4.5相似三角形判定定理的证明同步练习（含解析）

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4.5相似三角形判定定理的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．3：2 B．1：1 C．2：5 D．2：3
2．下列条件中可以判定△ABC∽△A＇B＇C＇的是（ ）
A． B．,∠B=∠B＇
C．,∠A=∠A＇ D．
3．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　）
A． B．2 C． D．1
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB上的一个动点(不与A、B两点重合)，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，点D从靠近点A的某一点向点B移动，矩形DECF的周长变化情况是（ ）
A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大
5．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，、是边上的点，，在边上，，交，于，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面是2，则四边形BCED的面积是（ ）
A．4 B．8 C． D．
10．如图，△ABC的面积为60，点G是重心，连结BG并延长交AC于D，连结GA，则△GAB的面积为(　　)
A．40 B．30 C．20 D．10
11．如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AD=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,只要CD等于( )
A． B． C． D．
12．如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，DE=3.5，则BC的长度为（ ）
A．5.5 B．5.25 C．6.5 D．7
二、填空题
13．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条．
14．如图，△ABC内接于⊙O，D是弧BC的中点，OD交BC于点H，且OH=DH，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，连接EH，BF⊥AC于M，若AC=5，EH=，则AF= ．
15．已知：在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是 ．
16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有 （只填序号）
17．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是 ．
三、解答题
18．阅读下面材料．
小明遇到下面一个问题：如图所示，是的角平分线，，，求的值．小明发现，分别过，作直线的垂线，垂足分别为，．通过推理计算，可以解决问题（如图）．
（）请回答，__________．
参考小明思考问题的方法，解决问题．
如图，四边形中，，，，平分，．与相交于点．
（）__________（）__________．
19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界），连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE．连接CD，BE．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：BE=CD．
（3）延长CD交AB于F，交BE于G．
①求证：△ACF∽△GBF；
②连接BD，DE，当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BD的值．
20．如图，点、、、在一条直线上，且，，求证：．
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，以CD为直径作⊙O，交边AC于点P，连接BP，交AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果PB是⊙O的切线，BC=4，求PE的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A B A D D C C
题号 11 12
答案 D B
1．D
【详解】∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
∴.
故选D.
2．C
【分析】判定两个三角形相似，可用两个对应角相等，也可以是边长对应成比例，但必须夹角相等.
【详解】、中只有对应边成比例，角不确定，、错，
中不是、的夹角，所以错，
中对应边成比例，且夹角相等，所以可判定其相似，对.
故选：.
【点睛】题中对应线段成比例，、中没有角的关系，而中不是、的夹角，做题时应注意.
3．A
【详解】试题分析：设AP=x，PD=4﹣x．
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，故=①；
同理可得△DFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，
∴PE+PF=．故选A．
考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
点评：此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．
4．A
【详解】试题解析：设DE=λ，DF=μ；
∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF=DE=λ，CE=DF=μ，
∴矩形DECF的周长η=2λ+2μ；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴①；同理可证②，
由①+②得：，
∴μ=8-
∴
=-+16，
∵-＜0，
∴随λ的增大而减小；
∵点D从靠近点A的某一点向点B移动时，λ逐渐变大，
∴矩形DECF的周长η逐渐减小．
故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
5．B
【详解】试题分析：根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则4:20=x:25，
解得x=5，
所以另一段长为25 5=20，
因为20÷4=5，所以是第5张.
故选B.
点睛：本题是一道动手操作题.主要涉及的知识点是相似三角形的性质.解题的关键在于要在理解题意的基础上，运用相似三角形的性质建立方程求解.
6．A
【分析】由平行可得，，从而得到对应线段成比例，推得BG=GH=DH，最后利用等底等高的三角形面积相等推理得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴ , ,
,
同理，,
∵DF=CF，BE=CE，
∴ ,
∴ ,
∴BG=GH=DH，
∵△AGH的面积为S1，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH=S1，
∴S平行四边形ABCD=6S1，
∴S1：S2，=1：6，
故选A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活转移线段的条件是解题的关键．
7．D
【详解】试题解析：连接EM，
CE:CD=CM:CA=1:3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME,△CEM∽△CDA
∴HD:ME=BD:BE=3:5，ME:AD=CM:AC=1:3
∴AH:ME=12:5
∴HG:GM=AH:EM=12:5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH:HM=3:2=BH:17k
故选D.
8．D
【详解】分析：分别求出第1个，第3个，第3个，第4个正方形的边长和面积，从它们的表达式中探索规律.
详解：
正方形序号 边长 面积
1 5
2 5()2
3 5[()2]2
4 5[()3]2
n …… 5[()n－1]2
所以第2010个正方形的面积为5[()2010－1]2＝5()4018.
点睛：解规律探索题要注意以下两点:(1)探索规律的关键：注意观察已知的对应数值(图形)的变化规律，从中发现数量关系或图形的变化规律，即得到规律．(2)探索规律的步骤：①从具体的题目出发，用列表或列举的方式，把数量或图形的变化特点展现在图表当中；②认真观察图表或图形，通过合理联想，大胆猜想，总结归纳，得出数字或图形间的变化规律，形成结论；③由此及彼验证结论的正误．
9．C
【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，DB=3，∴，∴，∵△ADE的面积是2，∴△ABC的面积是12.5，∴四边形BCED的面积是12.5﹣2=10.5，故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比=相似比的平方．
10．C
【详解】试题解析：连接CG并延长交AB于点E，
∵G是△ABC的重心，
故选C.
11．D
【详解】试题解析：假设△ABC∽△CAD，
∴，
即CD=，
∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，
故选D．
12．B
【详解】如图，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，即，解得BC=5.25，故选B.
13．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
【详解】作DE∥AB,DF∥BC，可得相似，
作∠CDG=∠B，∠ADH=∠C，也可得相似三角形.
所以可作4条.
故答案为4.
【点睛】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的4中判定方法是解题的关键.
14．
【详解】如图，延长BE交AC的延长线于N，连接OB、OC、BD．
∵，
∴∠EAB=∠EAN，
∵AD⊥BN，
∴∠AEB=∠AEN=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠N+∠EAN=90°，
∴∠ABE=∠N，
∴AB=AN，
∴BE=EN，
∵OD⊥BC，
∴BH=HC，
∴CN=2EH，
∴AB=AN=AC+CN=8，
∵OH=HD，BH⊥OD，
∴BO=BD=OD，
∴∠BOD=∠DOC=60°，
∴∠BAC=∠BOC=60°，
在Rt△AMB中，AM=AB=4，BM=4，
在Rt△BMC中，BC=，
∵∠MAF=∠MBC，∠AMF=∠BMC，
∴△AMF∽△BMC，
∴，
∴，
∴AF=．
故答案为．
【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定、勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意掌握数形结合思想的应用．
15．；
【详解】分析：首先设AE=x，则BC=AD=2x，DE=3x，根据△BCF和△DEF相似得出答案．
详解：设AE=x，∵AE=AD，∴BC=AD=2x，DE=3x，
∵DE∥BC， ∴△BCF∽△DEF， ∴．　
点睛：本题主要考查的是三角形相似的判定与性质，属于基础题型．判定三角形相似是解题的关键．
16．①②③④
【分析】①正确．只要证明∠CPM=∠PAB，∠C=∠B=90°，即可；②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；③正确．根据HL即可证明；④正确，作MG⊥AB于G，因为AM= ，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为 ，AM的最小值为 ．⑤错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
【详解】①由翻折可知，∠APE=∠APB，∠MPC=∠MPN，
∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°，
∴∠CPM+∠APB=90°，∵∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确；
②设PB=x，则CP=2-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴，，
∴CM=x（2-x），
∴S四边形AMCB= [2+x（2-x）]×2=-x2+x+2=-（x-1）2+2.5，
∴x=1时，四边形AMCB面积最大值为2.5，故②正确；
③在Rt△ADN和Rt△AEN中，
，
∴△ADN≌△AEN．故③正确；
④作MG⊥AB于G，
∵AM=，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=2-x（2-x）=（x-1）2+，
∴x=1时，AG最小值=，
∴AM的最小值=，故④正确．
⑤当PB=PC=PE=1时，
由折叠知，ND=NE，
设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+1）2=（2-y）2+12解得y=
∴NE=，
∴NE≠EP，故⑤错误，
故填：①②③④
【点睛】此题是四边形综合题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
17．36
【详解】分析：由已知条件易证得△ABC∽△DCA，可得即在中，由勾股定理可得通过两式可求得的长，再根据梯形的面积公式求解即可．
详解：∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵
∴△ABC∽△DCA，
∴ 即
∵在中,
∴
∴梯形的面积
故答案为：36.
点睛：考查了梯形的性质和面积公式，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，属于中档题，考查了学生综合知识的运用，正确求得梯形的高是解题的关键.
18．（1）．
（2）．
（3）．
【详解】（）根据小明的结论得===；
（2）作AE⊥BD于E，证明△AOE∽△COD，求出AE、BE、DE、OD的长即可求出tan∠DCO的值.
解：（）∵．
（）．
（）作于．
∵，．∴，∴．
∴．
∵，∴．
∵平分，
∴．
∴．
又∵，
∴，．
∴．
∴．
19．（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析，②AB：BD=：2或：2．
【分析】（1）根据题意，将AD绕点A顺时针旋转90°，补全图形即可；
（2）已知AD=AE，∠BAD+∠BAE=∠BAD+∠CAD，可得∠BAE=∠CAD，利用全等三角形判定依据SAS，即可求证本问结论；
（3）①利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠ABE，由对顶角相等得到∠AFC=∠GFB，至此问题不难证明；
②分为∠EDB=90°与∠BED=90°时两种情况，分别利用△AED、△EBD、△ABC为等腰直角三角形，即直角三角形斜边等于直角边的倍，结合BE=CD，求解直角三角形，即可得解.
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵∠EAD=∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AE=AD，AB=AC，
∴△EAB≌△DAC，
∴BE=CD．
（3）①证明：∵△EAB≌△DAC，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠CFA=∠BFG，
∴△ACF∽△GBF．
②如图2中，当BE=ED，∠BED=90°时，设AE=AD=a，则DE=BE=a，BD=BE=2a，
∵∠ADE=∠BDE=45°，
∴∠ADB=90°，
∴AB==a，
∴AB：BD=a：2a=：2．
如图3中，当BD=DE，∠BDE=90°时，设AE=AD=a，则BD=DE=a，BE=2a，
∵∠AED=∠BED=45°，
∴∠AEB=90°，
∴AB=a，
∴AB：BD=a：a=：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质 ，勾股定理等知识及分类讨论的数学思想.解（2）的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，解（3）①的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，解（3）②的关键是分两种情况进行讨论.
20．见解析
【分析】，，根据平行线的性质得到，，根据两组角对应相等的两个三角形相似即可判定．
【详解】证明：∵，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
21．（1） 证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：
（1）由AB=AC，点D是BC的中点可得AD⊥BC，结合CD是⊙O的直径，即可得AD是⊙O的切线；
（2）连接OP，由已知易求得BD、OB、OP和BP的长，再证PE=DE，△BDE∽△BPO即可列出比例式求得DE的长，从而可得PE的长.
试题解析：
（1）∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥CD，
∵CD为⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OP，
∵点D是边BC的中点，BC=4，CD是⊙O的直径，
∴CD=BD=2，OP=1，OB=3，
∴在Rt△BOP中，BP=，
∵AD是⊙O的切线，PB是⊙O的切线，
∴PE=DE，∠BPO=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADB=∠BPO=90°，
又∵∠DBE=∠PBO，
∴△BDE∽△BPO，
∴，即，解得：DE=，
∴PE=DE=.
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