第三章概率的进一步认识同步练习（含解析）

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第三章概率的进一步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）

A． B． C． D．
2．某区响应国家提出的垃圾分类的号召，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为了解居民生活垃圾分类的情况，随机对该区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾进行分拣后，统计数据如表：
垃圾箱种类 垃圾量 垃圾种类（吨） “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 40 60
可回收物 30 140 10 20
有害垃圾 5 20 60 15
其他垃圾 25 15 20 40
下列三种说法：
（1）厨余垃圾投放错误的有400t；
（2）估计可回收物投放正确的概率约为；
（3）数据显示四类垃圾箱中都存在各类垃圾混放的现象，因此应该继续对居民进行生活垃圾分类的科普．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．颖颖从家去体育馆需要经过两个红绿灯，如果每个红绿灯可直接通过和需等待的概率相同，那么颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯同时发光的概率为（ ）
A．1 B． C． D．0
5．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
问盒子里白色的球有（ ）只．
A．10 B．12 C．14 D．16
6．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．15
7．九(1)班有2名升旗手，九(2)班、九(3)班各1名，若从4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率是(　　)
A． B． C． D．
8．用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色“的游戏，任意转动两个指针，当指针停止，分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功．则能配紫色成功的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（ ）
A．（男，女）（男，男）（女，女）
B．（男，女）（女，男）
C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）
D．（男，男）（女，女）
10．下列说法正确的是　　
A．某种彩票的中奖机会是则买100张这种彩票一定会中奖
B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
C．一组数据3，4，5，5，5，6，10的平均数大于中位数
D．同时抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面朝上且另一枚反面朝上的概率是
11．如图所示为一水平放置的转盘，使劲转动其指针，并让它自由停下，下面叙述正确的是（ ）
A．停在B区比停在A区的机会大
B．停在三个区的机会一样大
C．停在哪个区与转盘半径大小有关
D．停在哪个区是可以随心所欲的
12．在“﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3”七个数中，任取一个数等于a，恰好使方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程的概率是（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题
13．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为5的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ．
14．若从-2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A(a， b)恰好落在x轴上的概率是 ．
15．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的7个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3，由此可估计袋中红球的个数为 ．
16．有三张正面分别标有数字－2，3, 4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是 .
17．在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个．摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ．
三、解答题
18．小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 14 15 23 16 20 12
（1）计算“4点朝上”的频率．
（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率．
19．某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A表示“广泛阅读”，B表示“劳动实践”，C表示“户外运动”，D表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为______人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校七年级有800名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？
(4)若每人可以随机选两项活动参加，则同时选中A“广泛阅读”和B“劳动实践”的概率是多少？
20．“树德之声”结束后，王老师和李老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如图频数直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图；
（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角度数；
（3）成绩在D区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机抽取两人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
21．在一次化学实验课上，李老师准备了（镁）、（铝）、（锌）、（银）四种银白色金属，这四种金属外表相似，无法直接区分种类．李老师让同学们随机选择一种金属与盐酸（）反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而与盐酸不会发生反应）．
(1)小明从四种金属中随机选择一种，恰好选到铝金属的概率是 ；
(2)小明和小红各自从四种金属中随机选择一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
22．如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数中的，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数中的．

(1)写出为负数的概率；
(2)求一次函数的图象经过一、二、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
23．解答下列各题．
（1）已知，求证：．
（2）在个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球个，黄球个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为．
①求口袋中红球的个数；
②若摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黄球记分，甲从口袋中摸出一球，不放回，再摸出一个．请用画树状图或列表的方法求甲摸得两个球得分的概率．
24．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：
①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．
③可得到．老师请同学们讨论说明理由．
三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．
(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．
(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B B C D D C C
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】画树状图列举所有6种等可能的结果，再找出能让灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

由树状图可知共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果数为2，
（能让灯泡发光），
故选：D．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率：通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果，再从中选出符合所求事件的结果数目，然后利用概率公式求所求事件概率即可．
2．C
【分析】根据投放正确的概率逐个进行判断即可．
【详解】解：说法(1)：厨余垃圾投放错误的有100+40+60＝200t；故错误；
说法(2)：估计可回收物投放正确的概率约为＝；故正确；
说法(3)：数据显示四类垃圾箱中都存在各类垃圾混放的现象，因此应该继续对居民进行生活垃圾分类的科普，故正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确的理解题意是解题的关键．
3．C
【分析】通过画树状图法列出所有等可能的结果，再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有4种等可能的结果，其中颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的有1种结果，
∴颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率为，
故选C．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，理解并掌握概率计算公式是解题的关键．
4．B
【详解】试题分析：:随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，共有三种可能：闭合开关K1，K2；闭合开关K1，K3；闭合开关K2，K3.而能让两盏灯同时发光的只有闭合开关K1，K3这一种情况，故其概率为.
考点：概率的计算
5．B
【分析】由表格可得摸到白球的概率为0.60，然后问题可求解．
【详解】解：由表格可知：摸到白球的概率为0.60，
∴盒子里白色的球的个数为20×0.60=12（只），
故选B．
【点睛】本题主要考查频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键．
6．C
【分析】设红球的个数为x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求解即可解答．
【详解】解：设红球的个数为x个，
根据题意，得：，
解得：，
即袋子中红球的个数最有可能是12，
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率、简单的概率计算，熟知经过多次实验所得的频率可以近似认为是事件发生的概率是解题关键．
7．D
【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的2人恰巧都来自九(1)班的有2种结果，
所以抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率为，
故选D．
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
8．D
【分析】通过列表法求解即可．
【详解】随机产生的所有情况如表格所示：
红 红 红 蓝
红 （红，红） （红，红） （红，红） （蓝，红）
蓝 （红，蓝） （红，蓝） （红，蓝） （蓝，蓝）
蓝 （红，蓝） （红，蓝） （红，蓝） （蓝，蓝）
由表格知：产生的所有情况共计12种，红色和蓝色组合的有7种，
∴P(配紫色成功)= ，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，掌握基本的求解概率的方法是解题关键．
9．C
【分析】根据题意，列举出所有可能结果，注意“男、女”和“女、男”是两个基本事件，而不是一个基本事件．
【详解】一个家庭有两个小孩，给两个小孩编号为1号和2号，则所有可能的基本事件是：
（1）1号：男，2号：女；（2）1号：女，2号：男；（3）1号：男，2号：男；（4）1号：女，2号：女；
即共有4个基本事件．
故选C．
【点睛】列举法求等可能试验结果，列举出所有可能是解题的关键．
10．C
【分析】根据抽样调查、概率的定义和求法、中位数的定义进行判断即可．
【详解】A．某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，故本选项错误；
B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C．数据3，4，5，5，5，6，10的平均数是：（3+4+5+5+5+6+10）÷7，中位数是5，平均数大于中位数，故本选项正确；
D．同时抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面朝上且另一枚反面朝上的概率是，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了概率、抽样调查、中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
11．A
【分析】由C区面积＞B区面积＞A区面积，从而可得答案．
【详解】解：由于C区面积＞B区面积＞A区面积，
故停在C区比停在B区的机会大，停在B区比停在A区的机会大．
故选A．
【点睛】本题考查的是几何概率的理解与计算，掌握“几何概率的含义”是解本题的关键．
12．C
【分析】根据一元二次方程的定义求出方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程时a的取值范围，进而再根据概率的意义进行计算即可．
【详解】解：当a2﹣1≠0，即a≠±1时，方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程，
∴在“﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3”七个数中有5个数使方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程，
∴恰好使方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和概率的意义，熟练掌握各定义是解决本题的关键．
13．8.75
【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率．根据频率稳定在0.35左右，得到概率为0.35，进而得到黑色部分的总面积比上正方形的面积为0.35，进行求解即可．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.35，
∴黑色部分的总面积；
故答案为：8.75．
14．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
一共有6种结果，点A（a，b）落在x轴上的点有（-2，0），（1，0）
∴P（顶点在坐标轴上的概率）=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法求概率，熟悉相关性质是解题的关键．
15．3
【分析】此题考查了利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，根据红球的频率得到相应的等量关系是解题的关键．设袋中红球的个数为，根据摸到红球的频率，列出方程，解方程从而可以得到红球的个数．
【详解】解：设袋中红球的个数为，
由题意得，，
解得，
检验：当，，
是原方程的解，
估计袋中红球的个数为3个．
故答案为：3．
16．
【详解】试题分析：有三张正面分别标有数字－2，3, 4的不透明卡片，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则有以下可能-2、3；-2、4；3、4；3、-2；4、-2；4、3；则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数有3、4；4、3，所以两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率==
考点：概率
点评：本题考查概率，解答本题的关键是根据题意找出满足题中条件的所有可能情况，然后再求出概率
17．
【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】共有9种情况，两次都摸到红球的有1种情况
，
所以P（两次都摸到红球）＝ ，
故答案为．
【点睛】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到两次都摸到红球的情况数是解决本题的关键．
18．（1）；（2）错误，理由见解析；（3）
【分析】（1）由共做了100次实验，“4点朝上”的次数为16，即可求得“4点朝上”的频率
（2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）“4点朝上”的频率为；
（2）小明的说法错误；因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
（3）P(小于3) ．
【点睛】本题考查了模拟实验求概率以及相关知识，解题的关键是掌握实验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次实验后得到的一个接近值．
19．(1)50
(2)补全条形统计图见解析
(3)128名
(4)
【分析】（1）根据C类别人数及其所占百分比即可得被调查的总人数；
（2）用被调查的总人数减去A、C、D类别的人数，求出B类别的人数，即可补全条形统计图；
（3）用七年级800名学生乘B类型所占百分比即可求出全校七年级学生中最期待“劳动实践”的人数；
（4）画树状图或列表求出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：15÷30%=50（人）
答：参加这次调查的学生总人数为50人．
（2）解：50－9－15－18=8（人），故B类型有8人．
补全条形统计图如下：
（3）解：800×=128（名）
答：全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有128名．
（4）解：
由表格可知，共有12种可能，其中满足同时选中A“广泛阅读”和B“劳动实践”的结果有2种．
∴同时选中A“广泛阅读”和B“劳动实践”的概率是
答：同时选中A“广泛阅读”和B“劳动实践”的概率是．
【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用部分得出总体，补全条形统计图，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．
20．（1）本次比赛参赛选手总人数36人，补图见解析；（2）50°；（3）．
【分析】（1）先求出C区域的人数和所占的百分比，然后用C区域的人数除以其所占的百分比，即可求得总人数，再用总人数乘以每个区域所占的百分比求出每个区域的人数，最后完成直方图即可；
（2）用360°乘以D区域的人数所占的百分比即可；
（3）先求出D区域男生、女生的人数，再画树状图求出等可能的结果数和所求的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次比赛参赛选手总人数是9÷＝36（人），
80≤x＜90的人数有：36×50%＝18（人），
则80≤x＜85的人数有18﹣11＝7（人），
95≤x＜100的人数有：36﹣4﹣18﹣9＝5（人），补图如下：
（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角度数是360°×＝50°；
（3）∵D区域的选手共有5人，其中男生比女生多一人，
∴男生有3人，女生有2人，
画图如下：
共有20种等情况数，其中选中一名男生和一名女生的有12种，
则恰好选中一名男生和一名女生的概率是．
【点睛】本题考查了扇形统计图、直方图以及树状图法求概率，掌握树形图是解答本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，选到的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共9种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
22．(1)为负数的概率为
(2)画树状图，

一共有6种情况，其中经过一、二、四象限的有2种，
一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为
【分析】本题考查了用树状图或列表法、概率的求法、一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握树状图法是解决问题的关键．
（1）共有3张牌，2张为负数，让负数的个数除以数总个数即为所求概率．
（2）画出树状图，列举出共有多少种情况，其中满足一次函数经过一、二、四象限，即k为负数，b为正数的情况占所有情况的多少即可．
【详解】（1）解：共有3张牌，其中2张为负数，
为负数的概率为．
（2）解：画树状图

一共有6种情况，其中满足一次函数经过一、二、四象限，即，的情况有两种，
所以一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为．
23．（1）见解析；（2）①个；②画图见解析，．
【分析】（1）根据∠1=∠2，由内角相等证明BD∥CE，则有，从而得出，再根据三角形的内角和及对顶角相等即可得出结论．
（2）①根据概率的公式先得出白球的个数，从而得出红球的个数
②依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】（1）
又
又（对顶角相等），
（三角形内角和为），
①因为口袋里只有红、白、黄三种颜色的球，
白色有个，且摸到白球的概率为，
一共有（个）
红色的球有（个）
②设红球为，白球分别为，黄球为，则树状图如下
一共有种，得两分的有共种，
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，以及用树状图或表格可求概率，熟练掌握险关知识是解题的关键
24．(1)
(2)选择小彤的方法说明，理由见详解
【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；
（2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论．
【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，
∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；
（2）选择小彤的方法说明，理由如下：
连接，如下图，
由折叠的性质可得，，，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形．
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