2.4用因式分解法求解一元二次方程同步练习（含解析）

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2.4用因式分解法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（ ）
A．或 B． C．或 D．
2．如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE＝7，CE＝13，则阴影部分的面积是(　　)
A．114 B．124 C．134 D．144
3．方程x(x+2)=0的根是（ ）
A．x1=2， x2=0 B．x1=－2， x2=0 C．x1=x2=－2 D．x=0
4．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
5．直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　）
A．或 B． C． D．或
6．若关于的一元二次方程的一个根为0，则另一个根是（ ）
A． B． C．1 D．
7．方程的解是（ ）
A． B． C． D．，
8．定义运算：．例如：．则方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．关于y的一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
10．老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算；再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（ ）
老师：
↓
甲：
↓
乙：
↓
丙：
↓
丁：
A．4 B．3 C．2 D．1
11．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．2或﹣3
12．若代数式和的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．1或3 B．-1或-3 C．1或-1 D．3或-3
二、填空题
13．方程的解为 ．
14．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算 ；嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：，其中x的值为 ．
15．有一个数的算术平方根，比它的倒数的正平方根的10倍少3，这个数是 ．
16．如图，正方形的边长为4，E，F，G，H分别为边上的点，且满足，，当四边形的周长为时，长为 ．
17．方程的较大的根是 ．
三、解答题
18．解下列一元二次方程：
(1)
(2)
19．如图，在边长为单位1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点A和点B分别在网格的格点上．
(1)分解因式2a2﹣18；
(2)若2a2﹣18＝0，且点A(a，2)在第二象限，点B(a+5，﹣1)在第四象限，请求出点A和点B的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
(3)在（2）的条件下，已知点(a，﹣4)是点A关于直线的对称点，点C在直线l上，且ABC的面积为6，直接写出点C的坐标．
20．家原计划生产1000套产品．根据发展需求，要在原计划基础上增加总量，并且比原计划提前5天完成．经预测，现在平均每天的生产量比原计划增加20套．求原计划每天生产产品多少套？
21．为美化市容，改善居民生活环境，区政府投入总资金9400万元修建一个游园．为使游园早日造福于市民，承建单位经预算拿出总资金用于购买某种名贵成树进行绿化．施工中，第一次用16万元从某林场购回若干棵；后经了解该林场出售此种名贵成树有优惠条件：即购买20万元以上者每棵树优惠40元，于是承建单位第二次将预算购买名贵成树的余下资金一次投入，因此比第一次多购买回200棵该种成树，问承建单位两次共购回这种名贵成树多少棵？
22．（1）解方程：
（2）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题：“一百马， 一百瓦，大马一拖三，小马三拖一， 大马小马各几何？”其大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马、小马各多少匹？
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值．
24．如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，坐标原点O在边BC上，AD＝6，OA、OB的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根．且OA＞OB．
（1）求点C、D的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C C D C B D A
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】根据规则可得：，再解此方程，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
得，
得，
故或，
解得（舍去），，
所以，原方程的解为，
故选：D．
【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．
2．A
【分析】设AB=BC=AD=x，则DE=x-7，根据勾股定理得出方程，解方程求出BC=AB=12，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，AB=BC=AD，
设AB=BC=AD=x，
则DE=x-7，
∵，
∴，
解得：x=12，或x=-5（不合题意，舍去），
∴BC=AB=12，
∴阴影部分的面积；
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3．B
【分析】根据方程的特点直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】∵x(x+2)=0，
∴或，
解得，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适当的解法是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
5．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解．
【详解】解：
∴
解得：
由
∴，
解得：或
依题意，这个直角三角形的三边分别为，
∴这个直角三角形的周长为，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解一元二次方程．掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义可求得，即得出原方程为，再求解即可．
【详解】解：将代入，得：，
解得：．
∵该方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
∴原方程为，即，
解得：，，
∴另一个根是．
故选D．
7．C
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
解得，，
故选：C．
8．B
【分析】根据新定义得出方程，再解分式方程，求出其解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，；
故选：B．
【点睛】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．
先把方程转化成一般形式，然后提取公因式y分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
，，
故选：D．
10．A
【分析】根据解一元二次方程的步骤和依据逐一判断即可．
【详解】解：甲错误：在上一步基础上，右边误写成，
乙错误，未明确是否为，不能两边都除以，
丙错误：在上一步基础上，移项未变号；
丁错误：在上一步基础上，不能得出，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11．A
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解．
【详解】依题意可得
解得m=-3
故选A．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点及解一元二次方程的方法．
12．A
【分析】根据相反数的定义即可得出关于x的一元二次方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
【详解】解：∵代数式x（x-1）和3（1-x）的值互为相反数，
∴x（x-1）+3（1-x）=0，
即（x-3）（x-1）=0，
x-3=0或x-1=0，
解得x=3或x=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义以及分解因式法解一元二次方程，利用十字相乘法分解因式将方程边形为（x-3）（x-1）=0是解题的关键．
13．
【分析】移项后通过因式分解法，求出方程的解．
【详解】解：
移项：
因式分解：
解得：
故答案为．
【点睛】本题考查一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法解方程是关键．
14． ，
【分析】根据新运算法则：，即可算出的结果；再根据新运算法则：，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：
∵，
∴，
即，
解得：，．
故答案为：，
【点睛】本题考查了实数的新定义运算、解一元二次方程，解本题的关键在理解新定义运算法则．
15．4
【分析】设这个数的算术平方根为x，则它的倒数的正平方根为，根据题意列出方程，求解．并根据一个数的算术平方根为非负数排除不符合题意的解，然后根据算术平方根，即可求出这个数．
【详解】解：设这个数的算术平方根为x，则它的倒数的正平方根为，
所以，
即，
，
或，
解得（因为一个数的算术平方根为非负数，所以舍去）．
所以这个数的算术平方根为2，这个数为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查算术平方根与平方根，分式方程的实际应用，解一元二次方程．本题中，未知数可设这个数的算术平方根，这样求解过程较为简单．还需注意根据一个数的算术平方根为非负数排除不符合题意的解．
16．
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，设，得到，勾股定理求出的长，再根据四边形的周长为，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴，，
设，则，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，即可判定求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，，
∴方程的较大的根是，
故答案为：．
18．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题得关键．
（1）利用因式分解法求解即可得；
（2）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：，
移项得，
配方得，即，
∴，
∴．
19．(1)；
(2)点A（-3，2），点B（2，-1），坐标系见详解；
(3)点C的坐标为（-2，-1）或（6，-1）．
【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；
（2）先用因式分解法解一元二次方程，再根据点的坐标所在象限求出a的值，利用平移法确定坐标轴建立平面直角坐标系即可；
（3）先求出点A的对称点坐标，找出对称轴，根据点C在直线l上，设点C左边为（m，-1）然后分类当点C在点B左边，ABC的面积为6，，当点C在点B的右边，，解方程即可．
【详解】（1）解：2a2﹣18=；
（2）解：2a2﹣18＝0，
解得：
∵点A(a，2)在第二象限，
∴a=-3，
∴点A（-3，2），
点B(a+5，﹣1)在第四象限，
∴当，，点B（2，-1），
建立平面直角坐标系如图所示；
（3） ∵点A（-3，2），A′（-3，-4），
∴AA′∥y轴，
∴AA′的垂直平分线为y=-1，
∴直线l为y=-1，
∵点C在直线l上，设点C坐标为（m，-1）
当点C在点B左边，
∵ABC的面积为6，
∴
解得，点C（-2，-1）
当点C在点B的右边，
∴
解得，点C（6，-1）
∴点C的坐标为（-2，-1）或（6，-1）．
【点睛】本题考查因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直角坐标系，点的平移，两点距离，三角形面积，轴对称性质，掌握因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直角坐标系，点的平移，三角形面积，轴对称性质是解题关键．
20．40
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程和检验是解答本题的关键．根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天生产x套，则实际每天套．
根据题意，可列方程．
两边同时乘以得，
再整理，得．
解得．
经检验，．都是原方程的解，由题意得结果不能为负数，
所以取．
答：原计划每天生产40套．
21．承建单位两次共购回这种名贵成树1000棵
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一次购买回这种名贵成树x棵，则第二次购买回这种名贵成树棵，根据第二次购买的单价比第一次购买的单价低40元列出方程求解即可．
【详解】解：设第一次购买回这种名贵成树x棵，则第二次购买回这种名贵成树棵，
由题意得，，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：承建单位两次共购回这种名贵成树1000棵．
22．（1），；（2）有25匹大马，75匹小马
【分析】本题考查一元二次方程的解法及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
（1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）根据有100匹马恰好拉100片瓦，1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：（1），
，
或，
所以，；
（2）解：设有匹大马，匹小马，
，
解得，，
答：有25匹大马，75匹小马．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先计算出的值，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的解，再分类讨论当或时为等腰三角形，然后求出的值．
【详解】（1）证明：由题意可得：
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵
∴，
∴，，则，，
当时，为等腰三角形，则，解得，
由于，此时三角形不存在，不符合题意；
当时，为等腰三角形，则，解得，
，此时三角形存在，符合题意；
∴当是等腰三角形时，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
24．（1）C（3，0），D（6，4）；（2）证明见解析．
【分析】（1）先利用因式分解法解方程x2﹣7x+12＝0得到OA＝4，OB＝3，再利用平行四边形的性质得AD∥BC，BC＝AD＝6，则OC＝3，从而得到C、D的坐标；
（2）先证明AO垂直平分BC得到AB＝AC，然后根据等腰三角形的性质得到结论．
【详解】（1）∵x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∴OA＝4，OB＝3．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝6，
∴OC＝6﹣3＝3，
∴D（6，4），C（3，0）；
（2）∵OB＝OC，AO⊥BC，即AO垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴射线AO是∠BAC的平分线．
【点睛】考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．
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