第二章一元二次方程同步练习（含解析）

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第二章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一元二次方程的解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．下列关于的方程中，一定有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数相等，则方程的根的情况是（ ）
A．无实根 B．有一个实根 C．有两个相等实根 D．有两个不相等实根
4．如果x＝﹣1方程（k﹣1）x2﹣x+2k＝0的解，那么常数k的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．或1
6．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x-1=0有实数根，那么k应满足的条件是（　　）
A．k＞-4 B．且 C．且 D．k≤1
9．若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( )
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
10．已知关于的方程有一个根为，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C． D．
11．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
12．下列关于的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．x|m|+3mx﹣4=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
14．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为
15．已知m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
16．已知关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
17．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
三、解答题
18．（1）计算：；
（2）解方程：．
19．阅读以下材料，并解决相应的问题．
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下：将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，∵表示边长，∴，即．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
(1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为，即_____________=1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形：（在指定区域画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：_____________；解得原方程的一个根为_____________；
(2)反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_____________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）
20．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
21．为了让学生有更好的学习环境，某校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．求该校改造硬件设施投资额的年平均增长率．
22．某水果店以每千克2元的价格购进某种水果，然后以每千克4元的价格出售，每天可销售100千克．经市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为了保证每天至少售出260千克该种水果，水果店店主决定降价销售．
(1)若将该种水果每千克的售价降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
(2)若销售这种水果要想每天盈利300元，则应将每千克的售价降低多少元？
23．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为．当是等腰三角形时，求的值．
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当一矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B B D C B A C
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】先把方程化为一般式，计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【详解】解：一元二次方程，
△=b2-4ac=（-1）2-4×1×0=1，
∵1>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选择：A．
【点睛】本题主要考查一般形式的一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△＞0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个不相等的实数根；△＜0，没有实数根．
2．B
【分析】先求出的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【详解】解：A.，不能判断大小，不符合题意；
B.，此选项符合题意；
C.，不能判断大小，不符合题意；
D. ，不能判断大小，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、正方体展开图等知识，确定的值是解题关键．首先确定的值，然后根据一元二次方程的根的判别式进行求解，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，该正方体的展开图中相对面上的两个数相等，
∴，，，
∴该方程为，
∵，
∴该方程无实数根．
故选：A．
4．B
【分析】把x＝﹣1代入方程，解方程即可求解．
【详解】解：把x＝﹣1代入方程得，
（k﹣1）+1+2k＝0，
解得，k＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的含义，代入方程求字母的值．
5．B
【分析】根据一元二次方程的概念求解即可．
【详解】∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得，
故选：B
【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
6．D
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
7．C
【分析】设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可得到结论．
【详解】设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，
根据题意可列的方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
8．B
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且△，
解得：且．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键．
9．A
【分析】根据一元二次方程的求根公式以及根与系数的关系即可解答.
【详解】解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0，
即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，a≠1，
∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a，
∴﹣＝1﹣a，
解得：a＝±1，
又a≠1，
∴a＝﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的综合运用，要注意根据题意舍弃一个根是解题关键.
10．C
【分析】根据关于x的方程有一个根为，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】∵关于x的方程有一个根为，设另一个根为m，
∴，
解得，，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
11．B
【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出 “，”是解题的关键．
12．C
【分析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式的值的符号判断即可．
【详解】解：、，
，
，，
故本选项不符合题意；
B、，
，
，
，，
故本选项不符合题意；
C、，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；
D、，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
13．±2
【详解】解：由题意，得|m|=2，
解得：m=±2，
故答案为：±2．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把代入方程得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入方程得到，
解得：．
故答案为：．
15．4.
【分析】由m是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可.
【详解】解：∵m是方程的一个实数根，
∴，显然m≠0，两边同时除以m，得：，
∴，，
∴.
故答案为4.
【点睛】本题考查了方程的解的概念、代数式的变形和整体代入的数学思想方法，属于常考题型，由已知得出与的值是解题的关键.
16．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可以得到有关m的方程，解得即可，
【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴△=52-8m=0
解得：
故答案为
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
17．
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得，再由当时，方程无解，即可求解．
【详解】解：设是一元二次方程的两根，
∴，
∵方程的两根互为相反数，
∴，解得：，
当时，原方程为，
此时方程无解；
当时，原方程为，
解得：；
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则即可得出答案；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算法则和一元二次方程的解法．
19．(1)第一步：；第二步：图见解析；第三步：，
(2)②
【分析】（1）根据赵爽的解法解方程的一般步骤即可求解．
（2）在整个解决问题的过程中，体现了“数”与“形”的结合，进而可得出答案．
【详解】（1）解：尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为，即，
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形：（在指定区域画出示意图，标明各边长）
画图如解图：
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：或；解得原方程的一个根为，
故答案为：，，．
（2）由于在解题过程中，需要借助图形，故这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是数形结合，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了根据阅读材料给出解决某一问题的特殊方法，解题的关键是理解新方法的本质，明确新方法的具体操作步骤，同时要借助数形结合思想，找到解决的问题与示例之间的关联．
20．（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．
【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.
21．该校改造硬件设施技资额的年平均增长率为
【分析】设该校改造硬件设施投资额的年平均增长率为，根据题意，得出关于的一元二次方程，解得即可得出答案．
【详解】解：设该校改造硬件设施投资额的年平均增长率为，
∵年投资万元改造硬件设施，
∴年投资额为万元，
∴年投资额为万元，
又∵年投资额将达到万元，
∴可得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该校改造硬件设施技资额的年平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程．
22．(1)
(2)1元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．注意：（1）问审题不清，如没有找到降价的金额和水果销售量之间的关系，导致出错；第（2）问忽视题设中每天至少售出260千克这个限制条件，导致出错．
（1）设水果店将每千克的售价降低元，根据每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，列出代数式即可；
（2）利用总利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每天至少售出260千克，即可求解．
【详解】（1）解：设水果店将每千克的售价降低元，
所以每天可售出(千克)．
（2）解：根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
23．（1）证明见解析；（2）5或4．
【详解】试题分析：（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
试题解析：（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
考点：1.根的判别式；2.解一元二次方程-因式分解法；3.三角形三边关系；4.等腰三角形的性质．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需要证明即可；
（2）设方程的两个根分别为，由根与系数的关系得到，再由勾股定理和矩形的性质得到，则，即，进而可得，据此解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两个根分别为，
∴，
∵矩形的对角线长为，
∴，
∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（矩形边长此时为负，舍去）．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
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