分析】此题主要考查了二次函数的应用；
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标是，进而根据顶点坐标公式求得，，即可求解；
（2）将代入解析式，得出的值，与篮筐的中心坐标为比较，即可求解；
（3）将代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米．
∴抛物线的顶点坐标是
∴，
解得：，，
∴抛物线解析式为：；
（2）当时，代入抛物线解析式为
∵篮筐的中心坐标为，
∴本次进球为空心球；
（3）当时，，
∴篮球的初始高度为．
22．（1）8-4x；（2）y=-800x2+3200x+32000；（3）够用，理由见解析
【分析】（1）根据图形边长即可表示出MN的长；
（2）根据正方形和长方形的面积乘以每平方米的单价即可写出函数解析式；
（3）根据题意确定x的取值范围，根据函数的增减性即可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，得AD=AB=8，AE=EF=x，
四周阴影部分是八个全等的矩形，
∴MN=8-4x．
答：中心区的边MN的长为8-4x．
（2）根据题意，得
y=550×8x（8-2x）+500（8-4x）2
=-800x2+3200x+32000．
答：y关于x的函数解析式y=-800x2+3200x+32000．
（3）∵MN不小于2，
∴8-4x≥2，∴0＜x≤，
y=-800x2+3200x+32000
=-800（x-2）2+35200
∵-800＜0，图象开口向下．
当y=35000时，即-800（x-2）2+35200=35000，
解得x1=，x2=，
当≤x≤时，y的最大值超过35000，符合0＜x≤的要求．
答：预备材料的购买资金35000元够用．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
23．(1)是平行四边形，见解析；
(2)，，见解析；
(3)①当点在点的右侧时，，②当点在点的左侧时，；当时，的最大值是．
【分析】（1）由正方形的性质得，又由平移的性质得，，从而有，于是根据平行四边形的判定可得是平行四边形；
（2）由正方形的性质得，，从而根据等腰三角形的性质得，进而证明，得，，根据垂线定义即可求解；
（3）过点作于点，分点在点的右侧与点在点的左侧两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解： 四边形是正方形，
，，
又，
，
是平行四边形；
（2）解：，，理由如下：
四边形是正方形，
，，
又，
∴，，
，，
∴，
，
，，
，
；
（3）解：过点作于点，
①当点在点的右侧时，
，，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
又，故当时，，即有最大值；
②当点在点的左侧时，
，，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
又，
∴当时，，即有最大值．
综上所述可知，当时，的最大值是．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质，正方形的性质是解题的关键．
24．（1）2a﹣b+2=0（a≠0）；（2）①y=﹣x2+2；②详见解析.
【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再把（﹣，0）代入抛物线的解析式，即可得2a﹣b+2=0（a≠0）；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，即可求得抛物线的解析式；②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2=﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c=2．
又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c=0，
∴2a﹣b+2=0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b=0．
∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，

又∵OB=OC=OA=2，
∴CD=OC cos30°=，OD=OC sin30°=1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c=2，b=0，
∴3a+2=﹣1，
∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．
直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且，
∴，
∴x1﹣x2=，
∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP=2OA=4，
∴点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y=k2x+4，
∵点M的坐标为（x，﹣+2），
∴﹣+2=k2x1+4，
∴k2=﹣，
∴直线PM的解析式为y=﹣+4．
∵﹣ +4=，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．

【点睛】本题是二次函数的综合题.解决第（2）问的第①题，根据二次函数的性质证得抛物线的对称轴为y轴，开口向下是解决本题的关键；解决第（2）问的第②题，求得点N的坐标是解决本题的关键.
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