2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习（含解析）

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2.5一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程x2-2x＋m=0有两个相等的实数根，设两根为x1，x2，则的值是（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．已知一元二次方程的两根、，则（ ）
A．4 B．3 C．-4 D．-3
3．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
4．如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．3或7
5．已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ）
A． B．7 C． D．11
6．若方程的两根分别为，则（ ）
A． B． C． D．
7．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是方程的两根，则的值为( )
A．3 B．5 C．7 D．9
10．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
11．若x＝1是方程x2+bx＝0的一个根，则它的两根之和是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
12．已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．已知m，n是方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则m2+n的值为 ．
14．已知实数是方程的两个解，则的值是 ．
15．已知是一元二次方程的两个根，则= ．
16．方程x2－3x－6＝0的两根之和为 ．
17．若是一元二次方程的一个根，则其另一个根是 ．
三、解答题
18．已知关于的一元二次方程有两个实数根为，且．
(1)求的取值；
(2)求与的值．
19．（1）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
①试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
②若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
（2）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2．
①求实数k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍．
20．已知m，n是方程的两根，求的值．
21．关于的方程的两个实数根为、，且，求的值．
22．已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值．
(1)；
(2)；
23．已知关于的方程.
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求的值.
24．已知关于x的方程，
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若、是方程的两个实数根，且，求k的值
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D A A C D A A
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】根据方程有两个相等的实数根时△＝＝0列出方程，得到的值，再根据根与系数的关系，表示出，把的值带入即可得答案．
【详解】解：根据题意，得：△＝＝0 ，即，
解得，
，
，
故答案选；A．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式△＝，熟记相关的公式是解决此题的关键．
2．A
【分析】根据一元二次方程x2-4x+3=0两根为x1、x2，直接利用求出即可.
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0两根为x1、x2，
∴，
故选择：A.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．
3．D
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故选：D．
4．D
【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理可得关于a、m的二元一次方程组，解方程组可得m的值．
【详解】设方程的另一个根为m，
由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|= ①，
5m=4a2-1 ②，
把①代入②得：5m=×4-1，
整理得：m2-10m+21=0，
解得：m=3或m=7，
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解方程组的能力，由韦达定理得出关于a、m的二元一次方程组是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，，再整体代入求解代数式的值即可．
【详解】解：，即，
∵m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．利用根与系数的关系可得出，再将其代入整理后的代数式，中即可求出结论．
【详解】解：方程的两根分别为和，
，
．
故选：A．
7．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据，即可求解．
【详解】解：设另一个根为，依题意，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据判别式判断有无实数根，再根据来判断两个根是否互为倒数．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，无实数根，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
9．A
【详解】试题分析：先根据一元二次方程根与系数的关系求得、的值，再根据完全平方公式即得结果.
由题意得，
则
故选A.
考点：一元二次方程根与系数的关系
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，
10．A
【详解】Δ=b2－4ac=9+8=17＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
故选A.
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：
若b2－4ac＞0，那么方程有两个不相等的实数根；
若b2－4ac=0，那么方程有两个相等的实数根；
若b2－4ac＜0，那么方程没有实数根；
11．A
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=1代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值，再根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：根据题意得
12+1×b＝0，即b+1＝0，
解得b＝﹣1，
即方程为x2﹣x＝0，
则它的两根之和是1．
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别为，
∴，
∴．
故选：A．
13．2019；
【分析】利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2018；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．
【详解】∵m，n是方程x2-x-2018=0的两个实数根，
∴m2-m-2016=0，即m2=m+2018，
∵m+n=1，
∴m2+n=m+n+2018=1+2018=2019．
故答案为2019．
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
14．
【分析】由实数是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系可得出的值，再将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
【详解】解：∵实数是方程的两个解，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
16．3
【分析】根据韦达定理直接就能求得两根之和．
【详解】解：∵x2－3x－6＝0，
∴，
∵Δ=9+24=33>0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴由韦达定理得： =3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了韦达定理，需要注意的是要验证是否有实数根．
17．
【分析】本题考查根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和即可解决问题．
【详解】解：由题知，一元二次方程的两根之和为，
又因为是该方程的一个根，
所以，
即另一个根为．
故答案为：．
18．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．
（1）根据“关于x的一元二次方程有两个实数根”，得，由得到，解之即可，
（2）由（1）将k的值代入原方程，利用配方法求解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得，
解得，
；
（2）解：由（1）知原方程为
，
，
解得：．
19．（1）①见解析；②见解析，A（0、1）、C（-3、1）；（2）①k＞；②不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍，理由见解析
【分析】（1）①直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
②利用B点坐标得出原点位置，进而得出A、C两点的坐标；
（2）①由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出实数k的取值范围；
②由根与系数的关系可得x1+x2=-（2k+1）、x1 x2=k2+1，结合x1 x =2(x1+x2)即可得出关于k的一元二次方程，利用差别式即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：△AB1C1，即为所求；
②如图所示：A（0、1）、C（-3、1）；
（2）①∵方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根，
∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
即4k-3＞0，
解得：k＞；
②不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍．
理由如下：
∵x1+x2=-（2k+1）、x1x2=k2+1，
∴由题意得：x1 x =2(x1+x2)，得：k2+1=2，
整理，得：k2+4k+3=0，
解得：k=-1或k=-3，
∵k＞，
∴k=-1或k=-3都不满足题意．
∴不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解第（1）题的关键；根据根与系数的关系找出关于k的一元二次方程是解第（2）题的关键．
20．8
【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，以及一元二方程的解，据此代入数值进行计算，即可作答．
【详解】
解：∵m，n是方程的两根，
∴，
∴
∴
21．或
【分析】本题考查了一元二次根于系数的关系和根的判别式等知识．根据得到或．分和两种情况分类讨论，分别利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解，并进行检验即可求解．
【详解】解：∵
∴或．
当时，
∵、为关于的方程的两个实数根，
∴．
解得，经检验是方程的解，
此时一元二次方程为，有两个互为相反数的实数根，符合题意；
当时，方程有两个相等的实数根，
∴
解得，
此时一元二次方程为，有两个相等的实数根，符合题意．
∴或
22．(1)3
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则．
（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵、是方程的两个实数根，
∴，．
（2）解：
23．(1)见解析
(2).
【分析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断的值，就有实数根；
设直角三角形的两条直角边长分别为，，利用根与系数的关系可以得到，的值，利用勾股定理化简带入求k的值．
【详解】（1）证明：∵
∴无论取何值，方程总有实数根．
（2）设直角三角形的两条直角边长分别为，，
则，，∴，
又，，，
解得：，
∵，
∴应舍去，故．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，注意直角三角形边长为正值是解题的关键．
24．（1）证明略
（2）-1
【详解】（1）证明：∵△=（4k+1）2-4(2k-1)=16k2+5>0
∴有不等实数根；
（2）∵x1+x2=-4k-1，x1x2=2k-1
∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=2k-1+2（4k+1）+4=2k-3
∴k=-1．
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