5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式同步练习（含解析）

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5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值：
x 0 1 2
y 0 2 a
则a的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．4
2．小明根据某个一次函数关系式填写了如下的表格：其中有一格不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是（ ）
－2 0 1
6 2 0
A．－2 B．0 C．2 D．4
3．在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发
C．甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km D．乙车达到A地时，甲车离A地90km
4．过点（0，0）的直线是（ ）．
A．y=x－1 B．y=x+2 C．y=－2x D．y=－2x+1
5．已知直线经过点(k，3)和(1，k)，则k的值为( )
A． B． C． D．
6．若三点在同一条直线上，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．过原点和点（2,3）的直线的解析式为（ ）
A．y＝x B．y＝x C．y＝x+1 D．y＝-2x+7
8．已知点，，点，过点作轴的平行线交直线于点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第一象限内作等腰，,则过、两点直线的解析式为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向左平移得到．若经过点，则点的坐标为（ ）．

A． B． C． D．
11．已知正比例函数（，为常数），经过点（3，6），以下哪个点不在该正比例函数图象上（ ）
A．（-3，-6） B．（0，0） C．（1，2） D．（-1，2）
12．在平面直角坐标系中，已知点，点，在x轴上确定点C，使得的周长最小，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知一次函数图象经过与两点，则该函数的图象与y轴交点的坐标为 ．
14．一次函数y＝kx＋b，当3≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是 ．
15．已知y与成正比例，且当时，，那么当时，y的值为 ．
16．直线与平行，且经过，则 ．
17．已知经过点（1，-2）的直线是由向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是 ．
三、解答题
18．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）通过计算，判断点是否在这个函数的图象上？
19．一列火车以的速度匀速前进．求它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象．
20．下图是某市轻轨列车两站之间行驶速度v（米/秒）与行驶时间t（秒）之间的函数图象，已知点，点，点．
(1)求线段的函数解析式．
(2)求这两站之间列车速度不低于30米/秒的行驶时间．
21．我们知道，弹簧的总长度是所挂重物的一次函数，请根据如图所示的信息解决问题．
(1)求一次函数表达式；
(2)求弹簧不挂重物时的长度．
22．综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
23．试说明点，，在同一条直线上．
24．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b），且a、b满足（a+1）2+＝0．
(1)直接写出：a＝　 　，b＝　 　．
(2)如图，点B为x轴正半轴上一点，过点B作BEAC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，此时，OB与OC有怎样的大小关系？证明你的结论．
(3)在（2）的条件下，求直线BE的解析式．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C B A A C A D
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】设出一次函数的解析式，采用待定系数法，在表格中选择两个点的坐标代入解析式中，求出解析式，然后再将x=2代入解析式中求出a的值即可.
【详解】解：由题意知，设一次函数的解析式为：
代入点
即，解得
故一次函数的解析式为：
将x=2，y=a时，代入解析式中，解得a=4.
故答案为：D.
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，联立二元一次方程组即可求解.
2．D
【分析】首先根据待定系数法求出一次函数的解析式，然后把x＝ 1代入，即可求出对应的y值．
【详解】解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b．
把x＝0，y＝2；x＝1，y＝0代入，
得，
解得，
∴．
当x＝ 1时，y＝4．
故选D
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
3．D
【分析】根据图象直接判断A；求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断B、C、D
【详解】解：当甲出发时乙未出发，甲行驶5小时未到达B地，而乙已经到达A地，说明甲车的速度比乙的速度慢，故选项A正确；
设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，
得，
解得，
∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为；
设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入和，
，解得，
∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，
当时，，解得，
即甲车出发1小时后乙才出发，故选项B正确；
当时，解得；
当时，解得；
∴甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km，故选项C正确；
当时，，故选项D错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的图象，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确理解一次函数的图象得到相关信息是解题的关键．
4．C
【详解】试题分析：由一次函数的图象和性质可知，图象过原点（0，0），那么一定是正比例函数，在这四个选项中，只有C是正比例函数．
故选C．
考点：一次函数的图象和性质．
5．B
【分析】运用待定系数法求一次函数解析式，代入后求出k，b的值即可．
【详解】∵直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），
∴将（k，3）和（1，k），代入解析式y=kx+b得：
解得：k=±，b=0，
则k的值为：±．
故选B．
6．A
【分析】设这条直线解析式为，先把B点和C点坐标代入，待定系数法求解析式得出，当时，求得的值，即可求解．
【详解】解：设这条直线解析式为，，
，
解得：，
∴直线解析式为,
将点代入得，，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求得一次函数解析式是解题的关键．
7．A
【分析】采用待定系数法求解析即可.
【详解】设直线解析式为：
将（0,0），（2,3）代入解析式得：
，解得，
所以直线解析式为：，
故选A.
【点睛】本题考查求函数解析式，熟练掌握待定系数法是关键.
8．C
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点D坐标，进而可求出CD的长．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（﹣1，0）、B（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=﹣3x﹣3，
∵点C（2，﹣2）且CD∥x轴交直线AB于点D，
∴当y=﹣2时，由﹣2=﹣3x﹣3得：x= ，
∴D（，﹣2），
∴CD=2﹣（）= ，
故选：C．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法，求出点D坐标是解答的关键．
9．A
【分析】易得OB=3，OA=4，由在等腰中，，得 AOB CDA（AAS），从而得C(7，4)，进而根据待定系数法，即可得到答案．
【详解】∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，
∴A(4，0)，B(0，3)，
∴OB=3，OA=4，
过点C做CD⊥x轴于点D，
∵在等腰中，，
∴∠OAB+∠CAD=∠OAB+∠ABO，即：∠CAD=∠ABO，
∵AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴ AOB CDA（AAS），
∴CD=AO=4，AD=BO=3，
∴C(7，4)，
设直线的解析式为：y=kx+b，
把B(0，3)，C(7，4)，代入y=kx+b，得，解得：，
∴直线的解析式为：y=x+3，
故选A．

【点睛】本题主要考查一次函数图象与全等三角形的判定与性质定理，掌握“一线三垂直”全等模型，是解题的关键．
10．D
【分析】设点C的坐标为，利用勾股定理分别求出的长，结合，即可求出点C的坐标，求出直线的解析式，即可求出直线的解析式，从而推出直线相当于直线向左平移3个单位得到的，由此即可得到答案．
【详解】解：设点C的坐标为，
则由勾股定理得：，，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵是经过平移得到的，
∴可设直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线相当于直线向左平移3个单位得到的，
∴点是由点C向左平移3个单位得到的，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
11．D
【分析】先利用已知点求得正比例函数的解析式，然后每个选项中点代入验证即可．
【详解】解：∵正比例函数（，为常数），经过点（3，6），
∴，解得，
∴正比例函数的解析式为，
把（-3， 6）代入， 6=2×(-3)，故选项A在这个函数图象上，
把（0，0）代入，0＝2×0，故选项B在这个函数图象上；
把（1，2）代入，2＝2×1，故选项C在这个函数图象上；
把（-1，2）代入，2≠2×(-1)，故选项D在这个函数图象上；
故选：D
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
12．C
【分析】因为AB的长度是确定的，故△CAB的周长最小就是CA+CB的值最小，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，求出C点坐标即可．
【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，此时，AC+BC=A′C+BC=AC，长度最小，
∵A（-1，2），
∴A′（-1，﹣2），
设直线A′B的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A′（-1，﹣2），代入得，
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝-2x﹣4，
当y＝0时，x＝-2，
∴C（-2，0）．
故选：C
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题关键是确定点C的位置，利用一次函数解析式求坐标．
13．（0，）
【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把与两点分别代入求出一次函数解析式，进而问题可求解．
【详解】设一次函数的解析式为y=kx+b，
把与两点分别代入得
，
解得：，
所以一次函数的解析式为：，
当x=0时，y=，
所以该函数的图象与y轴交点的坐标为(0，)，
故答案为(0，).
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
14．-2或-5/-5或-2
【分析】由于k的符号不能确定，故应对k＞0和k＜0两种情况进行解答．
【详解】解：当k＞0时，此函数是增函数，
∵当3≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=3时，y=3；当x=4时，y=6，
∴,解得
∴= 2；
当k＜0时，此函数是减函数，
∵当3≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=3时，y=6；当x=4时，y=3，
∴，解得
∴=-5．
故答案为-2或-5．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
15．
【分析】
本题考查的是正比例函数，解答本题的关键是熟练掌握正比例函数的一般形式： ．由题意设，根据当时，，即可求出k的值，从而得到结果．
【详解】
解：设，
把，，代入得：
，
解得，
∴，
当时，．
故答案为：
16．-3
【分析】根据直线与直线平行得到，把代入即可求出b，即可求解．
【详解】解：∵直线与直线平行
∴
把代入得：
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，解答此题的关键是要熟知两直线平行时其未知数的系数相等．
17．y=3x-5
【分析】根据平移规律可知，k=3，则向下平移后得到的解析式为y=3x+b，将（1，-2）代入求解即可．
【详解】解：∵直线是由向下平移后得到的
∴k=3
∴y=3x+b
∵直线经过点（1，-2）
∴-2=3×1+b
∴b=-5
∴y=3x-5
故答案为：y=3x-5
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及平移规律，解题的关键是掌握一次函数平移的规律．
18．（1）y=3x-5；（2）点P（4，6）不在这个函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，然后用待定系数法求出k、b，即可得到答案；
（2）计算x为4时对应的一次函数值，然后根据一次函数图象上的点的坐标特征进行判断．
【详解】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
根据题意得 ，
解得，
∴这个一次函数的表达式为y=3x-5；
（2）∵当x=4时，
y=3x-5=3×4-5=7≠6，
∴点P（4，6）不在这个函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19．．图象见解析
【分析】根据公式路程=速度×时间先列出函数解析式，然后画出函数图象即可．
【详解】解：∵火车以的速度匀速前进，
∴它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：h）的函数解析式为：．
当时，，
当时，．
作图如下：
【点睛】本题考查列函数解析式，以及画函数图象，掌握画函数图象的方法是解题关键．
20．(1)
(2)秒
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟悉相关的知识是解题的关键；（1）根据待定系数法把点B、点C待入解析式即可求解；（2）求出的解析式，把30代入即可求解．
【详解】（1）解：设线段的解析式为：；
把，代入解析式得：
；
解得：；
∴
（2）设线段的解析式为：；
把代入，得；
∴；
把代入得；
把代入得；
∴列车速度不低于30米/秒的行驶时间为：（秒）．
21．(1)
(2)弹簧不挂重物时的长度为
【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
（1）设与的函数关系式为，由待定系数法求出其解即可；
（2）把时代入解析式求出的值即可．
【详解】（1）设，
由图可知：图像经过，
，
解得，
∴一次函数表达式为：；
（2）由题意得，当时，．
答：弹簧不挂重物时的长度为．
22．(1)在同一条直线上，函数解析式为：
(2)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将代入函数解析式，解方程即可．
【详解】（1），
解：设函数解析式为：，
∵当，，
∴，
解得：，
∴函数解析式为：，
经检验其余点均在直线上，
∴函数解析式为，这些点在同一条直线上；
（2）解：把代入得：
，
解得：，
∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为．
23．见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，用待定系数法先求出过任意两点的一次函数解析式，再把另外一个点代入，如果成立，就三点共线．
【详解】证明：设经过点，的函数解析式为，则：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得：，
∴在直线上，
∴三点在同一条直线上．
24．(1)﹣1，﹣3
(2)OB=OC，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值；
（2）过O作OF⊥OE，可得△OEF为等腰直角三角形，可证明△EOC≌△FOB，可证明OB=OC；
（3）可证明△AOC≌△DOB，可求得D点坐标，由（2）可求得B点坐标，从而可求得直线BE的解析．
【详解】（1）解：∵（a+1）2+=0，
∴a+1=0，b+3=0，
∴a=-1，b=-3，
故答案为：-1；-3；
（2）解：OB=OC，证明如下：
如图，过O作OF⊥OE，交BE于F，
∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，
∴△EOF为等腰直角三角形，
∴∠EOC+∠DOF=∠DOF+∠FOB=90°，
∴∠EOC=∠FOB，且∠OEC=∠OFB=135°，
在△EOC和△FOB中，，
∴△EOC≌△FOB（ASA），
∴OB=OC；
（3）解：∵△EOC≌△FOB，
∴∠OCE=∠OBE，OB=OC，
在△AOC和△DOB中，
，
∴△AOC≌△DOB（ASA），
∴OD=OA，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴OD=1，OC=3，
∴D（0，-1），B（3，0），
设直线BE解析式为y=kx+b，
把B、D两点坐标代入可得，解得．
∴直线BE的解析式为．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法等知识点．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中证明三角形全等求得D点坐标是解题的关键．
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