2.2用配方法求解一元二次方程同步练习 北师大版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
2.2用配方法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程时可配方得（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．方程(x+1)2=9的解是( )
A．x=2 B．x＝-4 C．x1=2，x2=-4 D．x1=-2，x2=-4
5．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
6．用配方法解方程时，原方程应变为（ ）
A． B． C． D．
7．将方程x2+4x+2=0配方后，原方程可变形为
A．（x+2）2=2 B．（x+2）2=6 C．（x+2）2=–2 D．（x+4）2=2
8．一元二次方程x2+6x﹣5=0配方后变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2=14 B．（x+3）2=4 C．（x+6）2= D．（x+3）2=14
9．关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．3
10．用配方法解一元一次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．用配方法解方程时，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．关于x的一元二次方程（是常数，）配方后为（d是常数），则 ．
14．对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，= ,若，则x= ．
15．若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k= ．
16．用配方法将方程化成的形式： ．
17．若点M（ 2x， 3）与点N（+1，3）关于原点对称，则x＝ ．
三、解答题
18．（1）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）用配方法解方程：．
19．利用面积关系，研究方程，提出问题：怎样图解一元二次方程（）？
几何建模：
（1）将原方程变形为：．
（2）如图，画四个长为，宽为的长方形．
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即
（4）求关于的一元一次方程（，，）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（用0.5mm黑色签字笔画图，并注明相关线段的长）
20．已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为3．
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？
(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．

21．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
22．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1．
(1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ；
(2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ；
分析；
(3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长）
23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解： ；
∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2．
请利用上述知识解决以下问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)证明：无论取何实数，二次根式 都有意义．
24．用配方法求证：代数式的值恒为正数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C C A D A A
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】按照完全平方公式对原方程进行配方可得解．
【详解】解：由原方程得：，
,
即 ，
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握配方法的意义和方法是解题关键．
2．B
【分析】把方程两边加上11得到，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．D
【分析】按照一元二次方程配方的一般步骤把方程配方即可．
【详解】解：
解：移项，得，
方程两边同加上一次项系数一半的平方，得
，
即，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
4．C
【详解】分析：先求9的平方根，然后解关于x的一元一次方程．
详解：
由原方程直接开平方，得
x+1=±3，
所以x=-1±3，
解得x1=2，x2=-4．
故选C．
点睛：考查了解一元二次方程-直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
5．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：C．
6．C
【分析】结合完全平方公式、配方解题即可．
【详解】可变形为：
故选：C．
【点睛】本题考查配方法将一元二次方程变形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识的解题关键．
7．A
【详解】x2+4x=–2，x2+4x+4=2，（x+2）2=2．故选A．
8．D
【详解】先移项，得x2+6x=5，配方，得x2+6x+32=5+32，即（x+3）2=14．
故选D．
【点睛】配方的时候，若二次项系数不为1，要化为1，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方．
9．A
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴， ，
解得： ，
故选：A．
10．A
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可；
【详解】解：，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键.
11．D
【详解】解：移项得，
二次项系数化为1得，
两边都加上一次项系数一半的平方得，
即，
故选D.
12．A
【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤．先把方程化为一般式，再把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半得平方进行配方即可．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即，
故选：A．
13．
【分析】利用配方法得到，然后与比较可得的值．
【详解】解：配方后可得，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
14．2或-1
【详解】试题分析：∵min{(x－1)2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，
∴当x＞0.5时，(x－1)2＜x2，
则(x－1)2＝1，
x－1＝±1，
x－1＝1或x－1＝－1，
解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），
当x＜0.5时，(x－1)2＞x2，
则x2＝1，
解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝－1，
综上所述：x的值为：2或－1．
故答案为2或－1．
15．-1
【分析】把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数．
【详解】解：把代入方程中，得
，解得，
当时，，舍去，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的定义．
16．
【分析】配方法表示方程即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法．解题的关键在于识别方程的形式并正确的表示．
17．1
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得出关于x的方程，解出即可．
【详解】解：∵点M（ 2x， 3）与点N（+1，3）关于原点对称，
∴ 2x+（+1）＝0，
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
18．（1），图见解析；（2）或
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、配方法解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】解：（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将解集表示在数轴上如下：
，
∴不等式组的解集为；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或．
19．（1）；（2）图形见详解；（3）．
【分析】（1）将原方程化为乘积形为：；
（2）用四个长为，宽为的长方形拼成正方形即可；
（3）图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积．得出，然后开平方即可．
【详解】解：几何建模：
（1）原方程为：；
（2）如图，画四个长为，宽为的长方形；
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积．
即，
，
，
，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的面积解法，掌握方程特征乘积形，用四个长方形拼成大正方形，用两种方法求面积列方程，然后开平方求边长是解题关键．
20．(1)5
(2)10年；2.5万元
(3)
【分析】（1）直接利用可得结论；
（2）先求解年平均保养费用，利用可得结论；
（3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：，
，
当，即时，的最小值为5；
（2）解：由题意得：，
年平均费用．
当时，
，
即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元；
（3）解：设直线为：，
把代入解析式得：，
，
直线为：，
令，，
，
令，
，
，
，
由题意知：，
，
由题意得：，
．
当时，即时，最小，
直线为：．
【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键．
21．(1)；13
(2)最小值为2018；
(3)围成的菜地的最大面积是．
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
（1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可；
（3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：，
当时，代数式有最小值，最小值为，
，
当时，代数式有最大值，最大值为13，
故答案为：；13；
（2）解：
，
当，时，有最小值，最小值为2018；
（3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值是，
围成的菜地的最大面积是．
22．(1)1，大，2
(2)1，大，5，1，5，5
(3)当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查配方法的应用：
（1）根据完全平方的非负性，进行作答即可；
（2）利用配方法和完全平方的非负性，进行求解即可；
（3）设花园与墙垂直的边长为，利用矩形的面积公式，求出面积，利用配方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当，即：时，有最大值为2；
故答案为：1，大，2；
（2），
∵，
∴当时，有最大值为5；
故答案为：1，大，5，1，5，5；
（3）设花园与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为：，
∴花园的面积，
∵，
∴当时，有最大值为：50；
答：当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是．
23．(1)代数式的最小值为8
(2)见解析
【分析】（1）先把配方得到，再结合偶次方的非负性可得代数式的最小值；
（2）先把被开方数通过配方化为，再结合偶次方的非负性与二次根式有意义的条件可得结论．
【详解】（1）解：==
∵无论取何实数，都有，∴，
∴代数式的最小值为8．
（2）证明：=
∵无论取何实数，都有，∴
∴无论取何实数，二次根式 都有意义．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，代数式的最值，偶次方的非负性的应用，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解本题的关键．
24．见解析
【分析】本题考查了配方法，将代数式配方，根据非负数的性质即可求解．
【详解】证明：，
原代数式的值恒为正数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)