2.1认识一元二次方程同步练习（含解析）

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2.1认识一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的二次项系数为（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
2．如果是1方程的根，则的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．无法确定
3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．y= x2﹣3 B．2（x+1）=3 C．x2+3x﹣1=x2+1 D．x2=2
4．若m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．若是方程的一个解，则常数的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程的一根为0，则m的值为（ ）
A．2 B． C．－2 D．－10
9．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如果方程的一个根是，那么m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
11．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知是方程的一个实数根，则的值为 ．
14．已知x2﹣3x+1＝0，依据下表，它的一个解的范围是 ．
15．若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
16．若a为一元二次方程的一个实数根，则 .
17．（1）当k 时，关于x的方程是一元二次方程；
（2）当k 时，上述方程是一元一次方程．
三、解答题
18．（1）解不等式组：；
（2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值．
19．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
20．关于x的方程.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=2，求m的值及另一个根.
21．已知方程组．
（1）求证：不论k为何值时，此方程组总有两个实数根；
（2）若等腰三角形ABC的底边长为a=3，两腰的长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C C B D A C B
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：方程的二次项系数为2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断．
2．C
【分析】把代入中即可得出结果．
【详解】1方程的根，
把代入中得：．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题关键是掌握一元二次方程的解是满足方程未知数x的值．
3．D
【详解】解：A．y= x2﹣3是二元二次方程，故本选项错误；
B．2（x+1）=3是一元一次方程，故本选项错误；
C．x2+3x﹣1=x2+1是一元一次方程，故本选项错误；
D．x2=2是一元二次方程，故本选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得．
【详解】解：由题意得：把代入方程中得：，
，
故选：C．
5．C
【分析】将代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意；
、方程是一元二次方程，符合题意；
、方程含有个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
故选：．
7．D
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2-m的值．
【详解】解：把x=m代入方程x2-x-2=0可得：m2-m-2=0，
即m2-m=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2-m当成一个整体．利用了整体的思想．
8．A
【分析】根据题意，将代入方程得到关于m的方程， 计算可到m的值，结合一元二次方程二次项系数不等于0可确定m的取值．
【详解】解：的一根为0，
将代入方程得：
解得：，，
又，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一般形式，关键是注意不要漏掉二次项系数不能等于0这一条件．
9．C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】属于一元二次方程的为x2 1＝0，故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，解题的关键是知道判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
10．B
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝代入方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x＝代入，
得8 2m 12＝0，
解得m＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
11．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判定即可．
【详解】解：A. 由可得，2x-6=0，不是一元二次方程；
B. ，当a=0时，不是一元二次方程；
C. 是一元二次方程；
D. 是分式方程．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
12．B
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：A、时，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、是二元二次方程，故此选项错误；
D、是一元一次方程，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
13．
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
把代入方程，然后利用整体思想代入求值，
【详解】解：∵是方程的一个实数根，
∴，即，
原式=
=
=，
故答案为：．
14．0＜x＜0.5
【分析】由于x=0时，x2﹣3x+1＝1；x=0.5时，x2﹣3x+1＝-0.25，由此可判断当x在0＜x＜0.5之间取一个值能使x2﹣3x+1＝0，然后根据方程解的定义得到方程x2﹣3x+1＝0的一个解的范围是0＜x＜0.5.
【详解】∵x=0时，x2﹣3x+1＝1；x=0.5时，x2﹣3x+1＝-0.25，
∴当x在0＜x＜0.5之间取一个值能使x2﹣3x+1＝0．
∴方程x2﹣3x+1＝0的一个解的范围是0＜x＜0.5．
故答案为0＜x＜0.5
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
15．
【分析】把代入一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
16．
【分析】根据a为一元二次方程的一个实数根，可以得到的值，从而可以求得所求式子的值．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值，利用整体的数学思想解答．
【详解】
解：为一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：
17．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即k2-1≠0；
（2）根据一元一次方程的定义，二次项系数为0且一次项系数不为0，即k2-1＝0，且k-1≠0．
【详解】（1）依题意：k2-1≠0，
∴ k≠±1．
故答案为：
（2）依题意：k2-1＝0，且k-1≠0，可得k＝-1．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，理解定义是解题的关键．识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可．
18．（1）；（2）
【分析】（1）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定其整数解即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
（2）根据方程的解的定义，代入解答即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，方程的解，解方程，熟练进行不等式组，解方程求解是解题的关键．
【详解】解：（1）令，
解不等式①，得，解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为；
（2）由（1）知不等式组的整数解为，
将代入中，得，
解得．
19．(1)16，20；，4n＋4
(2)存在，见解析
【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．
【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图灰砖的数量为
图1白砖的数量为8=
图2白砖的数量为12=
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=
得图白砖的数量为
故答案为：16，20；，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为，灰砖数量为
∴=
∴
∴
∴，或（舍去）
故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
故答案为：存在．
【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．
20．（1）理由见解析
（2）方程的另一个根为.
【详解】试题分析：（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=2代入方程即可求m的值，然后将m的值代入原方程，解方程即可．
试题解析：（1）由题可知：，
=，
整理得：，
因此无论m取何值，判别式恒大于0；因此方程总有两个不相等的实数根；
（2）：将x=2带入方程，有，
解得：,
所以原式可化为，
解此方程可得：，，
因此方程的另一个根为.
21．（1）见解析；（2）7
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可得出方程根的情况，进而证明结论成立．
（2）根据等腰三角形两腰相等可得出k的值，将其代入方程可求得b和c的值，再把a，b，c相加即可得△ABC的周长．
【详解】(1)证明：将y=x-2代入x2-(2k+1)y-4=0，得
x2-(2k+1)(x-2)-4=0，整理得x2-(2k+1)x+4k-2=0，
∴Δ=(2k+1)2-4(4k-2)=4k2-12k+9=(2k-3)2，
而(2k-3)2≥0，∴Δ≥0，
∴不论k为何值时，此方程组总有两个实数根．
(2)解：∵△ABC为等腰三角形，
∴Δ=(2k-3)2=0，∴k=．
将k=代入x2-(2k+1)x+4k-2=0，得x2-4x+4=0，
解得x1=x2=2，∴b=c=2，∴△ABC的周长=a+b+c=7．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的性质，根据根的判别式和0的关系确定方程的根是解题的关键．
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