4.3相似多边形同步练习（含解析）

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4.3相似多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
2．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（　　）
A．100m2 B．270m2 C．2700m2 D．90000m2
3．已知五边形五边形，且，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
4．如图所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b），设S甲，S乙分别表示两个正方体的表面积，则，又设V甲，V乙分别表示这两个正方体的体积，则，下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A．两个球体 B．两个圆柱体 C．两个圆锥体 D．两个长方体
5．两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．下列与相似有关的命题中，正确的是（ ）
①所有的等腰三角形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的正六边形都相似．
A．①②③ B．① C．② D．③
7．有一块边长为的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第个正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若两个多边形相似，则对应边的比相等
B．若两个多边形相似，则对应角的比等于对应边的比
C．若两个多边形的对应角相等，则这两个多边形相似
D．若两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形相似
10．下列命题中，真命题是（ ）
A．有一个角为30°的两个等腰三角形相似
B．邻边之比都等于2的两个平行四边形相似
C．底角为40°的两个等腰梯形相似
D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似
11．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：10
12．已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．已知五边形∽五边形，且五边形与五边形的相似比为，若五边形的周长为6，则五边形的周长为 ．
14．有一个多边形的边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是 .
15．各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ．
16．两个相似多边形面积之比为4：9，周长只差为4．则这两个相似多边形的周长分别是 ．
17．一个五边形的周长和面积分别为，18cm2，另一个和它相似的五边形的周长是，则另一个五边形的面积是 ．
三、解答题
18．如图所示，污水处理公司为某楼房建一座周长为30米的三级污水处理池，平面图为矩形ABCD，米，中间两条隔墙分别为EF、GH，池墙的厚度不考虑．
(1)用含x的代数式表示外围墙AD的长度；
(2)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的矩形，且它们均与矩形ABCD相似，求此时AB的长；
(3)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的正方形，已知池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价每米300元，池底建造的单价为每平方米100元，试计算此项工程的总造价.（结果精确到1元）．
19．如图, 现有边长为1，a (其中a>1)的一张矩形纸片, 现要将它剪裁出三个小矩形 (大小可以不同， 但不能有剩余), 使每个矩形都与原矩形相似，请在图中画出两种不同裁剪方案的裁剪线的示意图，并直接写出相应的a的值(不必写过程)．
20．如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连结AD，BE．我们探究下列图中线段AD，、线段BE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图4—6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （ab，k0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第（2）题图5中，连结BD、AE，且a=4，b=3，k=，求BD2+AE2的值．
21．如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点．
(1)求证：是菱形：
(2)若，则的值为______．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A C D B A A D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】解：∵AB=1，
可得AF=BE=1，
设DF=x，则AD=x+1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
即：，
解得，（不合题意舍去），
经检验是原方程的解，
∴DF的长为，
故选C.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
2．C
【详解】分析：
由题意可知图纸上的长方形和长方形草坪是相似的，且相似比为5：1500=1：300，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可由图上面积计算出长方形草坪的实际面积.
详解：
由题意可知，图纸上的长方形和长方形草坪是相似的，且相似比为5：1500=1：300，设长方形草坪的实际面积为xcm2，则由相似多边形的面积比等于相似比的平方可得：
，解得（cm2），
∴长方形草坪的实际面积为：27000000cm2=2700m2.
故选C.
点睛：本题解题有两个要点：（1）由题意可知“图纸上的长方形和长方形草坪是相似的，且相似比为1：300”；（2）相似多边形的面积比等于相似比的平方.
3．A
【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵五边形五边形，
∴，
∴或（舍去），
∵，
∴，
故选A．
4．A
【详解】试题分析：根据阅读材料得到相似体的概念，然后对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析，发现只有球体的形状是完全相同的．
A 、两个球体，形状完全相同，是相似体；
B、两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体；
C、两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体；
D、两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体；
故选A．
考点：相似图形
点评：阅读理解题主要考查学生阅读分析问题的能力，在中考中很常见，这类问题往往难度不大，但需要同学们仔细认真，注意把握题目中的关键语句.
5．C
【分析】根据相似多边形的周长比得到面积的比，进而得解．
【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是，
∴两个相似多边形的相似比是，
∴两个相似多边形的面积比是，
∵小多边形的面积为，
∴较大多边形的面积为，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，熟记性质是解题的关键．
6．D
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①所有的等腰三角形都不一定相似，故原说法错误，不符合题意；
②所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不都相似，故原命题错误，不符合题意；
③所有的正六边形都相似，正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义．
7．B
【分析】根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为 ，...即相邻三角形相似比为: 1: 2,进而求出即相邻三角形面积比,从而得出规律.
【详解】解: ∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的
∴三角形的边长分别为
即相邻三角形相似比为: 1: 2,
即相邻三角形面积比为: 1: 4,
∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为:
∴第n个纸板的面积为:
∴第2020个纸板的面积为:
故选：B
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键.
8．A
【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．
【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，
故选：A．
9．A
【分析】根据相似多边形的性质与判定解答即可．
【详解】解：A、若两个多边形相似，则对应边的比相等，故此选项正确；
B、若两个多边形相似，则对应角的比不等于对应边的比，故此选项错误；
C、若两个多边形的对应角相等，这两个多边形不一定相似，故此选项错误；
D、两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形不一定相似，故此选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键，属于基础题．
10．D
【分析】根据等腰三角形，平行四边形，等腰梯形，相似图形的判定逐项排查即可.
【详解】解：30°可以是顶角也可以是底角，不能确定两个等腰三角形相似，故A是假命题，不符合题意；
邻边的比都等于2的两个平行四边形，但是夹角没有说明相等，所以不一定相似，故B是假命题，不符合题意；
底角为40°的两个等腰梯形，角度相等，但是对应边不一定对应成比例，故C是假命题，不符合题意；
120°只能是顶角，所以三个角对应相等，根据三角形的相似判定定理，一定相似，故D是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握多边形相似的判定：两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似．
11．C
【详解】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
12．B
【分析】本题考查了图形的相似；根据图形相似的性质，分两种情况考虑：与，即可求得x的值．
【详解】解：由于两个矩形相似，
则有或，
解得：或；
故选：B．
13．
【分析】题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形周长的比等于相似比，熟记性质是解题的关键．
【详解】设五边形的周长为，
∵五边形∽五边形，
∴，解得，
故答案为：．
14．32cm.
【分析】先根据两多边形相似求出其相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答．
【详解】∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，
∴两个相似多边形的相似比
∴
解得C=32cm.
故答案为32cm.
【点睛】考查相似多边形的性质，掌握周长比等于相似比是解题的关键.
15． 对应成比例 相似比
【解析】略
16．12，8
【详解】试题分析：由两个相似多边形面积之比为4：9，即可求得这两个相似多边形的周长比为2：3，又由周长差为4，即可求得答案．
解：∵两个相似多边形面积之比为4：9，
∴这两个相似多边形的相似比为2：3，
∴这两个相似多边形的周长比为2：3，
设这两个相似多边形的周长分别是2x，3x，
∵周长差为4，
∴3x﹣2x=4，
解得：x=4，
∴这两个相似多边形的周长分别是：12，8．
故答案为12，8．
考点：相似多边形的性质．
点评：此题考查了相似多边形的性质．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
17．72
【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．
【详解】解：设另一个五边形的面积为xcm2，
∵两个五边形相似，
∴，
解得：x=72cm2．
故答案为：72．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要涉及相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
18．(1)AD的长度为米；
(2)AB的长为米；
(3)此项工程的总造价约为18469元．
【分析】（1）根据矩形的周长等于相邻两边和的2倍，求解即可得；
（2）利用相似的性质及题意可得，即，且，据此可列方程，求解即可得；
（3）根据题意可得，由于是正方形，列出方程求解可得，然后根据题中各个部分的造价进行计算即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，
∴，
答：AD的长度为米；
（2）解：由题意可知，，即，且，
∴
解得：，(不合题意，舍去)
∴，
∴AB的长为米；
（3）解：由题意知，则有，
解得：，
总造价：，
当时，原式（元），
答：此项工程的总造价约为18469元．
【点睛】题目主要考查一元一次方程及一元二次方程的应用，相似图形的性质等，根据题意列出方程是解题关键．
19．如图所示：
【详解】试题分析：a取，等同大小裁剪，裁剪为三个矩形；则这几个矩形与原矩形相似．
考点：相似多边形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
20．（1）①AD=BE，AD⊥BE；②AD=BE AD⊥BE；（2）AD⊥BE成立，AD=BE不成立；（3）BD2+AE2=．
【详解】(1)根据三角形全等的判定和性质进行解答
（2）根据相似三角形的判定和性质进行解答
（3）根据勾股定理解答
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题
【详解】（1）∵的平分线交于点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
同理，．
∴．
∵
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了靺的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键
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