5.6二元一次方程与一次函数同步练习（含解析）

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5.6二元一次方程与一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
5．直线与直线的交点为（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象向左平移3个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为（ ）．
A． B．1 C．2 D．4
7．若直线与直线的交点在第一象限，则b的取值范围是（ ）
A． B． C．b<-2或 D．b>2
8．如图，直线l1：y＝3x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知为常数，且，，则关于x的一次函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．若关于x,y的二元一次方程组的解为，一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（ ）
A．(1,2) B．(2,1) C．(2,3) D．(1,3)
11．下列说法正确的有（ ）个．
（1）到y轴的距离是2的点的纵坐标是2；
（2）点（﹣2，3）与点（3，﹣2）关于原点对称；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组的解；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．一次函数与一次函数的图象如图所示，那么方程组的解是 ．
14．若直线l1：y=ax+b（a≠0）与直线l2：y=mx+n（m≠0）的交点坐标为（-2，1），则直线l3：y=a（x-3）+b+2（a≠0）与直线l4：y=m（x-3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 ．
15．已知直线：和：图像上部分点的横坐标和纵坐标如下表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
x 2 1 0 1 2
10 8 6 4 2
5 2 1 4 7
16．已知直线与直线的交点是，那么关于、的方程组的解是 ．
17．若直线y1上的每个点都可以表示为，且直线y1和y轴交点为点A，和直线y2=x交点为点B，若点O为坐标原点，则△AOB的面积为 ．
三、解答题
18．已知关于的方程组和的解相同．
(1)求的值；
(2)有一组数能同时满足方程和吗？此时方程组的解是什么情况？一次函数与的图象之间有什么位置关系？
19．已知一次函数．

(1)画出该函数的图象；
(2)若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
(1)求点P的坐标．
(2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线，于点M，点N，设点Q的横坐标为m，
①求线段的长（用含m的代数式表示）；
②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，直接写出m的值；
③直接写出用含m的代数式表示的面积．
21．A，B两地相距360千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地，甲车比乙车早出发1.5小时．如图，线段表示甲车离开A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离开A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．
根据图象回答下列问题：
(1)乙车到达B地时，求此时甲车距离A地多少千米；
(2)求点G的坐标，并说明点G坐标的实际意义；
(3)直接写出，乙出发多长时间，两车相距20千米．
22．某水产养殖户有20吨水产品待售，现有两种销售方式：一是批发，二是零售．经过市场调查，这两种销售方式每天的销量及每吨所获的利润如下表：
销售方式 每天销量/吨 每吨所获利润/元
批发 3 4000
零售 1 6000
假设该养殖户售完20吨水产品，其中批发了x吨，所获总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)因为人手紧缺，这个养殖户每天只能采用一种销售方式销售，且正好10天销售完所有水产品，请计算该养殖户所获总利润．
23．如图，在直角坐标系中，点是第一象限内的点，直线与轴交于点，过点作轴，垂足为，过点的直线与轴交于点．已知直线上所有点的横坐标以及与之对应的纵坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的横坐标以及与之对应的纵坐标都是二元一次方程的解．

（1）求点、的坐标；
（2）证明：（要求写出每一步的推理依据）；
（3）求点的坐标，并直接写出三角形的面积．
24．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点P，
(1)无论m取何值，直线都过某定点，求该定点的坐标；
(2)①求证：；
②设直线过定点A，直线过定点B，求线段的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C B B D C D A
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】先将点P的横坐标代入求得点P的纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴当时，，
∴，
关于x、y的方程组的解为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．
2．A
【详解】试题分析：根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．
解：∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（﹣2，3），
∴方程组的解是，
故选A．
点评：本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
3．A
【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解．
【详解】一次函数与的交点为P（、4）
解得
点P的坐标为（2、4）
的解为：
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解．
4．C
【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴关于x，y的方程组的解；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
5．B
【分析】直接联立两个函数解析式组成方程组，再解方程组即可得到两函数图象的交点．
【详解】解：联立两个函数解析式得，
解得，
则两个函数图象的交点为(，)，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两函数交点问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
6．B
【分析】先求出该函数图象向左平移3个单位长度后的直线解析式，再求得平移后直线与坐标轴的交点坐标，并求得所求直角三角形的两条直角边的长度，利用直角三角形的面积公式解答．
【详解】解：将函数的图象向左平移3个单位长度，则平移后的解析式为：，即．
故该直线与坐标轴的交点坐标分别是，．
所以平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
7．D
【分析】根据两条直线的交点就是两解析式联立得到的方程组的解，解方程得出交点坐标，再根据象限确定坐标的符号，即可得出答案．
【详解】解：∵直线与直线有交点，
∴
解得：
∵交点在第一象限，
∴
∴
故选：D
【点睛】本题考查了直线的交点的问题，联立方程组解方程，关键是根据象限确定方程组解的符号，得出不等式组．
8．C
【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x＋1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线y＝3x＋1经过点P（1，b），
∴b＝3＋1，
解得b＝4，
∴P（1，4），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．
9．D
【分析】观察一次函数解析式，结合选项中的图象，即可求解．
【详解】解：∵与中，互换，
A，B选项中，两个一次函数图象与轴交于负半轴，则与同号，而图象中直线的符号异号，不合题意，
联立
解得：，
∴交点的横坐标为1，C选项中，两直线的交点的横坐标为负，不合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
10．A
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（1，2）．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11．B
【分析】依据点的坐标的概念，关于原点对称的点的特征，一次函数与二元一次方程组的关系以及不同象限内点的坐标特征，即可得到正确结论．
【详解】（1）到y轴的距离是2的点的横坐标是2，该选项错误，不符合题意；
（2）点（﹣2，3）与点（2，﹣3）关于原点对称，该选项错误，不符合题意；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组的解，正确，符合题意；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数，正确，符合题意．
综上，正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
12．B
【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解．
【详解】解：将点代入得：
∴交点坐标为：
由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为
故选：B
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可．
13．
【分析】根据题意可知方程组的解即为两个一次函数的图象的交点坐标，因此将y=1带入中，求出x的值，即求出交点坐标．
【详解】将y=1带入中，得：，
解得：．
即，且点M为两个一次函数图象的交点，
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查两直线交点与二元一次方程组的解的关系，掌握两直线交点的坐标即为二元一次方程组的解是解答本题的关键．
14．（1，3）
【详解】试题解析：把（-2，1）分别代入y=ax+b、y=mx+n得-2a+b=1，-2m+n=1，
∴2（a-m）=b-n，
解
①-②得（a-m）（x-3）+（b-n）=0，
∴x-3=-2，
∴x=1，
把x=1代入y=a（x-3）+b+2得y=-2a+b+2=1+2=3，
∴直线l3：y=a（x-3）+b+2（a≠0）与直线l4：y=m（x-3）+n+2（m≠0）的交点坐标为（1，3）
考点：两条直线相交或平行问题．
15．
【分析】观察表格数据即可得出答案．
【详解】解：观察表格可知，当时，两函数值都等于，
∴两一次函数的交点坐标为，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线的交点坐标与二元一次方程组的关系，熟知两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解是解本题的关键．
16．
【分析】把点（1，b）分别代入直线和直线中，求出a、b的值，再将a、b的值代入方程组，求方程组的解即可；
【详解】解：把点（1，b）分别代入直线和直线得，
，
解得，
将a=-4，b=-3代入关于、的方程组得，
，
解得；
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，掌握一次函数与二元一次方程组是解题的关键.
17．8
【分析】已知直线y1和y轴交点为点A，可知点A的纵坐标为0，由因直线y1上的每个点都可以表示为，所以可得，解得m=4，即点A的坐标为（0，4）；再由于直线y1和直线y2=x交点为点B，可得点B的横、纵坐标相等，可得，解得m=﹣4，即点B的坐标为（﹣4，﹣4），从而可得答案.
【详解】解： 直线y1上的每个点都可以表示为，且直线y1和y轴交点为点A，
直线y1和直线y2=x交点为点B，
故答案为：
18．(1)
(2)不能满足，一次函数与的图象平行
【分析】本题考查了根据二元一次方程组解得情况求参数，一次函数与二元一次方程组间的关系，了解函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题关键
（1）建立方程组，解出x，y，再代入求出a，b的值即可；
（2）当时，没有一组数能同时满足方程和，可知方程组无解，即可得出两函数图像平行．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
将代入方程组，
得
解得；
（2）当时，
没有一组数能同时满足方程和，
此时方程组无解，
所以一次函数与的图象平行．
19．(1)详见解析
(2)4
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质及一次函数的图象；
（1）利用描点法画出函数图象即可；
（2）求出两点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
根据题意画出函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一次函数中，
∴当时，，当时，，
∴函数图象经过点，，函数图象如图所示：

（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，，
∴．
20．(1)点P的坐标为
(2)①②或8③
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，三角形面积．
（1）联立解析式，构成方程组，解方程组即可求解；
（2）①点Q的横坐标为m，由轴，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解；②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况第一种情形：点N是的中点时，第二种情形：点M是的中点时，根据中点坐标公式即可求解；③先表示出点P到直线的距离为，然后利用三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）∵直线与直线交于点P，
∴联立方程组，
解得，
∴点P的坐标为；
（2）解：①点Q的横坐标为m，
∵轴，
∴点Q，M，N三点横坐标都为m，
∴点M坐标为，点N坐标为，
∴；
②当时，，解得，则
，解得：，则，
当时，，
∴点M坐标为，点N坐标为，
∴，，
由①知，
第一种情形：点N是的中点时，，
∴，
解得：或16（舍去）；
第二种情形：点M是的中点时，，
∴，
解得：或（舍去）；
综上，或8；
③∵点Q的横坐标为m，点P的坐标为，
∴点P到直线的距离为，
由①知，
当时，，；当时，，；
∴的面积．
21．(1)300
(2)，点G坐标的实际意义：甲车出发小时时两车相遇，此时距A地210千米；
(3)乙出发1.5小时或2.5小时，两车相距20千米．
【分析】此题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，
（1）求出段的解析式，将代入求出y值即可；
（2）求出线段的解析式，解方程组，进而得到；
（3）分两车相遇前和相遇后两种情况列一元一次方程求解．
【详解】（1）解：设线段的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴，
当时，，
∴乙车到达B地时，求此时甲车距离A地300千米；
（2）设线段的解析式为，
将点代入，得
，
解得，
∴线段的解析式为，
解方程组，得，
∴，
点G坐标的实际意义：甲车出发小时时两车相遇，此时距A地210千米；
（3）由（2）同理可得：线段的解析式为
∴，解得：（不符合题意）
两车相遇前，，解得；；
两车相遇后，，解得，；
∴乙出发1.5小时或2.5小时，两车相距20千米．
22．(1)；
(2)该种植户所获总利润是90000元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到与之间的函数关系式；
（2）根据这个养殖户每天只能采用一种销售方式销售，且正好10天销售完所有水产品，可以得到相应的方程，从而可以得到批发的天数，然后根据（1）中的函数关系式，即可得到该养殖户所获总利润是多少元．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
答：与之间的函数关系式是；
（2）解：设批发天，则零售天，
，
解得：，
，
，
答：该种植户所获总利润是90000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出方程和函数关系式．
23．（1），
（2）见解析
（3）；
【分析】（1）由直线CD上的点的坐标（x，y）是方程2x+y=4的解，则当x=0时，y=4，则点C的坐标（0，4），由BC⊥y轴，直线AB上的点的坐标（x，y）是方程x-y=-1的解，当y=4时，x=3，则点B的坐标（3，4）；
（2）由垂直于同一条直线的两条直线平行得出CB∥x轴，由两平行直线被第三条直线所截，内错角相等得出∠ABC=∠BAD，由对顶角相等得出∠1=∠BAD，等量代换即可得出结论；
（3）根据交点的定义求出点E的坐标（1，2），再求出点D的坐标（2，0），点A的坐标（-1，0），则AD=3，△AED底边AD上的高为2，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）解：直线上所有点的横坐标以及与之对应的纵坐标都是二元一次方程的解，
当时，，
解得：，
点的坐标为：，
轴，直线上所有点的横坐标以及与之对应的纵坐标都是二元一次方程的解，
当时，，
解得：，
点的坐标为：；
（2）证明：轴，轴轴（已知），
轴（垂直于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同位角相等）,
∵∠BAD=∠1（对顶角相等），
∴∠ABC=∠1（等量代换）
（3）解：由题意得点的坐标是方程组的解，
解得：
点的坐标为：，
∵A（-1，0），D（2，0）
∴三角形的面积为．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了图形与点的坐标、平行线的判定与性质、解方程、三角形面积的计算等知识，熟练掌握图形与点的坐标是解题的关键．
24．(1)（1，3）
(2)①见解析；②8
【分析】（1）由y=mx-m+3可变形为m(x-1)+(3-y)=0知x=1时y=3，从而得出答案；
（2）①当m<0时，先求出与x轴和y轴的交点B和C的坐标，运用勾股定理求出BC的长，再求出BC边上的高OG，联立方程组，求出直线l1和l2的交点P，求出OG的长判断OG=OP，从而可得结论；②根据，可得，进一步 可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵直线都过某定点，
∴
∴
∴直线恒过点（1，3）
（2）①当时，如图，设直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，过O作OG⊥BC于点G，
对于，令则即，
令则
∴
由勾股定理得，
∴
∵
∴，
∴
联立方程组
解得，
∴点P的坐标为（，）
∴
∴，即迠P与点G重合，
∴；
当时，同理可证；
②∵直线恒过定点A（0，0）
∴点A与点O重合，
∴是直角三角形，
∴
∵
∴仅当PA=PB时，
∴此时△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，
∴，
整理得，
∵
∴，解得，
∴AB=AC=3-(-1)=4
∴，即线段的最大值为8．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质以及不等式的应用等知识，正确判断△ABC为等腰直角三角形是解答本题的关键．
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