5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数同步练习（含解析）

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5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程应是（ ）
根据大马和小马的对话求大马和小每各驮了几包货物．
A． B．
C． D．
3．小颖和小亮在做一道关于整数减法的作业题，小亮将被减数后面多加了一个0，得到的差为750；小颖将减数后面多加了一个0，得到的差为-420，则这道减法题的正确结果为（ ）
A．-30 B．-20 C．20 D．30
4．从茂名电白到湛江赤坎全长约为105km，一辆小汽车、一辆货车同时从茂名电白、湛江赤坎两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水．如这些有毒物质通过各种途径进入人体内，长期积累难以排除，会损害人体的神经系统、造血功能和骨骼，甚至致癌．为保护环境，某校环保小组成员收集废旧电池．第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总质量为；第二天收集3节1号电池，4节5号电池，总质量为．设1节1号电池的质量为，1节5号电池的质量为，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．我校举办“新时代好少年，强国有我”的读书节活动，推动全校读书风潮，七年级（1）班借此开展借书共享活动，甲对乙说：“若你的藏书给我一本，我的藏书数量是你藏书数量的2倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我一本，你我藏书的数量就相同了”，设甲藏书本，乙藏书本，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架设甲种型号无人机有x架，乙种型号无人机有y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．将一些笔记本分发给若干个同学，若每个同学分6本，还差6本；若每个同学分5本，还剩下5本，设有x个同学，有y个笔记本，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面5个或做桌腿30条，现在有木料，设用木料做桌面，做桌腿，做成的桌面和桌腿恰好能配成方桌，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（ ）张
A．7 B．6 C．5 D．3
11．从A地到B地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶，平路每小时行驶，下坡每小时行驶，那么车辆从A地到B地需要，从B地到A地需要．A，B两地之间的坡路和平路各有多少千米？设A，B两地之间的坡路为，平路为，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
12．某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的，问这两个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人，依题意可得（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是 元．
14．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．则男生志愿者有 人．
15．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为 ．
16．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置，测量数据如图所示，则升旗台的高度是 cm．
17．某中学举行象棋比赛活动，通过抽签，甲、乙两名同学进行对弈，已知甲在6盘结束后，以净胜乙2分的成绩取胜，比赛的积分规则是：每盘比赛胜者得2分，负者得0分，和棋各得1分，则甲同学的总积分为 ．
三、解答题
18．2020年春节，新型冠状病毒肆虐，小明一家响应国家的号召防疫在家不出门．这天，小明和爸爸在家里玩起了“投乒乓球”的游戏，商定规则：小明投中一个得3分，爸爸投中一个得1分．结果两人一共投中了20个，经过计算，发现两人的得分恰好相同，你能知道他们两人各投中几个吗？
19．如图，在大长方形里画出三个形状大小均一样的小长方形（图中阴影部分）．
（1）如图1，若大长方形的长宽分别为45和30，求小长方形的周长．
（2）如图2，若大长方形的长宽分别为a和b，小长方形的长宽分别为x和y．
①请求出小长方形与大长方形的周长之比；
②若图中阴影部分面积与空白部分面积之比1∶2，则求的值．
20．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．
21．2024年火爆出圈的“广西小砂糖橘哈尔滨游学”刺激了哈尔滨的旅游热，A班组织学生前往哈尔滨“冰雪大世界”开展研学旅游活动，在此次活动中，学生随老师一同到该景区游玩.A班老师了解到，成人票每张240元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票共需门票3120元．
(1)问A班一共去了几名老师？几名学生？
(2)若B班有5名老师和24名学生，B班也想一起去“冰雪大世界”研学旅游，他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠，请你帮他们算一算，怎样购票更省钱．
22．某校举办了书法比赛，学校准备为在比赛中获得一、二等奖的学生购买奖品，其中一等奖奖品每份50元，二等奖奖品每份30元．若学校计划购买两种奖品共100份，购买总费用为3800元，则购买一、二等奖奖品分别是多少份？
23．如图1，已知，，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，．
(1)求证：；
(2)如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，若，求∠GHE的度数；
(3)如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若，，求的值．（请直接写出答案）
24．材料一：我们定义有理数对a，b满足等式a－b＝2ab－1时，我们称这对有理数对（a，b）为“同心有理数对”；如则数对为“同心有理数对”．
材料二：当有理数a和b满足等式时，我们定义有理数为“白马有理数对”，记为，例如：,，则数对是“白马有理数对”．
（1）数对，中是“白马有理数对”的是_________；若（a，2020）是“白马有理数对”，求的值；
（2）若一个点A的坐标是“白马有理数对”，则点A关于原点对称的点还是“白马有理数对”吗？请说明理由；
（3）存不存在一组有理数对即是同心有理数对，又是白马有理数对，如果有请证明，并写出一对这样的有理数对．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D A B D C C A
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
2．B
【分析】设大马驮了x包货物，小马驮了y包货物，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设大马驮了x包货物，小马驮了y包货物，
依题意得：，
所以，另一个方程为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
3．D
【分析】根据题意，设被减数为x，减数为y，则，然后根据二元一次方程组的解法，求出x、y的值，判断出这道减法题的算式是多少即可．
【详解】解：设被减数为x，减数为y，
则，
解得，
∴这道减法题的正确结果应该为：80-50=30．
故选D.
【点睛】此题主要考查了有理数的减法运算，以及二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握．
4．D
【分析】设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，经过45分钟相遇，可得 相遇时小汽车比货车多行6km，可得 从而可得答案.
【详解】解：设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，
故选D
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列二元一次方程组是解本题的关键.
5．A
【分析】由题意知：1节1号电池的质量为， 1节5号电池的质量为，根据“5节1号电池，6节5号电池，总质量为500g；3节1号电池，4节5号电池总质量为310g”，即可得出关于，的二元一次方程组．
【详解】解：设1节1号电池的质量为，1节5号电池的质量为，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．B
【分析】设甲藏书x本，乙藏书y本，根据甲对乙说的话得到方程“”，根据乙对甲说的话得到方程“”，联立方程组即可．
【详解】解：设设甲藏书x本，乙藏书y本，根据题意得
，
故选择：B
【点睛】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是确定满足条件的等量关系列方程即可．
7．D
【分析】分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可．
【详解】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，
∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，
∴，
∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架，
∴，
联立可得：，
故选：D．
【点睛】本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式．
8．C
【分析】设有x个同学，有y个笔记本，根据“若每个同学分6本，还差6本；若每个同学分5本，还剩下5本”列出方程组即可．
【详解】设有x个同学，有y个笔记本，
根据题意，得，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找准等量关系．
9．C
【分析】设用xm3木料做桌面、ym3木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌，根据题意可得：桌面和桌腿的比例为1：4，共有25m3木料，据此列方程组求解．
【详解】解：设用xm3木料做桌面、ym3木料做桌腿，
由题意得，，
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
10．A
【分析】设出十元纸币取x张，五元纸币取y张，则一元纸币取12-x-y张，列出方程结合不等式求解即可．
【详解】设出十元纸币取x张，五元纸币取y张，则一元纸币取21-x-y张，
由题有：
且x、y为整数
则x=7，y=4
故选A
【点睛】此题考查二元一次方程的实际应用，由题找出蕴含关系是解题关键．
11．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确从A地到B地的上坡路是从B地到A地的下坡路．设A，B两地之间的坡路为，平路为，根据车辆从A地到B地需要，从B地到A地需要，列出方程组即可．
【详解】解：，，
依题意可列出方程组为．
故选C．
12．D
【分析】根据题意可知，第二车间的人数=第一车间的人数×-30，（第一车间-10）×=第二车间+10，根据这两个等量关系，可列方程组．
【详解】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．
13．8
【分析】设一个杯子的价格是x元，一个茶瓶的价格为y元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设一个杯子的价格是x元，一个茶瓶的价格为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：一个杯子的价格是8元．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14．12
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可．
【详解】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意，
得
解得 ；
答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．
故答案为：．
15．63
【分析】设左下角的小正方形边长为，左上角最大的正方形的边长为，根据长方形的长和宽列出方程组求解即可．
【详解】解：设左下角的小正方形边长为，左上角最大的正方形的边长为，
，解得，
长方形的长是：，
长方形的宽是：，
面积是：．
故答案是：63．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解．
16．69
【分析】设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，列方程组求出x即可．
【详解】解：设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，
则，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查方程组的应用，找到等量列方程组是解题的关键．
17．
【分析】根据题意可得，甲乙总得分为12分，故设甲得分为x，乙得分为y，甲总分比乙总分高2分，故可得方程式，解方程即可得答案．
【详解】设：甲同学的总积分为分，乙同学的总积分为分
依题意得：
解得：
所以甲同学的总积分为分
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．
18．小明和爸爸分别投中了5个和15个．
【分析】根据题干，设小明投进了x个，则小明爸爸投进了（20-x）个，根据两个人的得分相等，即可列出方程解决问题．
【详解】解：设小明和爸爸分别投中了个和个．
由题意得：，解得
答：小明和爸爸分别投中了5个和15个．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是找到关键描述语，得到等量关系：小明投中球的个数+爸爸投中球的个数=20，小明得分=爸爸得分．是解决此题的关键．
19．（1）50米；（2）①1：3；②1
【分析】（1）根据题意和图形可以列出相应的方程组，从而可以求得小长方形的长和宽，从而得到周长；
（2）①根据图形可以列出相应的方程组，然后两个方程相加变形即可求得1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②根据题意和图形可知a=2x+y，b=x+2y，，代入并化简，可得的值．
【详解】解：（1）设小长方形的长和宽分别为x米、y米，
由题意可得：，得，
∴小长方形的周长为（20+5）×2=50米；
（2）①由题意可得：
，
①②，得，
，
个小长方形周长与大长方形周长之比是：，
即1个小长方形周长与大长方形周长之比是；
②∵阴影部分面积与空白部分面积之比1∶2，
，
，
∴，
化简得：，
，
．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．
20．每个小长方形花圃的面积为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据长方形空地长、宽与小长方形长、宽之间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其相乘即可得出结论．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
依题意，得：，
解得：，
．
答：每个小长方形花圃的面积为．
21．(1)A班一共去了3名老师，20名学生
(2)22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、有理数的乘法运算的应用，关键是理解题意，正确列出方程组．
（1）设A班一共去了x名老师，y名学生，根据他们一共23人，分别购票共需门票3120元，建立方程组，求解即可；
（2）根据题意，分别求出不同购票方式所需的费用，进而可得结论．
【详解】（1）解：设A班一共去了x名老师，y名学生，
依题意得
解得
答：A班一共去了3名老师，20名学生；
（2）解：若两个班分开购票，共需门票费：（元），
若两个班合在一起，22名学生和8名老师购团体票，其余学生购学生票，共需门票费：（元）
因为，
所以22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱．
22．购买一等奖奖品40份，购买二等奖奖品60份
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买一等奖奖品x份，购买二等奖奖品y份，根据两种奖品共100份，购买总费用为3800元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】设购买一等奖奖品x份，购买二等奖奖品y份，
根据题意得：
解得： ，
∴购买一等奖奖品40份，购买二等奖奖品60份．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明；
（2）如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案；
（3）如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点H作．
∴．
∵，
故可设，则．
∵，
∴，，．
∵FK平分∠AFE，GM平分∠HGB，
∴，，
∴，．
由（1）可知，
∴，
∴，
解得：．
∴，．
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点M作．
由题意可设，则．
∵，FK平分∠AFE
∴，．
∵，
∴．
∵EM平分∠HED，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵GM平分∠HGB，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由（1）可知，
∴，
∴．
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．
24．（1），；（2）不是，理由见解析；（3）存在，证明见解析，（－1，0）和（－2，）
【分析】（1）由题意根据“白马有理数对”的定义即有理数a和b满足等式时，我们定义有理数为“白马有理数对”进行列算式分析判断与求解；
（2）由题意可得若是“白马有理数对”，则m+n=mn－1，那么－n+（－m）=－（m+n）=－（mn－1）=－mn+1，以此进行分析判断即可；
（3）根据题意可设这对有理数为（a ，b），进而列出方程求出a ，b的值后进行分析判断即可．
【详解】解：（1）由题意根据“白马有理数对”的定义可知，
因为，，
所以是“白马有理数对”，
故答案为：；
（a，2020）是“白马有理数对”，由“白马有理数对”的定义可得：
，解得；
(2)若是“白马有理数对”，则m+n=mn－1，
那么－n+（－m）=－（m+n）=－（mn－1）=－mn+1，
∵－mn+1mn－1
∴（－n，－m）不是“白马有理数对”，
故答案为：不是；
（3）由题意可设这对有理数为（a ，b）则可列方程：解得或
∴存在这样的有理数对同时满足同心有理数对，又是白马有理数对，是（－1，0）和（－2，）．
【点睛】本题属于材料阅读题，考查有理数和二元一次方程组，熟练掌握白马有理数对的定义和二元一次方程组的解法是解题的关键．
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