6.2反比例函数的图像和性质同步练习（含解析）

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6.2反比例函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，交轴于点．若，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象位于第一、三象限
B．当时，
C．该函数图象经过点
D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形
5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系（　　）
A． B．
C． D．
6．下列命题是真命题的有( )个
①若时，则 ②反比例函数，若，则y的值随x的值增大而减小 ③平分弦的直径垂直于弦 ④若点C为线段的黄金分割点，则 ⑤顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知反比例函数，则下列说法正确的为（ ）
A．随的增大而增大 B．图象分别位于一、三象限
C．图象经过点 D．若图象经过点，，则
8．点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．若点（1，），（2，），（-3，）在图象上，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
11．点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．反比例函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1、y2的大小关系是 ．
14．如图，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴点M，轴于点N，若矩形的面积为2，则k的值为 ．
15．如图，点在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为 ．
16．如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（4，0），反比例函数y=（k＞0）的图象经过BC中点．则k的值是 ．
17．如图，P为反比例函数的图象上的点，过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为 ．
三、解答题
18．如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ．
19．小楠是一个乐学习，善思考，爱探究的同学，她对函数的图象和性质进行了探究，请你将下列探究过程补充完整：
（Ⅰ）函数的自变量x的取值范围是　 　．
（Ⅱ）用描点法画函数图象：
（i）列表：
x … ﹣5 ﹣2 ﹣1 0 … 2 3 4 7 …
y … a 2 3 b … 6 3 2 1 …
表中a的值为　 　，b的值为　 　．
（ii）描点连线：请在下图画出该图象的另一部分．
（Ⅲ）观察函数图象，得到函数的性质：
当x　 　时，函数值y随x的增大而　 　；
当x　 　时，函数值y随x的增大而减少．
（IV）应用：若≥6，则x的取值范围是　 　．
20．【阅读材料】：
解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，．
【模仿练习】
（1）解方程；
【拓展应用】
（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值；
（3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．
21．如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出当时，的解集．
22．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积．
23．阅读下面的材料：
如果函数y=满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
①若x1②若x1例题：证明函数是增函数．
证明：任取x10，x2>0．
则．
x10，x2>0，
．
，即．
函数是增函数．根据以上材料解答下列问题：
(1)函数 ，,…, f（10）= ；
(2)猜想 是 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
24．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．

(1)求点关于直线的对称点的坐标．
(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D D B D C D B
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】将A，B，C的横坐标代入得出相应的值，再比较大小.
【详解】在点A中，
在点B中，
在点C中，
经比较可知：
故选择：B
【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握函数值的计算是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了反比例函数自变量的大小比较．正确求解的值是解题的关键．
分别计算的值，然后比较大小即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
同理可得，，，
∵，
∴，
故选：C．
3．D
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，得出四边形ACOD是矩形，四边形BCOE是矩形，得出=4，，根据AB=2AC，即BC=3AC，即可求得矩形BCOE的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∵AB∥x轴，
∴四边形ACOD是矩形，四边形BCOE是矩形，
∵AB=2AC，
∴BC=3AC，
∵点A在双曲线上，
∴=4，
同理，
∴矩形=12，
∴k=12，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
【详解】解：，
，
A．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．当时，随增大而增大，当时，，故本选项不符合题意；
C．当时，，该函数图象经过点原说法错误，故本选项不符合题意；
D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形，说法正确，故本选项符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∵，且第一象限的函数值和自变量均为正值，第三象限的函数值和自变量均为负值，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．B
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】若a＞b，则，当c=0时不成立，故这个命题是假命题；
反比例函数，若，则y的值随x的值增大而减小，成立的前提是在各自的象限内，因而是假命题；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故③是假命题；
若点C为线段的黄金分割点，且AC＞BC，则，故④是假命题；
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，正确，故⑤是真命题；
上述命题中真命题只有1个，
故选：B
【点睛】本题综合考查了不等式的性质、反比例函数的性质，垂径定理，黄金分割以及中点四边形等有关知识．
7．D
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故本选项说法错误；
B、，图象在第二、四象限，故本选项说法错误；
C、当时，，则图象经过点(-1，3)，故本选项说法错误；
D、当时，，则；当时，，则；
∴，故本选项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＜0时，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键．
8．C
【分析】根据反比例函数的增减性判断即可．
【详解】解：∵，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
9．D
【分析】直接把点（1，），（2，），（-3，）代入函数解析式，求出y1，y2，y3的值，并比较出其大小即可．
【详解】∵点（1，），（2，），（-3，）均在反比例函数图象上，
∴，
，
，
∴＜＜．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．B
【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为y＝（a为常数），
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，
∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
11．D
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数，，
此函数图象在二、四象限，在每个象限内随增大而增大，
，
点，在第二象限，
．
，
点在第四象限，
，
．
故选：D．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
12．A
【分析】根据反比例函数的图象性质并结合其比例系数k解答即可．
【详解】∵在反比例函数y=-中，-4＜0；
∴图象在二四象限．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的图形性质．当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
13．/
【分析】根据发比例函数的比例系数的符号，即可得到该反比例函数所在的象限，然后可得该反比例函数自变量与因变量之间的增减关系，在根据x1＜x2＜0，此题得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴该反比例函数图像在二、四象限，在第一象限内随着的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质．
14．-2
【分析】设PM=a，PN=b，根据点P在第二象限得P（-b，a），根据矩形的面积公式及反比例函数解析式求k的值.
【详解】设PM=a，PN=b，则ab=2，
∵点P在第二象限，
∴P（-b，a），
将P（-b，a）代入中，得
k=-ab=-2，
故答案为：-2.
【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，直角坐标系中点的坐标的确定方法.
15．
【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，则有，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论．
【详解】解：根据题意可知，
∵轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为
则，
∵，
∴，，
∴ ，
∴第n的阴影部分的面积是：，
∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的．
16．
【详解】试题分析：设BC中点为点D,过点C、D分别作CEAB,DFAB,垂足为E，F，则CE//DF，所以DF是△BCE的中位线，所以DF=CE,EF=BF=BE,因为△ABC是等边三角形A（0，0）、B（4，0），所以AE=BE=2，所以AF=3，又CE=AE= ,所以DF=,所以点D的坐标是（3，），代入y=得k=．
考点：1．等边三角形的性质；2．三角形的中位线定理；3．反比例函数的性质．
17．y=
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】∵过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，
∴|k|=2，
∴反比例函数y=的图象在第二象限，k＜0，
∴k=-2，
∴此反比例函数的解析式为y=-．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴引垂线，所得矩形的面积为|k|．
18．
【分析】本题考查反比例函数与几何图形面积的综合问题，即利用图形面积求值，以及矩形的性质等知识，连接，利用双曲线，设点E的坐标，利用矩形的性质及，用含m的代数式表示出点B的坐标，由点B和F的纵坐标相等，可得出点F的坐标，然后根据四边形的面积矩形的面积减去的面积减去的面积，建立关于k的方程，解方程求出k的值，再根据函数图象的位置，可得出符合题意的k的值．
【详解】解：如图，连接，设，
∵，
∴ ，
∵矩形，点在上，且在反比例函数图象上，
当 时，，
∴，
∴，
解得：．
19．（Ⅰ）x≠1；（Ⅱ）（i）1，6，（ii）作图见解析；（Ⅲ）＜1，增大，＞1；（Ⅳ）0≤x＜1或1＜x≤2．
【分析】（Ⅰ）分母不为零，据此求解；
（Ⅱ）（i）把=-5、0分别代入函数表达式，即可求解；
（ii）用平滑的曲线连接即可画出函数图像；
（Ⅲ）观察函数图像，可得函数性质；
（Ⅳ）由函数图像，即可求得．
【详解】（Ⅰ）x﹣1≠0，解得x≠1，
故答案为x≠1；
（Ⅱ）（i）当x＝﹣5时，a＝y＝＝1，b＝y＝＝6，
故答案为1，6；
（ii）描点后画出如下函数图象：
（Ⅲ）观察函数图象，得到函数的性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减少．
故答案为＜1，增大；＞1；
（Ⅳ）由图象可知，≥6时x的取值范围是0≤x＜1或1＜x≤2，
故答案为：0≤x＜1或1＜x≤2．
【点睛】本题考查反比例函数图像及性质、用描点法绘制函数图像，能够准确从图像中获取相关信息是解题关键．
20．（1），；（2）；（3）是定值，
【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）根据阅读材料，进行计算，即可；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可；
（3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可．
【详解】（1）
解：先两边同乘以，得，
解得：，，
经检验无增根，
∴原方程的解为，；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∵点坐标是，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数图像上，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴．
（3）是定值，理由如下：
过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，在反比例函数图象上，
∴，
∴，
解得，
∴．
21．(1)，
(2)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是掌握反比例函数、一次函数的图象和性质，即可．
（1）根据，求出点的坐标；再根据，求出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数；根据，轴，点在一次函数的图象上，求出点的坐标，把点代入反比例函数，即可；
（2）根据，则一次函数的图象在反比例函数的图象上，即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴点，
∵，在一次函数上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
∵，
∴点，
∵轴，垂足为，
∴点的横坐标为：，
∴，
∴点，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）∵当一次函数的图象在反比例函数的图象时，，
∴当时，，
当时，的解集为：．
22．1
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于C，
∵轴，
∴轴，
设，则，
∴，，
∴．
23．(1)
(2)减；证明见解析
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明猜想成立．
【详解】（1）解：将x=10代入，
得，
故答案为；
（2）猜想：是减函数，
证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，
则，
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴，
即即,
∴函数是减函数，
故答案为：减．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
24．(1)
(2)
【分析】（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．设交直线于点，作轴于点，由轴对称的性质得，，则，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得点的坐标，即可求解；
（2）连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．根据矩形的判定可得四边形是矩形，推得，，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．
设交直线于点．作轴于点，如图1：

∵点，关于直线对称，
∴直线是线段的中垂线，
∴，，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵点的横坐标为，且点在函数的图象上，
故将代入，解得：，
∴点坐标为，
∴，．
∴点坐标为．
（2）解：如图2，连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．

∵由（1）知点坐标为，
∴，．
∵点的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴，，
∴．
即的最小值为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及轴对称的性质是解题的关键．
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