3.1圆同步练习（含解析）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
3.1圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，菱形的边，，P是上一点，，Q是边上一动点，将梯形沿直线折叠，A的对应点，当的长度最小时，的长为（ ）
A．5 B． C． D．7
2．已知的半径为，点在外，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．设P为外一点，若点P到的最短距离为3，最长距离为7，则的半径为（ ）
A．2 B．4 C．4或10 D．2或5
4．以坐标原点为圆心，以5为半径作圆，则下列各点中，一定在上的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知的半径是4，点P在内，则的长可能是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．已知的直径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定
8．平面内一点离上的点最近距离为，离上的点最远距离为，则的半径为（ ）
A． B．或 C． D．或
9．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P与圆心O重合
10．如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（ ）
A．点E在内 B．点E在上 C．点E在外 D．无法判断
11．若的半径为8cm，点P到圆心的距离为7cm，则点P与的位置关系（ ）
A．P在内 B．P在上 C．P在外 D．无法确定
12．已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断
二、填空题
13．已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．
（1）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是 ．
（2）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至A，连接BP′，在点P移动过程中，B长度的最小值是 ．
14．一个圆的面积为2π cm2，则它的周长为 cm(用含π的式子表示)
15．已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，则此圆的半径为 ．
16．如图，在矩形中，，，点E，F分别为边上的点，且，G为中点，P为边上一动点，则的最小值为 ．
17．已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是 ．
三、解答题
18．数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：
(1)组长提出问题：动点随着t的变化形成的运动轨迹是什么
甲同学的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去t得到y与x的函数关系式．
______（填甲或乙）同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______；
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，Q为坐标系内一点且，点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P是MN的中点，设运动时间为t.求点P的运动轨迹的函数表达式，并计算当时PQ的最小值；
(3)老师给出坐标平面内两个动点：，.
丙学说：点T、K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由．
19．我们规定：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时PQ的长和点Q的坐标
20．【问题探究】
（1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值．
21．如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．
(1)求证：；
(2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H．
①求证：；
②当时，求的值；
(3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ．
22．如图1，在中，点D是边上的中点．、分别垂直射线于点E、F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，在矩形中，为直径的半圆O上有一个动点P，连接、．利用图1中得到的结论：探求的最小值是多少．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B A A C B A A
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】作于，根据菱形的性质可判断为等边三角形，则，，再利用勾股定理计算出，再利用点与圆的位置关系得到当点在上时，的值最小，即可求出．
【详解】作于，如图，
菱形的边，，
为等边三角形，
，，
，
，
在中，
.
梯形沿直线折叠，A的对应点，
点 在以点为圆心，为半径的弧上，
当点在上时，的值最小，此时，
∵，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，圆的基本性质，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小．
2．D
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】解：的半径为，点在外，
，
故选：D．
3．A
【分析】根据P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，可以得到圆的直径，从而可以求得圆的半径．
【详解】解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，
∴⊙O的直径为：7-3=4，
∴⊙O的半径为2，
故选：A．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．B
【分析】先根据勾股定理算出点到圆心的距离，再利用点与圆的位置关系进行判断：到圆心的距离等于半径的点必在圆上、到圆心的距离小于半径的点必在圆内、到圆心的距离大于半径的点必在圆外．
【详解】解：A.到圆心的距离，点在内，故选项错误；
B.到圆心的距离，点在上，故选项正确；
C.到圆心的距离，点在外，故选项错误；
D.到圆心的距离，点在外，故选项错误．
故选：B
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系以及数量关系、勾股定理，用数量关系来判断位置关系，典型的数形结合．
5．A
【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得的范围即可解答．
【详解】解：∵的半径为4，点在内，
∴，
选项中只有3符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．
6．A
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴当线段取最大值时，点的坐标是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
7．C
【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：∵的直径为4cm，
∴的半径为2cm，
∵点P到圆心O的距离为3cm，大于的半径，
∴点P在外；
故选C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，来判断点与圆之间的位置关系，是解题的关键．
8．B
【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点P在⊙O内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点P在⊙O外时，直径=最远点的距离-最近点的距离．
【详解】解：点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
①如图，当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为，
则直径是，
∴半径是；
②如图，当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为，
则直径是，
∴半径是．
故选．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，在解答此题时注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
9．A
【分析】根据⊙O的半径为r和点P到圆心的距离OP＝d的大小关系判断即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，
而4＜5，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；①点P在圆内 d＜r．
10．A
【分析】首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得到：，
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=2.5．
∵BC=3，
∴BE＜BC，
∴点E在⊙B的内部，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．
11．A
【分析】本题考查点与圆的位置的关系．比较点到圆心的距离与半径的大小关系，即可得出结果．
【详解】解：∵的半径为8cm，点P到圆心的距离为7cm，，
∴P在内；
故选A．
12．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与大小即可解答．
【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，
∴，
∴点P在上．
故选：A
13． 3
【分析】（1）当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△PAB△AD，可得D＝PB＝1，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆上，则当在对角线BD上时，B最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出B的长．
【详解】解：（1）∵点P在⊙B上移动，
∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，
最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
（2）如图，连接BP，
由旋转得：AP＝A，∠PA＝90°，
∴∠PAB＋∠BA＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BA＋∠DA＝90°，
∴∠PAB＝∠DA，
在△AD和△PAB中，
∴△AD△PAB（SAS），
∴D＝PB＝1，
∴点P在以点D为圆心，D为半径的圆上，
∴当在对角线BD上时，B最小，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
∴BD＝＝＝，
∴B＝BD﹣D＝﹣1，
即B长度的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出线段的最小值1．
14．2π
【分析】首先根据圆的面积公式，求出圆的半径是多少；然后根据圆的周长公式，求出这个圆的周长为多少即可．
【详解】解：设圆的半径是rcm，
则πr2=2π，
解得r=，
所以它的周长为： ．
故答案为2π
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
15．2或6
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．
【详解】①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为4，最长距离为8，
∴圆的直径为8﹣4＝4，
∴该圆的半径是2；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为4，最长距离为8，
∴圆的直径＝8+4＝12，
∴圆的半径为6，
故答案为2或6．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
16．/
【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值；
【详解】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；
，
，，
，
，
；
的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，点到圆上一点的距离，判断出点的位置是解题的关键．
17．在⊙A上
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d=r；当点P在圆内 d＜r．
18．(1)乙，
(2)
(3)丙同学的结论错误；丁同学的说法正确．
【分析】（1）乙的方法：用表示，进而得到关于的解析式即可；
（2）分和两种情况，先求出的坐标，利用中点坐标公式，求出点坐标，根据点到圆上的距离求得的最小值，利用两点间的距离公式，求出的最小值，即可得解；
（3）①利用（1）中小远的方法，求出点的轨迹，进行判断即可．
【详解】（1）解：乙的方法更严谨，
令，，
∴，
∴，
∴点运动轨迹的函数表达式为；
故答案为：乙，；
（2）解：∵，，
∴，，
∴移动到点的位置需要的时间为：秒，
①当时，，
，，
则：；
②当时，，
∴，，即：
则：；
综上：，
令，，消去，得的运动轨迹的函数表达式为，
当时，，
∴，
∵
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴的值最小值为，
（3）①∵，
令，则：；
∴，
∴点的轨迹为抛物线；
∵，令，则：，
∴；
∴点的轨迹为直线；则丙同学的结论错误
联立，整理，得：，
∵，
∴方程没有实数根，即抛物线和直线没有交点，
即点在运动过程中不可能重合，丁同学的说法正确．
【点睛】本题考查坐标与图形，二次函数和一次函数的综合应用．熟练掌握两点间的距离公式，中点坐标公式，正确的求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
19．（1）见解析；（2），Q(0,3)
【分析】（1）连结BO并且延长交圆于C1，连结AO并且延长交圆于C2，即可求解；
（2）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，从而得到点Q坐标，再根据勾股定理可求另一条直角边即PQ长．
【详解】解：（1）如图所示，过直径做△ABC即可；
（2）如图所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边OP＝1，
∴PQ最小时，△POQ的面积最小，
根据勾股定理可知，当斜边OQ最短时，PQ最小，面积取得最小值，
由垂线段最短可得斜边最短为3，即OQ=3，
∴Q（0，3），
由勾股定理可得PQ＝＝，
∴当面积取得最小值时，点Q的坐标为(0，3)，PQ的长为.
【点睛】本题考查了圆与勾股定理的综合应用，掌握圆的相关知识，熟练应用勾股定理，明确“智慧三角形”的定义是解题的关键.
20．（1）；（2）
【分析】（1）由点E是的中点及折叠的性质可知，进而可得以E为圆心、以为半径的经过点A、P．用勾股定理解求出，当E、P、D三点共线时，可取最小值，，由此可解；
（2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．
【详解】解：（1）由点E是的中点及折叠的性质可知：，且点F是的角平分线与的交点．
∴以E为圆心、以为半径的经过点A、P．
∵点E是中点，，
．
在中，由勾股定理得，即，
．
由图可知：当E、P、D三点共线时，可取最小值，
，
长的最小值为．
（2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．
，由对称可知，，
．
由题意可得，
．
在中，由勾股定理得：，即，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，线段的最值问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)2
【分析】（1）证明，则，利用互余关系即可证明；
（2）①证明，则，再由（1）的证明即可证明；
②分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；设，则可得，则可得，由相似三角形的性质得，进而得，则由勾股定理可分别求得，从而求得结果；
（3）延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；易证，则，从而，当最大时，最大；证明，则可得，当最大时，最大，此时点P与点W重合，Y与M重合；由面积关系求出，则可得的值，最后求得结果；
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（2）①证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
再由（1）的证明知：，
，
即；
②解：如图，分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；
则；
∵四边形为正方形，
，
，
，
设，
由①知，，
，
，
；
，
，
，
，
即，
；
，
，
，
即，
由勾股定理得：，；
，
，
，
又由（1）知，，
由勾股定理得，
；
（3）解：如图，延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；
，
，
，
，
则当最大时，最大；
，，
，
；
，
，
；
∵点E是的中点，，
，
由勾股定理得，
，
即，
上式表明：当最大时，最大，从而最大；
此时点P与点W重合，Y与M重合；
，
，
则，
，
的最大值为；
故答案为：2．
【点睛】本题是正方形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，圆上点到切线的距离最大为直径等知识，综合性较强，构造适当的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
22．（1）见详解；（2）见详解；（3）的最小值为388
【分析】（1）由题意易得，，然后可证，则问题可证；
（2）由图1及勾股定理可得：，，，进而可得，，然后根据线段的和差关系可得，，两式相加即可得证；
（3）取AB的中点F，连接PF，由（2）中结论可得：，由题意易得，要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，进而可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点D是边上的中点，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴；
（2）由图1及勾股定理可得：
，，，
由（1）可得：，，
∴，，
∵，
∴，，
∴
=，
=
=
=，
∴；
（3）取AB的中点F，连接PF，如图所示：
由（2）中结论可得：，
∵，DE是⊙O的直径，
∴，
∴，
要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴PF的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查圆的最值问题及勾股定理，熟练掌握圆的最值问题及勾股定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
3.1圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，菱形的边，，P是上一点，，Q是边上一动点，将梯形沿直线折叠，A的对应点，当的长度最小时，的长为（ ）
A．5 B． C． D．7
2．已知的半径为，点在外，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．设P为外一点，若点P到的最短距离为3，最长距离为7，则的半径为（ ）
A．2 B．4 C．4或10 D．2或5
4．以坐标原点为圆心，以5为半径作圆，则下列各点中，一定在上的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知的半径是4，点P在内，则的长可能是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．已知的直径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定
8．平面内一点离上的点最近距离为，离上的点最远距离为，则的半径为（ ）
A． B．或 C． D．或
9．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P与圆心O重合
10．如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（ ）
A．点E在内 B．点E在上 C．点E在外 D．无法判断
11．若的半径为8cm，点P到圆心的距离为7cm，则点P与的位置关系（ ）
A．P在内 B．P在上 C．P在外 D．无法确定
12．已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断
二、填空题
13．已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．
（1）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是 ．
（2）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至A，连接BP′，在点P移动过程中，B长度的最小值是 ．
14．一个圆的面积为2π cm2，则它的周长为 cm(用含π的式子表示)
15．已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，则此圆的半径为 ．
16．如图，在矩形中，，，点E，F分别为边上的点，且，G为中点，P为边上一动点，则的最小值为 ．
17．已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是 ．
三、解答题
18．数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：
(1)组长提出问题：动点随着t的变化形成的运动轨迹是什么
甲同学的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去t得到y与x的函数关系式．
______（填甲或乙）同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______；
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，Q为坐标系内一点且，点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P是MN的中点，设运动时间为t.求点P的运动轨迹的函数表达式，并计算当时PQ的最小值；
(3)老师给出坐标平面内两个动点：，.
丙学说：点T、K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由．
19．我们规定：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时PQ的长和点Q的坐标
20．【问题探究】
（1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值．
21．如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．
(1)求证：；
(2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H．
①求证：；
②当时，求的值；
(3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ．
22．如图1，在中，点D是边上的中点．、分别垂直射线于点E、F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，在矩形中，为直径的半圆O上有一个动点P，连接、．利用图1中得到的结论：探求的最小值是多少．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B A A C B A A
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】作于，根据菱形的性质可判断为等边三角形，则，，再利用勾股定理计算出，再利用点与圆的位置关系得到当点在上时，的值最小，即可求出．
【详解】作于，如图，
菱形的边，，
为等边三角形，
，，
，
，
在中，
.
梯形沿直线折叠，A的对应点，
点 在以点为圆心，为半径的弧上，
当点在上时，的值最小，此时，
∵，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，圆的基本性质，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小．
2．D
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】解：的半径为，点在外，
，
故选：D．
3．A
【分析】根据P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，可以得到圆的直径，从而可以求得圆的半径．
【详解】解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，
∴⊙O的直径为：7-3=4，
∴⊙O的半径为2，
故选：A．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．B
【分析】先根据勾股定理算出点到圆心的距离，再利用点与圆的位置关系进行判断：到圆心的距离等于半径的点必在圆上、到圆心的距离小于半径的点必在圆内、到圆心的距离大于半径的点必在圆外．
【详解】解：A.到圆心的距离，点在内，故选项错误；
B.到圆心的距离，点在上，故选项正确；
C.到圆心的距离，点在外，故选项错误；
D.到圆心的距离，点在外，故选项错误．
故选：B
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系以及数量关系、勾股定理，用数量关系来判断位置关系，典型的数形结合．
5．A
【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得的范围即可解答．
【详解】解：∵的半径为4，点在内，
∴，
选项中只有3符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．
6．A
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴当线段取最大值时，点的坐标是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
7．C
【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：∵的直径为4cm，
∴的半径为2cm，
∵点P到圆心O的距离为3cm，大于的半径，
∴点P在外；
故选C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，来判断点与圆之间的位置关系，是解题的关键．
8．B
【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点P在⊙O内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点P在⊙O外时，直径=最远点的距离-最近点的距离．
【详解】解：点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
①如图，当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为，
则直径是，
∴半径是；
②如图，当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为，
则直径是，
∴半径是．
故选．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，在解答此题时注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
9．A
【分析】根据⊙O的半径为r和点P到圆心的距离OP＝d的大小关系判断即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，
而4＜5，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；①点P在圆内 d＜r．
10．A
【分析】首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得到：，
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=2.5．
∵BC=3，
∴BE＜BC，
∴点E在⊙B的内部，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．
11．A
【分析】本题考查点与圆的位置的关系．比较点到圆心的距离与半径的大小关系，即可得出结果．
【详解】解：∵的半径为8cm，点P到圆心的距离为7cm，，
∴P在内；
故选A．
12．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与大小即可解答．
【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，
∴，
∴点P在上．
故选：A
13． 3
【分析】（1）当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△PAB△AD，可得D＝PB＝1，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆上，则当在对角线BD上时，B最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出B的长．
【详解】解：（1）∵点P在⊙B上移动，
∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，
最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
（2）如图，连接BP，
由旋转得：AP＝A，∠PA＝90°，
∴∠PAB＋∠BA＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BA＋∠DA＝90°，
∴∠PAB＝∠DA，
在△AD和△PAB中，
∴△AD△PAB（SAS），
∴D＝PB＝1，
∴点P在以点D为圆心，D为半径的圆上，
∴当在对角线BD上时，B最小，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
∴BD＝＝＝，
∴B＝BD﹣D＝﹣1，
即B长度的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出线段的最小值1．
14．2π
【分析】首先根据圆的面积公式，求出圆的半径是多少；然后根据圆的周长公式，求出这个圆的周长为多少即可．
【详解】解：设圆的半径是rcm，
则πr2=2π，
解得r=，
所以它的周长为： ．
故答案为2π
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
15．2或6
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．
【详解】①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为4，最长距离为8，
∴圆的直径为8﹣4＝4，
∴该圆的半径是2；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为4，最长距离为8，
∴圆的直径＝8+4＝12，
∴圆的半径为6，
故答案为2或6．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
16．/
【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值；
【详解】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；
，
，，
，
，
；
的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，点到圆上一点的距离，判断出点的位置是解题的关键．
17．在⊙A上
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d=r；当点P在圆内 d＜r．
18．(1)乙，
(2)
(3)丙同学的结论错误；丁同学的说法正确．
【分析】（1）乙的方法：用表示，进而得到关于的解析式即可；
（2）分和两种情况，先求出的坐标，利用中点坐标公式，求出点坐标，根据点到圆上的距离求得的最小值，利用两点间的距离公式，求出的最小值，即可得解；
（3）①利用（1）中小远的方法，求出点的轨迹，进行判断即可．
【详解】（1）解：乙的方法更严谨，
令，，
∴，
∴，
∴点运动轨迹的函数表达式为；
故答案为：乙，；
（2）解：∵，，
∴，，
∴移动到点的位置需要的时间为：秒，
①当时，，
，，
则：；
②当时，，
∴，，即：
则：；
综上：，
令，，消去，得的运动轨迹的函数表达式为，
当时，，
∴，
∵
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴的值最小值为，
（3）①∵，
令，则：；
∴，
∴点的轨迹为抛物线；
∵，令，则：，
∴；
∴点的轨迹为直线；则丙同学的结论错误
联立，整理，得：，
∵，
∴方程没有实数根，即抛物线和直线没有交点，
即点在运动过程中不可能重合，丁同学的说法正确．
【点睛】本题考查坐标与图形，二次函数和一次函数的综合应用．熟练掌握两点间的距离公式，中点坐标公式，正确的求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
19．（1）见解析；（2），Q(0,3)
【分析】（1）连结BO并且延长交圆于C1，连结AO并且延长交圆于C2，即可求解；
（2）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，从而得到点Q坐标，再根据勾股定理可求另一条直角边即PQ长．
【详解】解：（1）如图所示，过直径做△ABC即可；
（2）如图所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边OP＝1，
∴PQ最小时，△POQ的面积最小，
根据勾股定理可知，当斜边OQ最短时，PQ最小，面积取得最小值，
由垂线段最短可得斜边最短为3，即OQ=3，
∴Q（0，3），
由勾股定理可得PQ＝＝，
∴当面积取得最小值时，点Q的坐标为(0，3)，PQ的长为.
【点睛】本题考查了圆与勾股定理的综合应用，掌握圆的相关知识，熟练应用勾股定理，明确“智慧三角形”的定义是解题的关键.
20．（1）；（2）
【分析】（1）由点E是的中点及折叠的性质可知，进而可得以E为圆心、以为半径的经过点A、P．用勾股定理解求出，当E、P、D三点共线时，可取最小值，，由此可解；
（2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．
【详解】解：（1）由点E是的中点及折叠的性质可知：，且点F是的角平分线与的交点．
∴以E为圆心、以为半径的经过点A、P．
∵点E是中点，，
．
在中，由勾股定理得，即，
．
由图可知：当E、P、D三点共线时，可取最小值，
，
长的最小值为．
（2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．
，由对称可知，，
．
由题意可得，
．
在中，由勾股定理得：，即，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，线段的最值问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)2
【分析】（1）证明，则，利用互余关系即可证明；
（2）①证明，则，再由（1）的证明即可证明；
②分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；设，则可得，则可得，由相似三角形的性质得，进而得，则由勾股定理可分别求得，从而求得结果；
（3）延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；易证，则，从而，当最大时，最大；证明，则可得，当最大时，最大，此时点P与点W重合，Y与M重合；由面积关系求出，则可得的值，最后求得结果；
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（2）①证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
再由（1）的证明知：，
，
即；
②解：如图，分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；
则；
∵四边形为正方形，
，
，
，
设，
由①知，，
，
，
；
，
，
，
，
即，
；
，
，
，
即，
由勾股定理得：，；
，
，
，
又由（1）知，，
由勾股定理得，
；
（3）解：如图，延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；
，
，
，
，
则当最大时，最大；
，，
，
；
，
，
；
∵点E是的中点，，
，
由勾股定理得，
，
即，
上式表明：当最大时，最大，从而最大；
此时点P与点W重合，Y与M重合；
，
，
则，
，
的最大值为；
故答案为：2．
【点睛】本题是正方形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，圆上点到切线的距离最大为直径等知识，综合性较强，构造适当的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
22．（1）见详解；（2）见详解；（3）的最小值为388
【分析】（1）由题意易得，，然后可证，则问题可证；
（2）由图1及勾股定理可得：，，，进而可得，，然后根据线段的和差关系可得，，两式相加即可得证；
（3）取AB的中点F，连接PF，由（2）中结论可得：，由题意易得，要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，进而可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点D是边上的中点，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴；
（2）由图1及勾股定理可得：
，，，
由（1）可得：，，
∴，，
∵，
∴，，
∴
=，
=
=
=，
∴；
（3）取AB的中点F，连接PF，如图所示：
由（2）中结论可得：，
∵，DE是⊙O的直径，
∴，
∴，
要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴PF的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查圆的最值问题及勾股定理，熟练掌握圆的最值问题及勾股定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)