1.1菱形的性质与判定同步练习（含解析）

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1.1菱形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点O．求证：．以下是排乱的证明过程：①又；②∴，即；③∵四边形是菱形；④∴．证明步骤正确的顺序是( )
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接．如果，那么菱形的周长为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32
3．如图，已知点，，以为边作菱形，使点，在第一象限，且对角线轴，点总在直线：的图象上．当随的增大而减小时，若使与菱形有交点，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．或
4．如图，菱形中，，，且，连接交对角线于．则的度数是（ ）

A．100° B．105° C．120° D．135°
5．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是，一只电子甲虫，从点开始按…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行时停下，则它停的位置是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”．
已知：如图3，是菱形的一条对角线．
求证：，．
证明：∵四边形是菱形，
…，
∴，．
以下是“…”处排乱的证明过程：①∴；②∵；③∴，．正确的证明顺序是（ ）

A．①②③ B．③①② C．②①③ D．③②①
7．如图，菱形的边在x轴上，点D的坐标为，分别以A、B为圆心，大于画弧，作直线经过弧的交点且与边交于点E，则点E的坐标为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，四边形是菱形，于点H，若，则等于（ ）
A． B． C．5 D．4
9． 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知,如图,平行四边形的两条对角线交于点,设.其中:则满足（ ）
A． B． C． D．没有数量关系
11．如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（ ）
A． B．四边形是菱形 C．对角线 D．
12．若菱形的对角线AC=BD=2cm，则这个菱形的周长和面积分别为（ ）
A．4cm，4cm2 B．8cm，4cm2 C．8cm，8cm2 D．4cm，8cm2
二、填空题
13．如图，某市计划在一片空地上修建一个边长为的菱形公园，顶点作为主要出入口．为小路的中点，、是两条主要通道，要在它们的交点以及点处建两个休息亭，使得这两个休息亭到出入口的距离相等，则计划建造的这个菱形公园的面积为 ．

14．如图在菱形中，边的垂直平分线与对角线相交于点E，，那么 度．
15．菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12cm,则菱形的周长为 .
16．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件： ，使四边形ABCD成为菱形．
17．如图，在菱形中，分别是上的动点，且满足，则的最小值为 ．

三、解答题
18．（1）化简：；
（2）如图， ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证： ABCD是菱形．
19．如图，四边形中，，，请用尺规作图完成基本作图：作的平分线交于点E，连接，则四边形是菱形，请按照题目要求完成尺规作图并根据以下证明思路完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）．
证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）．
∵是的平分线
∴____________________．
∵
∴．
∴__________________．
∴__________________．
∵
∴__________________．
∵
∴__________________．
∵
∴四边形是菱形．
20．如图，在菱形中，，且，试求的度数．
21．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少．
22．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．
(1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标．
23．如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若菱形的面积为12，且，求菱形的面积．
24．如图，AC是 ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若AB＝2，AC＝2，求 ABCD的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B B D D B C C
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∵对角线，交于点O，
∴，
∴，
即，
∴证明步骤正确的顺序是，
故选：B．
【点睛】考查菱形的性质以及等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．本题的技巧是四边形是菱形肯定是第一个，这是命题的条件，肯定排最后，这是命题的结论．
2．D
【分析】由点、分别是、的中点，，利用三角形中位线的性质，即可求得的长，然后由菱形的性质，求得菱形的周长．
【详解】解：点、分别是、的中点，，
，
四边形是菱形，
菱形的周长是：．
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．求出的长是解题的关键．
3．B
【分析】由已知可求菱形的四个顶点坐标分别为A（4，0），B（0，2），C（4，4），D（8，2），再由一次函数的性质，可知直线l经过点D、点C时是直线与菱形ABCD有交点的临界情况，则可求k的范围．
【详解】解：∵菱形ABCD中，BD∥x轴，
∴AC⊥x轴，
∴B点与D点关于AC对称，
∵A（4，0），B（0，2），
∴C（4，4），D（8，2），
当y随x的增大而减小时，直线l中的k＜0，
∵直线l：y=kx+2k+4与菱形ABCD有交点，
∴直线l经过点D时，将D点代入直线l中，
得：2=（8-4）k+8，则k=-；
当直线l过C点时，k不存在．
则当l与DC边相交时，k≤-，
当l与BC边相交时，k＞0与题意不符．
综上：k≤-．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握菱形的性质，结合平面内坐标的特点，确定菱形各点的坐标，再由一次函数的图象性质，确定满足条件时函数经过的临界点是解题的关键．
4．B
【分析】由菱形及菱形一个内角为60°，易得△ABC与△ACD为等边三角形．由三线合一的性质求得∠ACE的度数．证得△BCE是等腰直角三角形，可求出∠CBE度数，用三角形外角的性质即可求得∠AFB．
【详解】∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE=∠ACD=30°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°
∵CE=BC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠E=∠CBE=45°
∴∠AFB=∠CBE +∠ACB=45°+60°=105°，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．证得△BCE是等腰直角三角形是解题的关键．
5．B
【分析】根据边长与爬行路线，得
，循环节为8，计算2021÷8=252…5，判断即可．
【详解】因为菱形的四边相等，且，循环节为8，且2021÷8=252…5，
所以停在E处，
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，图形中的数字规律，熟练掌握数字规律的确定方法是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．由菱形的性质得，然后证明即可．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
③∴，．
②∵，
①∴，
∴，．
故选D．
7．D
【分析】由题意知，，是AB的垂直平分线，根据，，，在中，由勾股定理得，求出的值，得出点B的坐标，根据中点坐标公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，是的垂直平分线，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵为的中点，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，中点坐标公式，坐标与图形等知识．解题的关键在于对相关知识的灵活运用．
8．B
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求得的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
设与交于点O，
∴，
则，
∴，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用面积法求边上的高是解题的关键．
9．C
【详解】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选C．

考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题
10．C
【分析】根据平行四边形的性质，得到AO=，BO=，然后在△ABO中，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得到.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC=z，BD=y
∴AO=，BO=
在△ABO中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即：
故选：C
【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形三边的关系，解题关键是利用平行四边形的性质，将x、y、z转化到同一个三角形中去.
11．D
【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG；
同理，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
A、若，得不到AD＝BC，则GH≠GF，不能证明四边形EFGH是菱形，故本选项错误；
B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；
C、若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误；
D、当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
12．B
【分析】根据菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形的周长为8cm；根据菱形的面积等于对角线积的一半，可得菱形的面积为4cm2．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=BD=2cm，
∴AD=2cm，S菱形ABCD=AC BD=4cm2，
∴菱形的周长为8cm；
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．解题的关键注意菱形面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
13．
【分析】连接交于点，根据菱形的性质得，根据等腰三角形的性质得，由，可得，则，所以，可得，由勾股定理得，，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：如图，连接交于点，则，

为的中点，
)，
)，
，
，
，
，
，
)，
)，
)，
在中，由勾股定理得，
，
菱形公圆的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质和菱形的面积公式是关键．
14．40
【分析】由菱形性质解得，进而证明，再由全等三角形对应角相等的性质，解得，结合线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】连接BE，
四边形ABCD是菱形，
在和中
在菱形中ABCD中，
边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E，
故答案为：40．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．48cm
【分析】根据菱形的性质得角的邻角为，再根据菱形邻边相等得到对角线和一组邻边组成等边三角形，从而得到菱形的边长，最后计算出周长即可．
【详解】∵菱形的一个内角为，
∴角的邻角为，
∵菱形邻边相等，
∴角所对的这条对角线和一组邻边组成等边三角形，
∴菱形的边长等于对角线的长度，即12cm，
则菱形周长为48cm，
故答案为．
【点睛】本题考查菱形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的相关知识．
16．AB=AD.
【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
【详解】添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为AB=AD．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．
【分析】连接，过作，且，连接，如图所示，根据条件得到，利用全等性质得到，则，即当三点共线时有最小值，则在中，,，即可得到的最小值为．
【详解】解：连接，过作，且，连接，，如图所示：

在菱形中，，
，
，即是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即当三点共线时有最小值，则在中，,，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及菱形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题的求解方法是解决问题的关键．
18．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）把分子分母分解因式，再约分即可；
（2）证明∠ADB＝∠ABD，得出AB＝AD，即可得出结论．
【详解】（1）
＝
＝；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠ADB．
∴AB＝AD．
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题主要考查了分式的运算，分子分母用时因式分解再约分；菱形的判定，其中用到了角平分线的性质．
19．见解析
【分析】根据尺规作图：角的平分线的基本作法作出图形即可；再根据平行线的性质结合等腰三角形等角对等边证明，易证四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】解：如图所示，为所求；
证明：∵是的平分线，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图（角平分线），等腰三角形的性质，平行线性质，平行四边形的判定与性质及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
20．
【分析】本题主要考查了菱形的性质及等边对等角，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
由菱形的性质可知，结合，得，即可求解．
【详解】解：在菱形中，，
．
又，
．
．
21．的长需要缩短
【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可．
【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示：

依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
即的长需要缩短．
22．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）作于，由求得，从而得出，进一步得出结果；
（2）作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，则最小，最小为：，利用直角三角形的性质和勾股定理，进一步得出结果；
（3）由（2）得：，，从而得出，，根据勾股定理求得，进而得出坐标，进而得出点坐标，同样另外两点．
【详解】（1）解：如图1，
作于，
由得，
，
，
，
；
（2）解：如图2，
作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，
则最小，最小为：，
，，
，
，，，
，
，，，
∴，
，
，
的最小值为：；
（3）解：如图3，
，，
∴，
由勾股定理得，
由（2）得：，，
，
，
、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，
，
，，
，，，，
，，
，，，，
∴点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
23．（1）见解析；（2）24
【分析】（1）连接交于点，根据菱形的性质推出，证得四边形是菱形，再依据，即证得结论；
（2）根据，推出，由此得到菱形的面积菱形的面积．
【详解】（1）证明：连接交于点．
∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵四边形是菱形，
∴，即．
∴平行四边形是菱形．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
∴菱形的面积菱形的面积．
【点睛】此题考查菱形的判定及性质，菱形的面积的计算，正确掌握菱形的判定及性质定理病应用解决问题是解题的关键．
24．（1）证明见解析（2）2
【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC；（2）连接BD交AC于O，易证四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，根据勾股定理求出OB的长，即可得BD的长，利用 ABCD的面积=AC BD，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，
∴
∴BD=2OB=2，
∴ ABCD的面积=AC BD=×2×2=2．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；菱形面积的计算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
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