5.4应用二元一次方程组——增收节支同步练习（含解析）

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5.4应用二元一次方程组——增收节支
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为( )元
A．50 B．70 C．90 D．120
2．现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元，则其中面额100元的人民币的张数是（ ）
A．12 B．14 C．20 D．21
3．甲、乙两人分别从相距的两地同时出发，若同向而行，则后，快者追上慢者；若相向而行，则1h后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度单位：分别是（ ）
A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和10
4．小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（ ）
A．64元 B．65元 C．66元 D．67元
5．某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（ ）
A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元
6．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何 设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）
A． B． C． D．
7．欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（　　）
A．亏损 B．盈利 C．不盈不亏 D．不确定
8．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
9．某企业去年的总收入比总支出多500万元，今年的总收入比去年增加，总支出节约，因此总收入比总支出多800万元，则去年的总收入和总支出分别为（ ）
A．2000万元，1500万元 B．1800万元，1300万元
C．1000万元，1500万元 D．1500万元，1000万元
10．某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
11．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮，如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．则小明和小亮每秒跑的路程分别为（ ）
A．6米，4米 B．10米，8米 C．8米，6米 D．6米，8米
12．一辆汽车从地出发，向东行驶，途中要经过十字路口，在规定的某一段时间内，若车速为每小时60千米，就能驶过处2千米，若每小时行驶50千米，就差3千米才能到达处设、间的距离为千米规定的时间为小时，则可列出方程组是　　
A． B．
C． D．
二、填空题
13．山间白云缭绕，似雾非雾，似烟非烟，磅礴郁积，气象万千，古人称“赤多白少”为“缙”，故名缙云山．正是这特殊的地理环境，独特的气候，赋予了缙云山甜茶汤色碧绿清爽，气味芳鲜醇和．甜茶还富含人体所需的8钟氨基酸，大量维生素及微量元素，健康养生，独具风味．故来此游玩的人们，临走时都会带一些回家送亲朋好友．商家为了促销，采取以套盒包装的方式进行销售，套盒A：买三大袋和一中袋送一中袋；套盒B：买两大袋和两中袋送一小袋．套盒A和套盒B的售价之比为37∶34．小华计划购买一定数量的套盒A与套盒B，由于资金不够，他思考了一下，决定将原本计划买套盒A和套盒B的数量进行调换，同时商店老板决定将套盒A打8折卖给他，套盒B价格不变，这样原计划所用花费与实际所用花费之差恰好可以购买7袋中袋的甜茶，则小华一共购买了 个套盒．
14．同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米．
15．一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km．求轮船在静水中的速度与水的流速分别为： ．
16．某班买了篮球和排球共20个，共花费1360元，已知一个篮球80元，一个排球50元，则该班买了排球 个．
17．笔记本5元/本，铅笔3元/支，某同学购买笔记本和铅笔（两种都要买），恰好用去50元，那么共有 种购买方案．
三、解答题
18．代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里
注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元．
小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同．
（1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间．
19．6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？
20．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进、两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：
类型 进价（元/袋） 售价（元/袋）
种大米 20 30
种大米 30 45
(1)该超市在3月份购进、两种大米共70袋，进货款恰好为1800元．
①求这两种大米各购进多少袋；
②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元．
(2)超市决定在4月份销售、两种大米共盈利100元（，两种品种都有购进），请你帮助设计一下进货方案，并写出来．
21．舒兰大米种植区域处于北纬43度世界黄金水稻带．舒兰大米具有营养丰富、绵软柔糯等特点．某校食堂计划采购甲、乙两种舒兰大米，若购进甲种大米500千克和乙种大米300千克需花费11000元；若购进甲种大米200千克和乙种大米600千克需花费9200元．求每千克甲种大米和每千克乙种大米的价格．
22．轮船在两港口间航行，顺流航行要走12h，逆流航行要走15h，已知水流速度为4km/h，求轮船的速度与两港口间的距离．
23．近日，全国各地陆续发布消息调整优化疫情防控政策，不再查验核酸阴性证明．为有效落实好个人防护措施，当好自己健康的第一责任人，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾．小明从药店得知，购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元．
(1)求每包口罩和每包酒精湿巾的价格；
(2)妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），小明有哪几种购买方案？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C B D A A D A
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论．
【详解】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，
依题意可得：，
解得：，
∴大套装的单价为120元．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
2．A
【分析】本题中的等量关系有两个：两种面值的人民币共33张，总面额为1620元，据此可列方程组求解．
【详解】解：设100元和20元人民币分别有x张、y张，
根据题意得：，
解得：，
答：100元的人民币12张，20元的人民币21张．
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
3．B
【分析】根据题意可知，本题中的等量关系式是“快者走过的路程减去慢者走过的路程为40km”和“快者走过的路程加上慢者走过的路程为40km”，列方程组即可得出．
【详解】设快者速度和慢者速度分别是x，y
则
解得：
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键．
4．C
【详解】设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得：，解得：．
答：商品A的标价为12元，商品B的标价为15元；所以3×12+2×15=66元，
故选C．
5．B
【分析】设每件商品标价x元，进价y元，则根据题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而得出等式，求出方程组的解即可．
【详解】解：设每件商品标价x元，进价y元则根据题意得：
，
解得：，
答：该商品每件进价155元，标价每件200元．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系是解题关键．
6．D
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意可知，
故答案为：D.
【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．A
【分析】设第一件衣服的进价为x元，第二件衣服的进价为y元，根据题意，可得，进而即可求解．
【详解】设第一件衣服的进价为x元，第二件衣服的进价为y元，
由题意得：
∴，
整理得：
∴
∴该服装店卖出这两件服装的盈利情况是：
，即赔了元．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程是关键．
8．A
【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，
根据题意得：，
解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中的等量关系是解答本题的关键．
9．D
【分析】设去年的总收入为万元，总支出为万元，根据去年的总收入比总支出多500万元得到，由于今年的总收入为，总支出为，则，然后建立方程组，再解方程组即可．
【详解】解：设去年的总收入为万元，总支出为万元，
根据题意得，
解得，
答：去年的总收入为1500万元，总支出为1000万元．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
10．A
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出，的值，进而可得出共有5种购买方案．
【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或或，
共有5种购买方案．
故选：A．
11．C
【分析】设小明的速度为米/秒，小亮的速度为米/秒，根据小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：设小明的速度为米/秒，小亮的速度为米/秒，则
，解得，
小明和小亮每秒跑的路程分别为8米，6米，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组是解决问题的关键．
12．A
【分析】直接利用车速为每小时60千米，就能驶过B处2千米，若每小时行驶50千米，就差3千米才能到达B处，进而结合路程得出等式求出答案．
【详解】设、间的距离为千米规定的时间为小时，则可列出方程组是：
，故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式方程是解题关键．
13．14
【分析】设一大袋的售价为x元，一中袋的售价为y元，原计划买套盒A的数量为a个，买套盒B的数量为b个，先根据套盒A和套盒B的售价之比可得，再根据“原计划所用花费与实际所用花费之差恰好可以购买7袋中袋的甜茶”建立方程，化简得，然后根据为正整数求解即可得．
【详解】设一大袋的售价为x元，一中袋的售价为y元，原计划买套盒A的数量为a个，买套盒B的数量为b个，
由套盒A和套盒B的售价之比得：，解得，
由题意得：原计划所用花费为，
实际所用花费为，
则，
整理得：，
将代入得：，
都是正整数，
，
则小华一共购买套盒的数量为（个），
故答案为：14．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，依据题意，正确找出等量关系是解题关键．
14．
【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解，理清题中的数量关系，正确列出方程组是解题的关键.
【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，
如图，设，，
根据题意得，，
解得，
∴最远为千米，
故答案为：．
15．18km/h，2km/h
【分析】设水的流速为xkm/h，轮船在静水中的速度为ykm/h，由顺流航行速度＝轮船在静水中的速度+水的流速，逆流航行速度＝轮船在静水中的速度﹣水的流速，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设水的流速为xkm/h，轮船在静水中的速度为ykm/h，
由题意得：，
解得：，
即轮船在静水中的速度为18km/h，水的流速为2km/h，
故答案为：18km/h，2km/h．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．8
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设该班买了排球x个，篮球y个，根据“篮球和排球共20个，共花费1360元”，列方程组求解即可．
【详解】解：设该班买了排球x个，篮球y个，
由题意得：，
解得：，
即该班买了排球8个，
故答案为：8．
17．3
【分析】首先设某同学买了x本笔记本，则买了y支铅笔，根据题意购买笔记本的花费＋购买铅笔的花费＝50元，即可求解．
【详解】解：设某同学买了x本笔记本，则买了y支铅笔，根据题意得：
5x＋3y＝50，
则．
∵x，y为正整数，且两种都要买，
∴y为5的倍数，
∴从而得出y＝5，10或15，
当y＝5时，，
当y＝10时，，
当y＝15时，，
∴有三种购买方案：
购买的笔记本1本，铅笔15支，
购买的笔记本4本，铅笔10支，
购买的笔记本7本，铅笔5支；
故答案是：3．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的整数解．解题的关键是挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
18．（1）这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟．
【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人所付代驾费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【详解】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
2×6+0.5x=2×8+0.5y+1×（8-7），
∴0.5（x-y）=5，
∴x-y=10，
∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟；
（2）由（1）及题意得：
，解得
∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟．
【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．
19．甲每小时打包60件，乙每小时打包70件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时打包件、乙每小时打包件，根据“若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键．
【详解】解：设甲每小时打包件、乙每小时打包件，
依题意，得，
解这个方程组，得，
经检验，符合题意，
答：甲每小时打包60件、乙每小时打包70件．
20．(1)①购进A种大米30袋，B种大米40袋；②600元
(2)方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋
【分析】（1）①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意，列出方程组，即可求解；②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“两种大米的销售总额为900元，”可得，即可求解；
（2）设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“销售、两种大米共盈利100元”得到关于x，y的方程，再根据x，y均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意得：
，
解得：
答：购进A种大米30袋，B种大米40袋；
②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据题意得：
，
即，
∴超市3月份已售出大米的进货款为元；
（2）解：设购进A种大米x袋，B种大米y袋，根据题意得：
，
整理得：，即，
∴是3的倍数，
∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；
方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；
方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21．每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据购进甲种大米500千克和乙种大米300千克需花费11000元；若购进甲种大米200千克和乙种大米600千克需花费9200元各列一个方程，组成方程组求解即可．
【详解】解：设每千克甲种大米价格是x元，每千克乙种大米价格是y元．
，
解得
答：每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元．
22．轮船的速度为36km/h，两港口间的距离为480km．
【详解】解：设轮船的速度为xkm/h，两港口间的距离为ykm．
根据题意，得
②－①，得3x＝108，
解得x＝36
将x＝36代入①，得y＝480
答：轮船的速度为36km/h，两港口间的距离为480km
23．(1)每包口罩5元，每包酒精湿巾3元．
(2)一共有三种方案，分别为：1包口罩和15包酒精湿巾、4包口罩和10包酒精湿巾、7包口罩和5包酒精湿巾．
【分析】（1）设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可．
（2）设购买口罩a包，酒精湿巾b包，由题意得，，又a，b均为正整数，由此求得所有的方案．
【详解】（1）解：设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，
由题意得，，
②×3得，，
③-①得，，
解得，
将代入①得，，
故原方程组的解为，
答：每包口罩5元，每包酒精湿巾3元．
（2）解：设购买口罩a包，酒精湿巾b包，
由题意得，，
∵a，b均为正整数，
∴或或，
答：一共有三种方案，分别为：1包口罩和15包酒精湿巾、4包口罩和10包酒精湿巾、7包口罩和5包酒精湿巾．
【点睛】本题考查了与销售问题相关的二元一次方程及二元一次方程组的应用，充分理解题意列出正确的方程或方程组是解题的关键．
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