7.5三角形内角和定理同步练习（含解析）

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7.5三角形内角和定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠A=30°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB=84°，则∠EA度数为( )
A．54° B．81° C．108° D．114°
2．如图所示，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE等于（ ）
A．20° B．18° C．45° D．30°
3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，点D是外一点，连接，且交于点O，在上取一点E，使得，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，在内部绕点旋转，两边分别交、于点、，连接，当周长最小时，为（ ）

A． B． C． D．
6．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（　　）
A．90° B．110° C．100° D．120°
7．如图，直线AD∥BC，若∠1＝74°，∠BAC＝56°，则∠2的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
8．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是( )
A．120° B．130° C．75° D．150°
9．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
10．将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，分别是的边，上的两点，，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则 ．
14．如图，的两边被一张长方形纸片部分遮挡，若，，则 ．
15．已知线段（不共线），且、在点的同一侧，对于、与这三个角之间的等量关系，某同学有以下结论：①；②；③；④．其中可能正确的有 ．（填序号）
16．如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °．
17．如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线…，的角平分线，其中点B，，，…，都在射线上，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．

(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的周长．
19．如图，正方形网格中，点均在格点上，点也在格点上．
(1)过点画边的平行线分别交边于点；
(2)过点画边的垂线，垂足为；
(3)请写出与的数量关系，并说明理由．
20．在中，，，平分交于点D．
(1)求的度数；
(2)如图①，若于点F，交于点E．求的度数；
(3)如图②，若平分交于点E，交于点F，求的度数．
21．求下列图中的度数．
22．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数．
23．如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．
24．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
①如图a，若，点在、外部，则、、之间有何数量关系？
解：．
证明：∵，∴，
又∵______，
在中，由三角形内角和定理可得，
故，从而得．
②若，将点移到、内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论；
③在图b中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图c，则、、、之间有何数量关系？请证明你的结论；
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B B C C A B C
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】先根据折叠的性质得∠1=∠2，∠2=∠3，∠CDB=∠C′DB=84°，则∠1=∠2=∠3，即∠ABC=3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C=96°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C=180°，则30°+2∠3+96°=180°，可计算出∠3=27°，得到∠1=∠2=27°，而∠EA=∠A+∠A′+∠1+∠2即可得出结果．
【详解】解：如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∠CDB=∠C′DB=84°，
∴∠1=∠2=∠3，
∴∠ABC=3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB=180°，
∴∠3+∠C=180°-84°=96°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴30°+2∠3+（∠3+∠C）=180°，
即30°+2∠3+96°=180°，
∴∠3=27°，
∴∠1=∠2=27°
又∵∠EA=∠A+∠A′+∠1+∠2=30°+30°+27°+27°=114°，
故选择：D.
【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系并结合整体代换的思想是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据高线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得出∠BAE的度数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD得出答案．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BAD=90°-∠B=14°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=180°-∠B-∠C=68°，
∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =34°-14°=20°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的高线、角平分线的定义以及三角形的内角和定理，掌握基本概念是解题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和运算公式是解题的关键．利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可．
【详解】解：A：，代入，
得：，
，故此选项不符合题意；
B：，根据得：
，
，故此选项不符合题意；
C：，代入，
得：，
，故此选项符合题意；
D：代入，
得：，
，故此选项符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：；
在和中，
，
∴（），
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
5．B
【分析】作点A关于的对称点H，作点A关于的对称点G，连接，与、分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出，进而求出的度数．最后即可求出的度数．
【详解】如图，作点A关于的对称点H，作点A关于的对称点G，连接，与、分别相交于点F、点E，
∵，
∴，
∵点G和点H为点A的对称点，
∴，，
∵，即，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据三角形的外角和等于列方程求三个外角的度数，确定最大的内角的度数即可．
【详解】解：设三个外角的度数分别为，，，
根据三角形外角和定理，可知，
得，
所以最小的外角为，
故最大的内角为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形外角和定理及内角与外角的关系，解题的关键是根据题意列出方程求解．
7．C
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝50°，再根据AD∥BC，即可得出∠2＝∠ABC＝50°．
【详解】解：∵∠1＝74°，∠BAC＝56°，
∴∠ABC＝50°，
又∵AD∥BC，
∴∠2＝∠ABC＝50°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．A
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的性质，即可求出答案.
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴，，
∴
∴∠BOC=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°
=120°．
故选：A.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理进行解题.
9．B
【分析】利用三角形内角和是180°进行角的转化即可．
【详解】解：∵∠1+∠2+∠A=180°，∠B+∠3+∠4=180°，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠A+∠B=140°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和是180°的知识，解题关键是掌握三角形内角和是180°．
10．C
【分析】根据三角形三内角之和等于求解．本题考查三角形内角之和等于．
【详解】解：依题意，如图．
，，
．
故选：C．
11．B
【分析】由即可得出，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：，
，
平分，
，
平分，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出，本题属于基础题，难度不大，解决该题目时，熟练运用三角形内角和解决问题是关键．
12．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据三角形外角的性质得，证明得，最后根据三角形内角和定理可得答案．适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
13．/110度
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的定义、折叠的性质．根据平角定义和折叠的性质，得，再利用三角形的内角和定理进行转换，得．
【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得
，
又，
．
故答案为：．
14．/52度
【分析】该题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质．
根据平行得出，再运用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．①②③④
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、三角形的内角和是180°、两直线平行，同位角相等是解题的关键．
根据题意将线段、与点的位置进行分类讨论，结合平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图1：
∵，
∴，
在中，，
即；①正确；
如图2：
∵，
∴，
在中，，
即；②正确；
如图3：
∵，
∴，
在中，，
即；③正确；
如图4：延长与交于点；
∵，
∴，
在中，，
，
即，
故；④正确；
故答案为：①②③④．
16．70
【分析】由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，
∴△ABC≌△AED，
∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，
∴∠C＝＝＝70°．
故答案为：70．
【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单．
17．
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，找到规律是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而求出，等，总结规律，即可求得的度数．
【详解】解：∵，平分，，
∴，，，
∴，
，
，
…
，
∴
故答案为：．
18．(1)．
(2)
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质，得到，从而即可求解．
（2）根据折叠的性质，得到，进而计算周长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
由折叠可知，．
∵，
∴．
（2）解：由折叠可知，．
∴的周长．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用网格特点画图即可；
（2）利用网格特点画图即可；
（3）证明，结合，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：如图所示；，即为所求，
（2）解：如图所示；即为所求，
；
（3）解：．
理由：，
，
于点，
，
，
．
【点睛】本题考查的是画平行线，画垂线，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的画图是解本题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，
（1）根据三角形内角和定理得，根据即可得；
（2）根据得，根据，平分得，根据三角形内角和得，根据得，即可得；
（3）根据，，CE平分得，根据三角形内角和定理即可得；
理解题意，掌握三角形内角和定理，角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，平分
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，CE平分，
∴，
∴．
21．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了三角形内角和定理．
（1）用减去已知两个角度数即可求解；
（2）根据三角形内角和定理列出方程即可求解；
（3）根据三角形内角和定理列出方程即可求解．
【详解】解：（1）；
（2），解得：；
（3），解得．
22．
【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则．
23．见解析
【分析】根据角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得即可证明．
【详解】证明：∵分别是和的平分线，
∴，
∵，
∴
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
24．①见解析；②，证明见解析；③，证明见解析．
【分析】①先根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等量代换即可得证；
②如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等量代换即可得；
③如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，，再根据等量代换即可得．
【详解】①．
证明：∵，
∴，
又∵，
在中，由三角形内角和定理可得，
故，从而得；
②，证明如下：
如图，延长BP，交CD于点Q，
∵，
，
由三角形的外角性质得：，
；
③，证明如下：
如图，延长BP，交CD于点E，
由三角形的外角性质得：，
则．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
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