第五章二元一次方程组同步练习（含解析）

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第五章三元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．70cm B．75cm C．80cm D．85cm
2．若直线与直线的交点在第三象限，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
3．如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．140 cm2 B．96cm2 C．44 cm2 D．16 cm2
4．已知关于x，y的方程组与的解相同，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．
5．如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30 cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50 cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．400 cm2 B．600 cm2 C．800 cm2 D．900 cm2
6．一次函数的图象过点，．下列结论不正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．函数图象经过第一、二、四象限
C．是方程的解 D．函数图象与轴交于点
7．已知，则代数式的值是（ ）
A．－5 B．5 C．13 D．1
8．已知关于x、y方程组 的解满足x+y=3，则的值为( )
A．10 B．8 C．7 D．6
9．如图，一次函数y＝x的图象与y＝kx＋7的图象相交于点A，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
11．对于二元一次方程，用含的方程表示为( )
A． B．
C． D．
12．为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
二、填空题
13．已知点（a，4）在连接点（0，8）和点（-4，0）的线段上，则a= .
14．定义运算“*”，规定，其中，为常数，且，，则 ．
15．已知一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=﹣2x+1，且经过（0，3），则此一次函数的表达式为
16．如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数图象如图所示，则图中a的值是 ．
17．已知方程2x2m-1-3y3m-n+1=0是二元一次方程，则m= ，n= ．
三、解答题
18．用代入法解方程组
19．已知直线l与直线y＝2x﹣3平行，且经过点（2，7），求直线l的解析式并在坐标系中画出直线l的图象．
20．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？
21．某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量 13 14 15 16 17 18
天数 1 1 2 4 1 1
(1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：；当时，日利润为80元．
①当时，问该花店的日利润最多是多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的天数．
22．某中学八年级去年12月份举行了“智学杯”数学竞赛，购买笔记本和圆规作为奖品，笔记本和圆规的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种奖品的总数量为30个，并且购买笔记本的数量少于圆规数量的，但又不少于圆规数量的．设购买笔记本x本，买两种奖品的总费用为W元．
(1)写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)购买这两种奖品各多少时，费用少？最少的费用是多少？
23．若一个三位数满足条件：其百位数字与十位数字之和为个位数字，则称这样的三位数为“吉祥数”，将“吉祥数”m的百位数字与个位数字交换位置，交换后所得的新数叫做m的“如意数”．如156是一个“吉祥数”，651是156的“如意数”．在吉祥数中当|x﹣y|＝0或1时，称其为“和谐吉祥数”．
（1）个位数字为6的“和谐吉祥数”是　 　，个位数字为9的“和谐吉祥数”是　 　．
（2）证明：任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除；
（3）已知m为“吉祥数”，n是m的“如意数”，若m与n的和能被8整除，求m．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)，B(m，n)分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点(点A对应点C)．
（1）写出C，D两点的坐标；(用含相关字母的代数式表示)
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(x，y)都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D及点(s，t)，判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A D D C C A A
题号 11 12
答案 A B
1．D
【分析】设桌子的高度为x cm，图中长方体的长边比短边长y cm，根据图①、图②测量的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设桌子的高度为x cm，图中长方体的长边比短边长y cm，
依题意得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．A
【分析】先把y＝﹣2x﹣4和y＝2x+b组成方程组求解，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围．
【详解】解：解方程组 ，
解得
∵交点在第三象限，
∴
解得：b＞﹣4，b＜4，
∴﹣4＜b＜4．
故选A．
【点睛】本题主要考查两直线相交的问题，关键在于解方程组用含b的式子表示x、y．两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
3．C
【详解】设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，
，
解得
因此，大矩形ABCD的宽AD=6+2y=6+2×2=10，
矩形ABCD面积=14×10=140(平方厘米)，
阴影部分总面积=140 6×2×8=44(平方厘米).
故选C.
点睛:此题考查了二元一次方程组的应用,关键是要求学生会根据图示找出数量关系,列出方程组,然后求解.
4．A
【分析】把代入另外两个方程中得：，得到，求解即可．
【详解】解：把代入另外两个方程中得：，得：，
解得：，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组同解问题，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
5．D
【分析】设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【详解】解：设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：，
解得：，
∴xy=45×20=900，
∴每块墙砖的截面面积是900 cm2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．D
【分析】根据一次函数的图象过点，求出一次函数解析式，再根据一次函数的各个性质判断即可；
【详解】一次函数的图象过点，
将点，代入得：解得：，
一次函数的解析式为，
，
函数经过一、二、四象限，故B正确；
随的增大而减小，故A正确；
当时，
成立，故C正确；
一次函数的解析式为，
令，则，
函数图象与轴交于点，故D错误；
故选D．
【点睛】该题主要考查了一次函数的解析式求法，一次函数的增减性，一次函数所过象限以及一次函数与坐标轴的交点计算，解答该题的关键是熟练的掌握这些知识点．
7．C
【分析】两式相减即可得出答案．
【详解】解：
将②-①，得
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的特殊解法，找到两式与的关系是解题的关键．
8．C
【分析】根据方程组将两式相加可得x+y的式子，再进行求解即可.
【详解】∵关于x、y方程组，
①+②得5x+5y=2m+1,
∵x+y=3
∴2m+1=15，解得m=7，故选C.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟知加减消元法.
9．A
【分析】先求交点的坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．
【详解】解：把x=2代入y=x得y=3，
所以交点坐标为（2，3），
所以方程组的解是．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10．A
【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，令，，可得，由题意得到，即可求解．
【详解】解：令，，可得，
∵方程组的解是，
∴方程组的解是，
∴，
解得：，
即方程组的解是，
故选：A．
11．A
【分析】把y看做已知数求出x即可．
【详解】方程，
解得：，
故选A.
【点睛】此题考查二元一次方程的解，解题关键在于把y看做已知数求出x.
12．B
【分析】利用加减消元法易得x、y的解，由x、y均为整数可解得m的值，即可得m2-1的值.
【详解】
① +②得：（3+m）x=10，即③，
把③代入②得：④，
∵方程的解x、y均为整数，
∴3+m既能被10整除也能被15整除，即3+m的值可以为、，
∵为正整数
∴3+m =5，即m=2．
∴m2-1=22-1=4-1=3，
故选：B.
【点睛】此题主要考查利用二元一次方程组的整数解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
13．-2
【详解】根据一次函数解析式的特点，可得出方程组，
解得，
一次函数解析式是y=2x+8，把y=4代入得到x= 2.
故答案为 2.
14．17
【分析】首先根据条件可列出关于，的二元一次方程组，从而求出，的具体值，然后再根据定义代入求解即可．
【详解】解：由题意：，，
则得方程组：，
解得：，
∴原定义运算为：，
∴，
故答案为：17．
【点睛】本题考查定义新运算以及解二元一次方程组，理解题意，准确通过二元一次方程组求出参数值是解题关键．
15．y=﹣2x+3．
【分析】先利用两直线平行问题得到k=﹣2，然后把（0，3）代入y=﹣2x+b求出b的值即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y=﹣2x+1平行，
∴k=﹣2，
∵一次函数y=﹣2x+b的图象经过点（0，3），
∴b=3，
∴一次函数表达式为
故答案为：
【点睛】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
16．
【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键．
设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可．
【详解】解：设一次函数的解析式：，
把，代入，
得，
解得，
，
把代入，
得，
故答案为：．
17． 1
【详解】试题分析：由方程2x2m-1-3y3m-n+1=0是二元一次方程，得
，解得
考点：二元一次方程的定义．
18．
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．应用代入消元法，求出方程组的解即可．
【详解】解：，
将①代入②，可得：，
解得，
把代入①，可得，
解得，
原方程组的解是．
19．y＝2x+3，图见解析
【分析】所求直线与直线y＝2x﹣3平行，可得k＝2，再将点（2，7）代入即可求解．利用“两点确定一条直线”作出函数图象．
【详解】设所求直线方程为：y＝kx+b，
∵y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行，
∴k＝2，
又y＝kx+b经过点（2，7），所以有7＝2×2+b，
解得b＝3，
∴所求直线为：y＝2x+3．
由于该直线经过点（0，3）、（，0），则其函数图象如图所示：
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，难度较小，解题关键是根据两直线平行得出两直线的k值相等．
20．每只雀重斤，每只燕重斤
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
根据题意，得，
解得，
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
21．(1)4；
(2)①80元；②2天．
【分析】本题考查了一次函数的应用，花的支数的整数性，函数的性质．
（1）根据图表，数出花的支数小于16的天数即可．
（2）①当时，，根据函数性质，当时，y取最大值，此时(元)；当时，日利润为80元．比较解答即可．
②根据当时，日利润为80元，故．结合当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：，得，求得n值，对照图表作答即可．
【详解】（1）根据图表，数出花的支数小于16的天数为（天）．
故该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天．
（2）①当时，，
根据函数性质，y随n的增大而增大，且n为整数，
当时，y取最大值，此时(元)；
当时，日利润为80元．
故：当时，该花店的日利润最多是80元．
②根据当时，日利润为80元，
故．
当时，日利润（单位：元）关于的函数表达式为：，
得，
解得：；
综上所述：花店这10天中日利润为70元的天数为2天．
22．(1)（且x为正整数）
(2)当笔记本买8本，圆规买22本时，费用最少，最少费用为272元
【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以写出（元关于（本的函数关系式，根据所购买笔记本的数量要少于圆规数量的，但又不少于圆规数量，可以列出相应的不等式组，从而可以求得的取值范围，注意为整数；
（2）根据（1）中函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，可以求得购买笔记本以及圆规各多少时，费用最少，最少的费用是多少元．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
购买笔记本的数量少于圆规数量的，但又不少于圆规数量的，
，
解得，
为整数，
，
即（元关于（本的函数关系式是且为整数）；
（2）解：由（1）知，，所以W随x的增大而增大，
所以当时，
答:当笔记本买8本，圆规买22本时，费用最少，最少费用为272元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
23．（1）336；459或549；（2）见解析；（3）m的值为167或246或325或404或729或808．
【分析】（1）首先应根据题目中所给的“和谐吉祥数”的概念，将它们表示出来即可；
（2）由于[100（x+y）+10y+x]﹣（100x+10y+x+y）＝101x+110y﹣101x﹣11y＝99y＝9×11y，依此即可得到任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除；
（3）首先应根据题意表示出m、n，又因为m与n的和能被8整除．因此根据它们的范围一一验证即可求出最终m的值．
【详解】解：（1）因为3+3=6,|3-3|=0，所以个位数字为6的“和谐吉祥数”是 336，
因为4+5=9,|5-4|=1，所以个位数字为9的“和谐吉祥数”是 459或549．
故答案为：336；459或549；
（2）证明：设吉祥数的百位为x，十位为y，则个位为x+y，则这个吉祥数为：100x+10y+x+y，它对应的如意数为100（x+y）+10y+x.
∵[100（x+y）+10y+x]﹣（100x+10y+x+y）＝101x+110y﹣101x﹣11y＝99y＝9×11y，
∴任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除；
（3）设吉祥数的百位为x，十位为y，则个位为x+y，则这个吉祥数为：100x+10y+x+y，它对应的如意数为100（x+y）+10y+x.
∵m+n＝（100x+10y+x+y）+[100（x+y）+10y+x]＝101x+11y+101x+110y＝202x+121y=200x+120y+2x+y，
∴m与n的和能被8整除，则2x+y要能被8整除
∴x＝1，y＝6时，m+n＝928，m=167；
x＝2，y＝4时，m+n＝888，m=246；
x＝3，y＝2时，m+n＝848，m＝325；
x＝4，y＝0时，m+n＝808,m=404；
x＝5，y＝6时，x+y=11（不合题意舍去）；
x＝6，y＝4时，x+y=10（不合题意舍去）；
x＝7，y＝2时，m+n＝1656，m＝729；
x＝8，y＝0时，m+n＝1616，m=808；
x＝9，y＝6时，x+y=15（不合题意舍去）；
故m的值为167或246或325或404或729或808．
【点睛】本题考查数字问题.（2）中能正确表示“吉祥数”和“如意数”是解题关键；（3）中能将最终的和分割成200x+120y+2x+y，由此得出只要2x+y能被8整除，m+n就能被8整除可以让验证过程更加简单.
24．（1）C(a+h，b﹣1)，D(m+h，n﹣1)；（2）①证明见解析；②m+n＝t+s，理由见解析
【分析】（1）根据平移规律解决问题即可．．
（2）①证明A，D的纵坐标相等即可解决问题
②如图，设AD交直线l于J，首先证明BJ＝DJ＝1，推出D(m+1，n﹣1)，再证明p＝q，即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意，C(a+h，b﹣1)，D(m+h，n﹣1)．
（2）①∵b＝n﹣1，
∴A(a，b)，D(m+h，n﹣1)，
∴点A，D的纵坐标相等，
∴AD⊥x轴，
∵直线l⊥AD，
∴直线l⊥x轴．
②如图，设AD交直线l于J，
∵DE的最小值为1，
∴DJ＝1，
∵BJ＝1，
∴D(m+1，n﹣1)
∴二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D，
∴mp+nq＝k，(m+1)p+(n﹣1)q＝k，
∴p﹣q＝0，
∴p＝q，
∴m+n，
∵tp+sp＝k，
t+s，
∴m+n＝t+s．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化——平移，二元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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